ЭММ конфликтных управленческих ситуаций и их анализ с использованием аппарата теории игр

 

 

Как видно, возможности  мажорирования смешанными стратегиями в отличие от чистых значительно менее прозрачны (нужно должным образом подобрать частоты применения чистых стратегий), но такие возможности есть, и умение пользоваться ими значительно упрощает решение игр в смешанных стратегиях.

1.4. Игры с природой. Матрица рисков

В рассмотренных выше матричных играх предполагалось, что в них принимают участие два игрока, интересы которых противоположны [5]. Поэтому действия каждого игрока направлены на увеличение выигрыша (уменьшение проигрыша). Однако в некоторых задачах, приводящихся к игровым, имеется неопределенность, вызванная отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие (погода, покупательский спрос и т.д.). Эти условия зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной действительности. Такие игры называются играми с природой. Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (природа, покупательский спрос) действует случайно.

Условия игры задаются матрицей

Пусть:

• игрок А имеет стратегии А₁, А₂, ..., А_m,
• природа - состояния B₁, B₂, ..., B_n.

Наиболее простой является ситуация, когда известна вероятность p_j каждого состояния природы B_j. При этом если учтены все возможные состояния,

р₁ + р₂ + ... + p_j  + ... +р_n  = 1 .    (10)

Если игрок А выбирает чистую стратегию A_i, то математическое ожидание выигрыша составит Наиболее выгодной будет та стратегия, при которой достигается

    (11)

Если информация о  состояниях природы мала, то можно  применить принцип недостаточного основания Лапласа, согласно которому можно считать, что все состояния природы равновероятностны:

    (12)

т.е. стратегию, для которой  среднее арифметическое элементов  соответствующей строки максимальное [4].

Имеется ряд критериев, которые используются при выборе оптимальной стратегии. Рассмотрим некоторые из них.

1.  Критерий Лапласа

Данный критерий опирается  на «принцип недостаточного основания», согласно которому все состояния природы Bj полагаются равновероятными, т.е. вероятности того, что природа окажется в одном из n своих состояний, одинаковы и равны:

       (13)

Если для принимающего решение элементы матрицы aij платёжной  матрицы – выигрыши, то оптимальной считается та стратегия Ai, для которой среднее арифметическое возможных выигрышей максимально, т.е. критерий:

        (14)

Если принимающий решение  является игроком B, то критерий становится таким:

           (15)

2. Критерий Вальда. Согласно этому критерию рекомендуется применять максиминную стратегию [6]. Она выбирается из условия

      (16)

и совпадает с нижней ценой игры. Критерий является пессимистическим, считается, что природа будет действовать наихудшим для человека способом.

3. Критерий максимума. Он выбирается из условия:

.     (17)

Критерий является оптимистическим, считается, что природа будет  наиболее благоприятна для человека.

4.  Критерий Гурвица.

Данный критерий основан  на использовании так называемого  коэффициента доверия. Обозначим его и предположим, что природа окажется в самом выгодном состоянии с вероятностью и в самом невыгодном состоянии с вероятностью 1- [3].

Критерий Гурвица ориентирован на установление баланса между случаями крайнего пессимизма и крайнего оптимизма путем взвешивания обоих исходов. Критерий рекомендует стратегию, определяемую по формуле

,   (18)

где - степень оптимизма и изменяется в диапазоне [0, 1].

Критерий придерживается некоторой промежуточной позиции, учитывающей возможность как наихудшего, так и наилучшего поведения природы. При = 1 критерий превращается в критерий Вальда, при = 0 - в критерий максимума. На оказывает влияние степень ответственности лица, принимающего решение по выбору стратегии. Чем больше последствия ошибочных решений, больше желания застраховаться, тем ближе к единице.

5.  Критерий Сэвиджа. Суть критерия состоит в выборе такой стратегии, чтобы не допустить чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести. Находится матрица рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесет человек (фирма), если для каждого состояния природы он не выберет наилучшей стратегии.

    (19)

Элементы матрицы рисков находятся по формуле

     (20)

где - максимальный элемент в столбце исходной матрицы.

Критерий Сэвиджа использует матрицу рисков R и рекомендует в условиях неопределенности выбирать ту стратегию, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации, т.е.:

     (21)

По сути, это тот же минимаксный критерий, только по отношению к матрице рисков, а не к платежной матрице.

Если принимающий решение  – игрок B, критерий становится таким:

      (22)

При принятии решений  в условиях неопределенности следует  оценивать различные варианты с точки зрения нескольких критериев. Если рекомендации совпадают, можно с большей уверенностью выбрать наилучшее решение; если рекомендации противоречат друг другу, окончательное решение надо принимать с учетом его сильных и слабых сторон.

Пример. Возможно строительство четырех типов электростанций [6]:

А₁ (тепловых), А₂ (приплотинных), А₃ (бесшлюзовых), А₄ (шлюзовых). Состояния природы обозначим через Экономическая эффективность строительства отдельных типов электростанций изменяется в зависимости от состояния природы и задана матрицей

 

1). Согласно критерию Вальда

следует строить бесшлюзовую  электростанцию.

2). Воспользуемся критерием Сэвиджа. Построим матрицу рисков:

Согласно критерию Сэвиджа  определяем

В соответствии с этим критерием также предлагается строить  бесшлюзовую электростанцию.

3). Воспользуемся критерием Гурвица. Положим

т.е. следует принять  решение о строительстве приплотинной электростанции.

4).  Если принять известным распределение вероятностей для различных состояний природы, например считать эти состояния равновероятностными

 то для принятия решения следует найти математические ожидания выигрыша:

Так как максимальное значение имеет М₃, то следует строить бесшлюзовую электростанцию.

Таким образом, анализируя результаты применения нескольких критериев, приходим к выводу, что наиболее выгодным вариантом явится построение бесшлюзовой электростанции [6].

Однако, помимо решения  игр в смешанных стратегиях путем  применения различных критериев, эффективным способом решения является приведение игровой матрицы к задаче линейного программирования. При этом решение игры сводится к поиску частот выбора той или иной стратегии.

Таким образом, управленческие решения в экономической деятельности, принимаемые на основе использования теории игр (в особенности игр с природой, поскольку рынок зачастую также не предсказуем), являются наиболее эффективными. Теория игр позволяет выбрать комплекс оптимальных стратегий поведения участников рыночных отношений, что позволит значительно увеличить доходы предприятий и эффективность их работы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ  ЧАСТЬ

2.1 Задача 10

  Для решения данной задачи нам необходимо построить многофакторную модель (линейного типа), описывающую зависимость прибыли от изменения приведенных факторов. При этом в первом столбце таблицы будет находиться зависимый фактор, в остальных - влияющие.

На свободном месте  листа выделяем массив 5 на 10 ячеек. Далее вызываем функцию ЛИНЕЙН. Позиции заполняем следующим образом: а) Блок зависимых переменных;б)Блок влияющих ячеек;в)2; г)3, как на рисунке 1.

а9	а8	а7	а6	а5	а4	а3	а2	а1	а0
-25,71696875	7,994305884	-2,523	-4,634	2,287	10,800	12,860	0	0	137554,4
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
#ЧИСЛО!	4294967295	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
7,13865E+15	0	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д

Рисунок 1. Расчет коэффициентов модели прибыли.

Таким образом, при помощи полученных коэффициентов можно  сформулировать модель прибыли для дальнейшей её оптимизации:

ПРИБЫЛЬ=137554,4+0*Х1+0*Х2+12,86*Х3+10,8*Х4+2,28*Х5-4,63*Х6-2,52*Х7+7,99*Х8-25,71*Х9

Полученная модель может служить основой для максимизации производственной программы. Коэффициенты при Х3, Х4 и Х5 отражают прибыльность той или иной товарной группы для предприятия. Чем больше коэффициент, тем прибыльнее товар. В нашем примере товар К1 наиболее прибыльная товарная группа. При этом положительно влияющими на прибыль факторами являются Х8 (стоимость материалов) и Х3,Х4,Х5 (товарная продукция). Отрицательно на прибыль влияют факторы Х6 (пост. издержки), Х7 (переем. издержки), Х9 (стоимость энергоносителей).

Графики моделируемой и  реальной прибыли представлен на рисунке2.

Рисунок 2. Моделируемая и реальная прибыль.

Рассчитанное значение критерия Стьюдента составило огромное значение, что свидетельствует о полной достоверности полученной модели.

Обратимся к Таблице 2 контрольного задания. В ней приведены планируемые изменения основных производственных показателей предприятия (ожидаемая прибыль, рост среднего уровня заработной платы, предполагаемые изменения цен на материалы и энергоносители). Используя эти данные, пересчитаем уровень зарплаты и остальные показатели из Таблицы 2. Так, увеличение зарплаты на 20%, вызовет ее изменение: 795.29*1,2=954 (ячейка F14). Аналогичным образом пересчитываем ячейки J13, R13, L13, M13 (Рис.3). Ячейки G13, H13, I13 приравниваем к 0. Их значения мы буде оптимизировать. В ячейку C5 внесем формулу модели прибыли.

В ячейках A13 и A14 запишем  ограничения из Таблицы 3. Соответственно в A13 внесем формулу: 15*G14+7*H14+16*I14. А в ячейку A14 - формулу: G13+H13+I13. Выберем из главного меню MS Excell режим "ПОИСК РЕШЕНИЯ" и заполним открывшееся диалоговое окно в соответствии с требованиями Таблицы 3 (Рис. 3) ограничений.

Рисунок 3. Заполнение формы ПОИСКА РЕШЕНИЙ.

Нажмем клавишу ВЫПОЛНИТЬ и  получим результат оптимизации  производственной программы предприятия (Рис.4).

Рисунок 4. Результаты оптимизации.

Таким образом, необходимо произвести продукции: К1-658 шт., К2-14283847 шт., К3-200 шт.

Далее, для нахождения минимально предельных (граничных) объемов выпуска, при которых предприятие еще выполняет план роста прибыли, устремим при поиске решения оптимизируемую прибыль к планируемому увеличению: 62890897*1,7= 106914525, и затем производим расчет оптимального размера товарных групп. Результаты представлены на рисунке 5.

Рисунок 5. Оптимизация в сторону минимального значения.

В результате необходимо произвести продукции: К1-4470872 шт., К2-4704817 шт., К3-200шт.