ЭММ конфликтных управленческих ситуаций и их анализ с использованием аппарата теории игр

В играх с природой степень неопределенности для сознательного игрока (статистика) возрастает: если в стратегических играх каждый из участников постоянно ожидает наихудшего для себя ответного действия партнера, то в статистических играх «природа», будучи индифферентной в отношении выигрыша инстанцией, может предпринимать и такие ответные действия, либо реализовывать такие состояния, которые ей совершенно невыгодны, а выгодны сознательному игроку (статистику).

1.2. Решение матричной игры в чистых стратегиях. Платежная матрица

Рассмотрим простейшую математическую модель конечной конфликтной  ситуации, в которой имеется два  участника и выигрыш одного равен  проигрышу другого. Такая модель называется антагонистической игрой двух лиц с нулевой суммой [6]. Игра состоит из двух ходов:

игрок А выбирает одну из возможных  стратегий  , ,

игрок В выбирает одну из возможных  стратегий  , .

Каждый выбор производится при  полном незнании выбора соперника. В  результате выигрыш игроков составит соответственно и .

Цель игрока А - максимизировать величину , а игрока В - минимизировать эту величину.

Матрица,   составленная   из   величин   , , , называется платежной матрицей, или матрицей игры.

      (1)

Каждый элемент платежной матрицы , ,   равен выигрышу А (проигрышу В), если он выбрал стратегию , , а игрок В выбирал стратегию , .

Пример 1. В игре участвуют первый и второй игроки, каждый из них может записать независимо от другого цифры 1,2 и 3. Если разность между цифрами, записанная игроками, положительна, то первый игрок выигрывает количество очков, равное разности между цифрами, и, наоборот, если разность отрицательна, то выигрывает второй игрок. Если разность равна нулю, то игра заканчивается вничью.

У первого игрока три стратегии (варианта действия):

 (записать 1), (записать 2), (записать 3);

у второго игрока также  три стратегии: , ,

Таблица 1. Платежная матрица.

	0	-1	-2
	1	0	-1
	2	1	0

 

Задача первого игрока - максимизировать свой выигрыш. Задача второго игрока - минимизировать свой проигрыш или минимизировать выигрыш первого игрока. Платежная матрица имеет вид

Задача каждого из игроков — найти наилучшую  стратегию игры, при этом предполагается, что противники одинаково разумны, и каждый из них делает все, чтобы получить наибольший доход.

Найдем наилучшую стратегию  первого игрока. Если игрок А выбрал стратегию , , то в худшем случае (например, если его ход известен В) он получит выигрыш . Предвидя такую возможность, игрок А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш:

    (2)

Величина  - гарантированный выигрыш игрока А называется нижней ценой игры. Стратегия обеспечивающая получение выигрыша , называется максиминной.

Если первый игрок  будет придерживаться своей максиминной  стратегии, то у него есть гарантия, что он в любом случае выиграет не меньше .

Аналогично определяется наилучшая стратегия второго игрока. Игрок В при выборе стратегии , в худшем случае получит проигрыш . Он выбирает стратегию при которой его проигрыш будет минимальным и составит

    (3)

Величина  - гарантированный проигрыш игрока В называется верхней ценой игры. Стратегия , обеспечивающая получение проигрыша Д называется минимаксной.

Если второй игрок будет придерживаться своей минимаксной стратегии, то у него есть гарантия, что он в любом случае проиграет не больше .

Фактический выигрыш  игрока А (проигрыш игрока В) при разумных действиях партнеров ограничен верхней и нижней ценой игры. Для матричной игры справедливо неравенство

Если , т.е.    (4)

то выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) определяется числом v. Оно называется ценой игры.

Если  , то такая игра называется игрой с седловой точкой, элемент матрицы , соответствующий паре оптимальных стратегий называется седловой точкой матрицы. Этот элемент является ценой игры [6].

Седловой точке соответствуют оптимальные стратегии игроков. Их совокупность - решение игры, которое обладает свойством: если один из игроков придерживается оптимальной стратегии, то второму отклонение от своей оптимальной стратегии не может быть выгодным.

Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях.

Найдем решение игры рассмотренного выше примера:

 нижняя цена игры.

верхняя цена игры.

Так как , матрица игры имеет седловую точку.

Оптимальная стратегия  первого игрока - , второго - . Из таблицы видно, что отклонение первого игрока от оптимальной стратегии уменьшает его выигрыш, а отклонение второго игрока от увеличивает его проигрыш.

Наличие седловой точки  в игре - это далеко не правило, скорее, исключение. Существует разновидность игр, которые всегда имеют седловую точку и, значит, решаются в чистых стратегиях. Это так называемые игры с полной информацией [5].

Игрой с полной информацией называется такая игра, в которой каждый игрок при каждом личном ходе знает всю предысторию ее развития, т.е. результаты всех предыдущих ходов. Примерами игр с полной информацией могут служить шашки, шахматы, «крестики-нолики» и т.д.

Существует такое понятие, как мажорирование (доминирование) стратегий. Мажорирование представляет отношение между стратегиями, наличие которого во многих практических случаях дает возможность сократить размеры исходной платежной матрицы игры. Рассмотрим это понятие на примере матрицы:

А=

 

Рассуждая с позиции  игрока 2, можно обнаружить преимущество его третьей стратегии перед  второй, поскольку при первой стратегии  игрока 1 выигрыш игрока 2 равен -3 (вторая стратегия) и 1 (третья стратегия), а при второй стратегии игрока 1 выигрыш игрока 2 равен -2 (вторая стратегия) и -0,5 (третья стратегия). Таким образом, при любой стратегии игрока 1 игроку 2 выгоднее применять свою третью стратегию по сравнению со второй; при наличии третьей стратегии игрок 2, если он стремится играть оптимально, никогда не будет использовать свою вторую стратегию, поэтому ее можно исключить из игры, т.е. в исходной платежной матрице можно вычеркнуть 2-й столбец:

А=

С позиции игрока 1 его  первая стратегия оказывается хуже второй, так как по первой стратегии  он только проигрывает. Поэтому первую стратегию можно исключить, а  матрицу игры преобразовать к виду: А= (0  0,5).

Учитывая интересы игрока 2, следует оставить только его первую стратегию, поскольку, выбирая вторую стратегию, игрок 2 оказывается в проигрыше (0,5 - выигрыш игрока 1), и матрица игры принимает простейший вид: (0), т.е. имеется седловая точка [7].

Теорема 1. Каждая игра с полной информацией имеет седловую точку и, значит, имеет решение в чистых стратегиях.

В каждой игре с полной информацией существует пара оптимальных стратегий, дающая устойчивый выигрыш, равный цене игры v. Если решение игры известно, сама игра теряет смысл. Например, шахматная игра либо кончается выигрышем белых, либо выигрышем черных, либо ничьей, только чем именно - пока не известно. И вряд ли будет известно в обозримом будущем, поскольку число стратегий в шахматах так велико, что крайне трудно привести шахматную игру к матричной форме и найти в ней седловую точку. Как только седловая точка в такой игре найдена - она превращается в набор планомерных шагов.

1.3. Решение матричной игры в смешанных стратегиях

Если платежная матрица  не имеет седловой точки, т.е. и , то поиск решения игры приводит к применению сложной стратегии, состоящей в случайном применении двух и более стратегий с определенными частотами.

Сложная стратегия, состоящая в случайном применении всех стратегий с определенными частотами, называется смешанной.

Смешанная стратегия  игрока - это полный набор его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями. Подведем итоги сказанного и перечислим условия применения смешанных стратегий:

- игра без седловой точки;

- игроки используют случайную смесь чистых стратегий с заданными вероятностями;

- игра многократно повторяется в сходных условиях;

- при каждом из ходов ни один игрок не информирован о выборе стратегии другим игроком;

- допускается усреднение результатов игр.

В игре, матрица которой  имеет размерность  , стратегии первого игрока задаются наборами вероятностей , с которыми игрок применяет свои чистые стратегии [7]. Эти наборы можно рассмотреть как m-мерные векторы, для координат которых выполняются условия

    (5)

Аналогично для второго  игрока наборы вероятностей определяют n-мерные векторы , для координат которых выполняются условия

    (6)

Выигрыш первого игрока при использовании смешанных  стратегий определяют как математическое ожидание выигрыша, т.е. он равен:

     (7)

Теорема 2 (Неймана. Основная теорема теории игр). Каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно решение, возможно, в области смешанных стратегий.

Применение оптимальной стратегии  позволяет получить выигрыш, равный цене игры: .

Применение первым игроком оптимальной  стратегии  должно обеспечить ему при любых действиях второго игрока выигрыш не меньше цены игры [2]. Поэтому выполняется соотношение:

    (8)

Аналогично для второго игрока оптимальная стратегия должна обеспечить при любых стратегиях первого игрока проигрыш, не превышающий цену игры, т.е. справедливо соотношение

    (9)

Если платежная матрица  не содержит седловой точки, то задача определения смешанной стратегии тем сложнее, чем больше размерность матрицы. Поэтому матрицы большой размерности целесообразно упростить, уменьшив их размерность путем вычеркивания дублирующих (одинаковых) и не доминирующих стратегий. Таким образом, принцип мажорирования можно применить и в смешанных стратегиях.

Если элементы одной  строки не все меньше (или равны) соответствующих элементов других строк, но все меньше (или равны) некоторых  выпуклых линейных комбинаций соответствующих элементов других строк, то эту стратегию можно исключить, заменив ее смешанной стратегией с соответствующими частотами использования чистых стратегий [2].

В качестве иллюстрации  к сказанному рассмотрим матрицу  игры:

А=

Для первых двух чистых стратегий  игрока 1 возьмем частоты их применения (вероятности) равными 0,25 и 0,75.

Третья стратегия игрока 1 мажорируется линейной выпуклой комбинацией первой и второй чистых стратегий, взятых с частотами 0,25 и 0,75 соответственно, т.е. смешанной стратегией:

24 × 0,25 + 0 × 0,75 = 6 > 4; (1.30)

0 × 0,25 + 8 × 0,75 = 6 > 5. (1.31)

Поэтому третью стратегию  игрока 1 можно исключить, используя  вместо нее указанную выше смешанную  стратегию.

Аналогично, если каждый элемент некоторого столбца больше или равен некоторой выпуклой линейной комбинации соответствующих элементов некоторых других столбцов, то этот столбец можно исключить из рассмотрения (вычеркнуть из матрицы). Например, для матрицы

А=

третья стратегия игрока 2 мажорируется смешанной стратегией из первой и второй его чистых стратегий, взятых с частотами 0,5 и 0,5:

10 × 0,5 + 0×0,5 = 5 < 6; (1.33)

0 × 0,5 + 10 × 0,5 = 5 < 7. (1.34)

Таким образом, исходная матрица игры эквивалентна матрице  следующего вида:

А=

Стратегии, у которых соответствующие элементы платежной матрицы одинаковы, называются дублирующими [3].

Если все элементы строки платежной матрицы больше соответствующих элементов строки, то стратегия игрока А называется доминирующей над стратегией. Если все элементы j-гo столбца платежной матрицы меньше соответствующих элементов k-гo столбца, то j-ая стратегия игрока В называется доминирующей над k-ой стратегией.

Рассмотрим пример 2 , в котором игра представлена платежной матрицей:

 

 

Все элементы стратегии А₂ меньше элементов стратегии А₃, т.е. А₂ заведомо невыгодна для первого игрока и ее можно исключить.

Все элементы А₄ меньше А₃, исключаем А₄.

Для второго игрока: сравнивая В₁ и В₄, исключаем В₁; сравнивая В₂ и В₄, исключаем В₂; сравнивая В₃ и В₄, исключаем В₃. В результате преобразований получим матрицу: