Экономико-математическая модель оптимального вложения денежных средств

     Определение числа дней пользования ссудой также  может быть точным или приближенным. В первом случае вычисляют фактическое  число дней между двумя датами, во втором - продолжительность ссуды  определяется числом месяцев и дней ссуды, приближенно считая все месяцы равными, содержащими по 30 дней. В  обоих случаях счет дней начинается со следующего дня после открытия операции. Подсчет точного числа дней между двумя датами можно осуществить на компьютере, взяв разность этих дат, или с помощью специальной таблицы, в которой представлены порядковые номера дат в году.

     Комбинируя  различные варианты временной базы и методов подсчета дней ссуды, получаем три варианта расчета процентов, применяемые в практике:

     1) точные проценты с точным числом  дней ссуды (365/365) - британский;

     2) обыкновенные проценты с точным  числом дней ссуды (365/360) - французский;

     3) обыкновенные проценты с приближенным  числом дней ссуды (360/360) - германский.

     Вариант расчета с точными процентами и приближенным измерением времени  ссуды не применяется.

     1.4 Простые переменные ставки

     Как известно, процентные ставки не остаются неизменными во времени, поэтому  в кредитных соглашениях иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки. В  этом случае формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид 

     S = P(1+n₁i₁+n₂i₂+...) = P(1+Σn_ti_t),    ( 2 )

     где

     P - первоначальная сумма (ссуда),

     i_t - ставка простых процентов в периоде с номером t,

     n_t - продолжительность периода t - периода начисления по ставке

     i_t.

     1.5 Дисконтирование и учет по простым ставкам

     В практике часто приходится решать задачу обратную наращению процентов, когда  по заданной сумме S, соответствующей концу финансовой операции, требуется найти исходную сумму P. Расчет P по S называется дисконтированием суммы S. Величину P, найденную дисконтированием, называют современной величиной (текущей стоимостью) суммы S. Проценты в виде разности D = S - P называются дисконтом или скидкой. Процесс начисления и удержания процентов вперед (в виде дисконта) называют учетом. Дисконт как скидка с конечной суммы долга может определяться через процентную ставку или в виде абсолютной величины.

     Таким образом, в практике используются два  принципа расчета процентов:

     1) путем наращения суммы ссуды  и 

     2) устанавливая скидку с конечной  суммы долга. 

     В большинстве случаев фактор времени  учитывается в финансовых контрактах именно с помощью дисконтирования. Величина P эквивалентна сумме S в том смысле, что через определенный период времени и при заданной ставке процентов она в результате наращения станет равной S. Поэтому операцию дисконтирования называют также приведением. Но понятие приведения шире, чем дисконтирование.

     Приведение - это определение любой стоимостной  величины на некоторый момент времени. Если некоторая сумма приводится к более ранней дате, чем текущая, то применяется дисконтирование, если же речь идет о более поздней дате, то - наращение.

     Известны  два вида дисконтирования: математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет.

     1.6 Математическое дисконтирование.

       Этот вид дисконтирования представляет  собой решение задачи, обратной  наращению первоначальной ссуды.  Если в прямой задаче 

     S=P(1+ni),

     то  в обратной

     P =S       ( 3 )

     Дробь в правой части равенства при  величине S называется дисконтным множителем. Этот множитель показывает какую долю составляет первоначальная сумма ссуды в окончательной величине долга. Дисконт суммы S равен

     D = S - P .      ( 4 )

     1.7 Сравнение ставки наращения и учетной ставки.

       Операции наращения и дисконтирования  по своей сути противоположны, но ставка наращения и учетная  ставка могут использоваться  для решения обеих задач. В  этом случае, в зависимости от  применяемой ставки, можно различать  прямую и обратную задачи.

Таблица 1 - Прямая и обратная задачи

     1.8 Сложные проценты

     Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово- кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов.

     1.9 Формула наращения по сложным процентам

     Пусть первоначальная сумма долга равна  P, тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит P(1+i), через 2 года P(1+i)(1+i)=P(1+i)² , через n лет - P(1+i)ⁿ

     . Таким образом, получаем формулу  наращения для сложных процентов 

     S = P(1+i)ⁿ ,     ( 5 )

     где S - наращенная сумма,

     i - годовая ставка сложных процентов,

       n - срок ссуды,

     (1+i)ⁿ - множитель наращения.

     В практических расчетах в основном применяют  дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые  за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т.д.). Наращение  по сложным процентам представляет собой рост по закону геометрической прогрессии, первый член которой равен  P, а знаменатель (1+i). Отметим, что при сроке n < 1 наращение по простым процентам дает больший результат, чем по сложным, а при n >1 - наоборот. В этом нетрудно убедиться на конкретных числовых примерах. Наибольшее превышение суммы, наращенной по простым процентам, над суммой, наращенной по сложным процентам, (при одинаковых процентных ставках) достигается в средней части периода (Рис.2).

     

     Рисунок 2. - Графики функций (1+i)^t и (1+ti) в зависимости от t

     1.10 Формула наращения по сложным процентам, когда ставка меняется во времени

     В том случае, когда ставка сложных  процентов меняется во времени, формула  наращения имеет следующий вид 

          (6)

     где i₁, i₂,..., i_k - последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n1, n2,..., nk соответственно.

     Начисление  годовых процентов при дробном  числе лет 

     При дробном числе лет проценты начисляются  разными способами:

     1) По формуле сложных процентов

     S = P (1+i)ⁿ      (7)

     2) На основе смешанного метода, согласно которому за целое  число лет начисляются сложные  проценты, а за дробное – простые

     S =P (1+i)^a(1+bi)     (8)

     где n = a+b, a - целое число лет, b - дробная часть года.

     3) В ряде коммерческих банков  применяется правило, в соответствии  с которым за отрезки времени  меньше периода начисления проценты  не начисляются, т.е.

     S = P (1+i)^a      (9)

     1.11 Номинальная и эффективная ставки процентов

     Номинальная ставка.

       Пусть годовая ставка сложных  процентов равна j, а число периодов начисления в году m. Тогда каждый раз проценты начисляют по ставке j/m. Ставка j называется номинальной.

     Начисление  процентов по номинальной ставке производится по формуле:

     S=P (1+j/m) ^N ,      ( 10 )

     где N - число периодов начисления.

     Если  срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то при m разовом начислении процентов в году наращенную сумму можно рассчитывать несколькими способами, приводящими к различным результатам:

     По  формуле сложных процентов

S=P (1+j/m) ^N/τ,     (11)

     где N/τ - число (возможно дробное) периодов начисления процентов,

       τ - период начисления процентов,

     По  смешанной формуле

    (12)

     где a - целое число периодов начисления (т.е. a = [N/τ] - целая часть от

     деления всего срока ссуды N на период начисления τ),

     b- оставшаяся дробная часть периода начисления (b=N/τ-a).

     Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m - разовое наращение в год по ставке j/m.

     Если  проценты капитализируются m раз в год, каждый раз со ставкой j/m, то, по определению, можно записать равенство для соответствующих множителей наращения:

(1+i_э) ⁿ = (1+j/m)^mn     , (13)

     где i_э - эффективная ставка, а j - номинальная. Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением

    (14)

Обратная  зависимость имеет вид 

j=m[(1+i_э)^1/m -1].     (15)

     1.12 Начисление процентов и инфляция

     Следствием  инфляции является падение покупательной  способности денег, которое за период n характеризуется индексом J_n.

     Индекс  покупательной способности равен  обратной величине индекса цен  J_p, т.е.

J_n=1/J_p.      (16)

     Индекс  цен показывает во сколько раз выросли цены за указанный промежуток времени.

     Наращение по простым процентам

     Если  наращенная за n лет сумма денег составляет S, а индекс цен равен J_p, то реально наращенная сумма денег, с учетом их покупательной способности, равна

C=S/J_p.      (17)

     Пусть ожидаемый средний годовой темп инфляции (характеризующий прирост  цен за год) равен h. Тогда годовой индекс цен составит (1+h). Если наращение производится по простой ставке в течение n лет, то реальное наращение при темпе инфляции h составит

     (18)

где в общем случае

     (19)

и, в  частности, при неизменном темпе  роста цен h,

J_p= (1+h)ⁿ      (20)

     Процентная  ставка, которая при начислении простых  процентов компенсирует инфляцию, равна

      (21)

     Один  из способов компенсации обесценения  денег заключается в увеличении ставки процентов на величину так называемой инфляционной премии. Скорректированная таким образом ставка называется брутто-ставкой. Брутто-ставка, которую мы будем обозначать символом r, находится из равенства скорректированного на инфляцию множителя наращения по брутто-ставке множителю наращения по реальной ставке процента

     (22)

откуда

     (23) 

     Наращение по сложным процентам 

     Наращенная  по сложным процентам сумма к  концу срока ссуды с учетом падения покупательной способности  денег (т.е. в неизменных рублях) составит

     (24)