Динамическое программирование. Задачи об инвестировании

Инвестиционное  планирование может быть как изолированным, или обособленным, так и взаимосвязанным. В первом случае в процессе принятия решения рассматриваются только альтернативные варианты инвестиционной деятельности. Взаимосвязанное инвестиционное планирование наряду с учетом инвестиционных альтернатив учитывает также альтернативы решений в области финансирования и организации производства. Соответственно предметом изолированного планирования выступает разработка программы инвестирования. Во втором случае предметом планирования является вся область предпринимательства.

Любое планирование предполагает определенный период, на протяжении которого будут осуществляться и реализовываться (эксплуатироваться) инвестиции. Этот период времени всегда ограничен. Необходимо отметить, что вопросы сроков планирования инвестиций были и остаются предметом дискуссии. Основным дискуссионным вопросом является возможность корректировки принятых решений под влиянием событий, имеющих место после завершения отрезка планирования. Здесь необходимо подчеркнуть, что хотя это требование, безусловно, является справедливым, в то же время определить воздействие будущих инвестиционных решений можно только после того, когда эти инвестиции осуществятся.

В системе  инвестиционного планирования весь срок планирования подразделяется на ряд интервалов, которые называются периодами. Решения, реализуемые в одном периоде, относят либо к началу, либо к концу соответствующего периода. Отметим, что это не отражается на содержательной стороне инвестиционных решений, а оказывает влияние лишь на нумерацию периодов. Отправной точкой планирования является начало первого планового периода. Последствия, возникающие в результате осуществления инвестиций, выражаются количественно посредством платежей, которые подразделяются на выплаты (например выплаты инвестора другим хозяйствующим субъектам) и на поступления (например поступления инвестору от других хозяйствующих субъектов).

Итоговая сумма платежей представляет собой сумму выплат и поступлений, произведенных в течение конкретного периода. Если сальдо выплат и поступлений положительно, то это означает преобладание поступлений над выплатами, а если отрицательно, то, соответственно, выплаты преобладают над поступлениями. Высвобождающиеся вложенные средства в общем случае носят название дезинвестиций.

В качестве цели инвестирования капитала в том  или ином периоде времени в системе инвестиционного планирования могут выступать прирост имущества, увеличение потока поступлений, рост рентабельности инвестиций и другие показатели, характеризующие возможность получения долговременной прибыли.

В инвестиционных моделях планирования объем капиталовложений может изменяться в течение определенного промежутка времени, на который разрабатывается план. При принятии решения предпочтение отдается проектам с более ранними по времени поступлениями от осуществления инвестиций по сравнению с более поздними. Соизмерение потока платежей в различные периоды времени осуществляется методами дисконтирования.

Изолированное планирование инвестиций осуществляется в отношении отдельных инвестиционных объектов или отдельных инвестиционных программ при заданном бюджете. Срок эксплуатации инвестиций (инвестиционных проектов) может рассматриваться в качестве переменного либо фиксированного параметра. Рынок капитала трактуется либо как совершенный, либо как несовершенный. Разграничение совершенного и несовершенного рынков капитала осуществляется посредством использования разницы между процентными ставками по депозитам и кредиту. Все ограничения по финансовым ресурсам в системе изолированного планирования могут относиться к любому периоду планирования.

Инвестиционные модели для совершенного рынка капитала и заданного срока эксплуатации инвестиционного проекта различаются между собой прежде всего критериями принятия решений об инвестировании отдельных проектов. В качестве критериев принятия решений используются: чистая приведенная стоимость, конечная стоимость имущества, внутренняя процентная ставка (внутренняя доходность).

В моделях  оценки чистой приведенной стоимости  этот показатель, отнесенный к начальному моменту планирования, характеризует изменение стоимости имущества за период планирования или за период эксплуатации инвестиционного проекта посредством дисконтирования поступлений по расчетной процентной ставке. Под расчетной процентной ставкой понимается величина ставки процента на рынке капитала, равная ставке процента по кредиту.

Модель  оценки чистой приведенной стоимости  заключается в том, что конечная стоимость имущества предприятия  в результате реализации различных  инвестиционных проектов при единой расчетной ставке процента должна быть максимальной. Данная модель рассматривается для случаев, когда инвестиционные альтернативы одинаковы по времени и объемам инвестированного капитала.

Использование модели оценки конечной стоимости предполагает наличие заданной одинаковой для  всех периодов суммы изымаемых из оборота средств.

Модель  внутренней процентной ставки ориентирована  на максимизацию рентабельности капитала, связанного в инвестиционном проекте. Условие в данной модели означает, что оптимальная инвестиционная альтернатива позволяет получать процент на вложенный капитал не меньший, чем на рынке капитала.

Модель  внутренней процентной ставки предполагает связанность капитала на весь период эксплуатации инвестиционного проекта. Поэтому для внутренней процентной ставки как выражения рентабельности капитала условие повторного вложения высвобождающихся финансовых средств по внутренней процентной ставке важно только в том случае, когда объем связанного капитала должен поддерживаться на фиксированном уровне.

Вследствие  такого подхода согласно критерию максимизации чистой приведенной стоимости и критерию максимизации внутренней процентной ставки можно прийти к различным результатам выбора альтернатив, так может возникнуть так называемый конфликт между целями максимизации прибыли и максимизации рентабельности. Этот «конфликт» связан с наличием предпосылки «промежуточного» вложения суммы превышения поступления над выплатами под процент, ставка которого равна ставке внутреннего процента.

При использовании  метода величины чистой приведенной  стоимости исходят из того, что высвобождающаяся сумма превышения поступления над выплатами может быть использована на ранке капитала по расчетной процентной ставке.

Рассмотрим  инвестиционные модели для совершенного рынка капитала и переменного срока эксплуатации.

В случае, когда срок эксплуатации инвестиционного проекта является величиной переменной, определение оптимального срока, на который инвестируются в настоящий момент средства, происходит при допущении, что инвестиционные проекты являются не повторяющимися. В качестве критерия отбора инвестиционных проектов используются показатели максимизации чистой приведенной стоимости.

Для указанного типа моделей  выбора инвестиционных проектов фактически речь идет о проблемах принятия многопериодных решений. Многопериодные модели принятия решений включают в себя переменные, относящиеся не только к основному, но и к последующим периодам планирования. Установление переменных последующих периодов может оказывать влияние на принятие решений относительно переменных основного рассматриваемого периода планирования.

При постоянном сроке эксплуатации инвестиционного  проекта ликвидационная стоимость, т. е. возможные денежные средства от реализации объекта инвестирования по окончании срока его эксплуатации, учитываются в последнем периоде срока эксплуатации инвестиционного проекта. При переменном сроке эта выручка зависит от момента окончания инвестиционного проекта и поэтому определяется отдельно.

При выборе наиболее оптимального варианта инвестирования используется динамическое программирование, представляющее собой поэтапное планирование многошагового процесса, при котором на каждом этапе оптимизируется только один шаг.

 

 

 

2. Динамическое программирование
1. Понятие динамического программирования

 

Большинство методов исследования операций связано в первую очередь  с задачами вполне определенного  содержания. Классический аппарат математики оказался малопригодным для решения  многих задач оптимизации, включающих большое число переменных и/или  ограничений в виде неравенств. Несомненна привлекательность идеи разбиения  задачи большой размерности на подзадачи  меньшей размерности, включающие всего  по нескольких переменных, и последующего решения общей задачи по частям. Именно на этой идее основан метод динамического программирования.

Динамическое программирование (ДП) представляет собой математический метод, заслуга создания и развития которого принадлежит прежде всего Беллману. Метод можно использовать для решения весьма широкого круга задач, включая задачи распределения ресурсов, замены и управления запасами, задачи о загрузке. Характерным для динамического программирования является подход к решению задачи по этапам, с каждым из которых ассоциирована одна управляемая переменная. Набор рекуррентных вычислительных процедур, связывающих различные этапы, обеспечивает получение допустимого оптимального решения задачи в целом при достижении последнего этапа.

Происхождение названия динамическое программирование, вероятно, связано с использованием методов ДП в задачах принятия решений через фиксированные промежутки времени (например, в задачах управления запасами). Однако методы ДП успешно применяются также для решения задач, в которых фактор времени не учитывается. По этой причине более удачным представляется термин многоэтапное программирование, отражающий пошаговый характер процесса решения задачи.

Фундаментальным принципом, положенным в основу теории ДП, является принцип оптимальности. По существу, он определяет порядок поэтапного решения допускающей декомпозицию задачи (это более приемлемый путь, чем непосредственное решение задачи в исходной постановке) с помощью рекуррентных вычислительных процедур.

Динамическое программирование позволяет осуществлять оптимальное  планирование управляемых процессов. Под «управляемыми» понимаются процессы, на ход которых мы можем в той  или другой степени влиять.

Пусть предполагается к осуществлению  некоторое мероприятие или серия  мероприятий («операция»), преследующая определенную цель. Спрашивается: как  нужно организовать (спланировать) операцию для того, чтобы она была наиболее эффективной? Для того чтобы  поставленная задача приобрела количественный, математический характер, необходимо ввести в рассмотрение некоторый  численный критерий W, которым мы будем характеризовать качество, успешность, эффективность операции. Критерий эффективности в каждом конкретном случаи выбирается исходя из целевой направленности операции и задачи исследования (какой элемент управления оптимизируется и для чего).

Сформулируем общий принцип, лежащий в основе решения всех задач динамического программирования («принцип оптимальности»):

«Каково бы ни было состояние  системы S перед очередным шагом, надо выбрать управление на этом шаге так, чтобы выигрыш на данном шаге плюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был максимальным».

Динамическое программирование – это поэтапное планирование многошагового процесса, при котором  на каждом этапе оптимизируется только один шаг. Управление на каждом шаге должно выбираться с учетом всех его последствий  в будущем.

При постановке задач динамического  программирования следует руководствоваться  следующими принципами:

1. Выбрать параметры (фазовые координаты), характеризующие состояние S управляемой системы перед каждым шагом.
2. Расчленить  операцию на этапы (шаги).
3. Выяснить набор шаговых управлений x_i для каждого шага и налагаемые на них ограничения.
4. Определить какой выигрыш приносит на i-ом шаге управление x_i, если перед этим система была в состоянии S, т.е. записать «функцию выигрыша»:

.

5. Определить, как изменяется состояние S системы S под влиянием управление x_i на i-ом шаге: оно переходит в новое состояние

. (1.1)

6. Записать основное рекуррентное уравнение динамического программирования, выражающее условный оптимальный выигрыш W_i(S) (начиная с i-го шага и до конца) через уже известную функцию W_i+1(S):

. (1.2)

Этому выигрышу соответствует  условное оптимальное управление на i-м шаге x_i(S) (причем в уже известную функцию W_i+1(S) надо вместо S подставить измененное состояние )

7. Произвести условную оптимизацию последнего (m-го) шага, задаваясь гаммой состояний S, из которых можно за один шаг дойти до конечного состояния, вычисляя для каждого из них условный оптимальный выигрыш по формуле
8. Произвести условную оптимизацию (m-1)-го, (m-2)-го и т.д. шагов по формуле (1.2), полагая в ней i=(m-1),(m-2),…, и для каждого из шагов указать условное оптимальное управление x_i(S), при котором максимум достигается.

Заметим, что если состояние  системы в начальный момент известно (а это обычно бывает так), то на первом шаге варьировать состояние системы  не нужно - прямо находим оптимальный  выигрыш для данного начального состояния S₀. Это и есть оптимальный выигрыш за всю операцию