Критерии устойчивости САУ

 
 
 

          Wв                 Up          Ug   Uв        eг                                   n                    
 
 
 

                                                                  Uт.п      
 
 
 

Рисунок 2.1 – структурная схема управления частотой вращения двигателя 

,                                             (2.1)

где

- передаточная  функция двигателя по управляющему  воздействию;

- управляющее  воздействие, ЭДС генератора 

                                                       

- передаточная  функция по возмущающему воздействию.

Возмущающее воздействие, момент нагрузки  : 

                                       (2.2)

Передаточная  функция генератора 

                                                                   (2.3) 

Передаточная  функция тиристорного преобразователя 

                                                                            (2.4) 

Передаточная  функция для операционного усилителя 

                                                                               (2.5) 

Передаточная  функция тахогенератора 

                                                                                 (2.6) 

Приводя характеристическое уравнение системы 

                                                                     (2.7) 

к уравнению  третьего порядка 

                                                 (2.8)                                                                 (2.9) 

Получим значения коэффициентов 

                                                                                             (2.10) 

 

                                                                                         (2.11) 

 

                                                                                               (2.12) 

 

                                                                                                  (2.13) 

    

     Характеристическое уравнение системы: 

                                                                  (2.7) 

                                                                              (2.14) 

 

          Все коэффициенты характеристического уравнения положительны, т.е. необходимое условие устойчивости выполняется. Проверим выполнение достаточного условия, для чего вычислим определитель.   

, 

,                                                                          (2.15) 

, 

 

Так как  не все определители положительны, то система неустойчива.

     Решим теперь обратную задачу: определим, какое максимальное  значение общего передаточного  коэффициента  k  допустимо по условию устойчивости.

     Максимально допустимое значение  коэффициента найдем из условия  нахождения системы на колебательной  границе устойчивости: 

                                                                            (2.16) 

Отсюда  

,                                                                      (2.17) 

а  максимально  допустимое значение общего передаточного  коэффициента 

                                                                                    (2.18) 

Условию  нахождения системы на апериодической границе устойчивости

 соответствует  второе предельное значение передаточного  коэффициента 

                                                                                                         (2.19) 

Физический  смысл этого результата следующий: знак «минус» соответствует положительной  обратной связи в главном контуре  системы, следовательно, рассматриваемая статическая система устойчива и при положительной обратной связи при условии, если общий передаточный коэффициент по модулю меньше единицы. 
 
 
 
 

Расчет  устойчивости САУ по критерию Рауса

 
 

     Определим с помощью критерия Рауса устойчивость системы, описываемой характеристическим уравнением 

                                     (2.20) 

 

Так как     

То    

Дальнейшие коэффициенты найдем  по формуле   

                                                                    (1.8) 

 Несуществующие  коэффициенты заменим нулями. 

; 

; 

; 

; 

; 

Таблица  2.1   Коэффициенты Рауса 

 

Данная система  неустойчива, так как не все коэффициенты в первом столбце положительны. 
 
 
 
 

Расчет  устойчивости САУ по критерию Михайлова

 
 

     Определим  с помощью критерия Михайлова   устойчивость системы, характеристический  полином которой имеет вид: 

                                                        (2.21) 

где    

подставим значения коэффициентов: 

                                                      (2.22) 

     Подставляя  в выражение  (2.22)  , найдем функцию комплексной переменной: 

, 

которую представим в виде суммы действительной и мнимой частей: 

 

     Действительная  часть     содержит только четные степени переменной   

                                                                                 (2.23) 

а  мнимая часть  - только нечетные 

                                                                              (2.24) 

Для построения годографа Михайлова задаем  и по формулам  (2.23) и (2.24) считаем и . 

При  = 0 

 

 

При  = 0,5 

 

 

При  = 2 

 

 

При  = 2,2 

 

 

При  = 10 

 

 
 

   Каждому фиксированному значению переменной соответствует  комплексное число, которое можно  изобразить в виде вектора на комплексной  плоскости (Приложение А).

     Если  соединить начало координат с  точкой соответствующей комплексному  числу, а затем изменить    от  0  до  , то конец вектора опишет кривую называемую годографом  Михайлова или характеристической кривой.

     По  виду характеристической кривой  можно судить об устойчивости  системы. При  зменении    от  0  до  характеристический вектор системы повернулся против часовой стрелки на угол , не обращаясь при этом в нуль, т.е. характеристическая кривая, прошла последовательно все квадранты. Следовательно, автоматическая система управления устойчива.