Критерии устойчивости САУ

• для устойчивости линейной автоматической системы управления необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения системы были отрицательными;
• для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения находились в левой полуплоскости.

Если  хотя бы один корень имеет положительную  действительную часть то система  неустойчивая.

     Простейшим критерием устойчивости  является условие положительности  коэффициентов характеристического уравнения. Положительность коэффициентов уравнения  является необходимым (но не достаточным) условием устойчивости системы.

     Критерии устойчивости могут  быть алгебраическими и частотными. Алгебраические критерии устанавливают необходимые и достаточные условия отрицательности корней в форме ограничений, накладываемых на определенные комбинации коэффициентов характеристического уравнения. Частотные критерии определяют связь между устойчивостью системы и формой частотных характеристик системы.  
 

1. Обоснование выбора критериев устойчивости.

Описание критериев устойчивости 
 

     Прямой метод анализа устойчивости  систем, основанный на вычислении  корней характеристического уравнения, связан с необходимостью определения корней. Весьма важное значение в инженерной практике приобретают правила, которые позволяют определять устойчивость системы без вычисления корней. Эти правила называют критериями устойчивости. С помощью критериев устойчивости можно не только установить, устойчива или нет система, но и выяснить, как влияют на устойчивость те или иные параметры и структурные изменения в системе. 

     Различают две группы критериев  устойчивости: алгебраические (Рауса  и Гурвица), эти критерии позволяют  определить устойчивость системы путем сопоставления коэффициентов уравнения с коэффициентами Рауса или определителями Гурвица; (Михайлова, Найквиста) основанные на анализе частотных характеристик.

     Одним из наиболее удобных  для практического использования  является критерий Гурвица (1895г.), основанный на рассмотрении характеристического уравнения.

     Применительно к задачам теории  управления Критерий Гурвица можно сформулировать так:

     Автоматическая система, описываемая характеристическим уравнением

                                

   

,                                               (1.6)

   Устойчива, если при  положительны все определители    вида

     

   

       .                                          (1.7) 

     Если хотя бы один из определителей,  называемых определителями Гурвица,  отрицателен, то система неустойчива.

     Если главный определитель  ,  а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости.

     Критерий Рауса (1877г.), целесообразно использовать при анализе устойчивости систем выше четвертого порядка. Критерий представляет собой систему неравенств, составленных по особым правилам из коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы. Который представляет собой таблицу. В первой строке  таблицы записывают коэффициенты уравнения, имеющие четный индекс, во второй  с нечетными индексами, в последующих строках  помещены коэффициенты Рауса, полученные как комбинации коэффициентов двух вышестоящих строк по формуле

            

                                                                    (1.8) 

где  - номер строки,  - номер столбца. 

Таблица 1.1  Коэффициенты Рауса 

 

Сам критерий формулируется так:

Автоматическая  система устойчива, если положительны все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса (включая и ).

     Если не все коэффициенты столбца  положительны, то система неустойчива. При этом число перемен знака среди этих коэффициентов соответствует числу правых корней характеристического уравнения.

     Критерий Михайлова (1936г.)  так же, как критерии Гурвица и Рауса, основан на анализе характеристического уравнения системы, поэтому с его помощью можно судить об устойчивости замкнутых и разомкнутых систем.

     Пусть левая часть характеристического  уравнения, называемая характеристическим  полиномом, имеет вид

        

                                                                           (1.9) 

Подставим в этот полином вместо переменного  чисто мнимый корень . Получим функцию комплексного переменного 

                                                               (1.10) 

Которую можно так же, как амплитудно –  фазовую характеристику, представить  в виде суммы действительной и  мнимой частей: 

                                                                               (1.11) 

Действительная  часть  содержит только четные степени переменного : 

,                                                                     (1.12) 

а мнимая часть  - только нечетные: 

                                                                               (1.13)

Если  изменять параметр    от 0 до , то конец вектора опишет некоторую линию. Которая называется характеристической кривой  или годографом Михайлова. По виду этой кривой можно судить об устойчивости системы. 

• Автоматическая  система управления, описываемая  уравнением порядка, устойчива, если при изменении от 0 до характеристический вектор системы повернется против часовой стрелки на угол  , не обращаясь при этом в нуль.

     Это означает, что характеристическая  кривая устойчивой системы должна  при изменении   от  0 до пройти последовательно через n квадрантов.

     Характеристические кривые, соответствующие устойчивым системам, имеют плавную спиралеобразную форму и уходят в бесконечность в том квадранте, номер которого равен порядку уравнения. Если  характеристическая кривая проходит n квадрантов не последовательно или проходит меньшее число квадрантов, то система неустойчива. Если кривая  проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости.

     В практических расчетах удобно  применять  следствие из критерия  Михайлова:

• система устойчива, если действительная  и мнимая части характеристической функции  обращаются в нуль поочередно, т.е. если корни уравнений перемежаются.

 и                                                      (1.14)

Критерий Михайлова удобно применять для анализа устойчивости систем высокого порядка (n > 5). 

     Критерий Найквиста (1932г.)позволяет судить об устойчивости системы по амплитудно фазовой характеристике разомкнутого контура системы.

• Автоматическая система управления устойчива, если амплитудно – фазовая характеристика  разомкнутого контура не охватывает точку с координатами (-1; j0).

     Для суждения об устойчивости  систем, имеющих а. ф.  х. сложной  конфигурации, когда кривая а.  ф. х. пересекает действительную ось левее точки

(-1; j0) несколько раз, можно также использовать правило переходов, а. ф. х. не охватывает точку (-1; j0), т.е. система устойчива, если при возрастании разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов а. ф. х. через ось абсцисс слева от точки  (-1; j0) равна нулю.

     Иногда на практике встречаются  системы, в контуре которых  имеется одно или несколько  неустойчивых элементов. Такие  системы в разомкнутом состоянии неустойчивы. Для суждения об их устойчивости необходимо использовать формулировку критерия Найквиста:

• автоматическая система управления устойчива, если амплитудно – фазовая характеристика    разомкнутого контура охватывает - раз точку с координатами (-1; j0)  где l – число правых корней характеристического уравнения разомкнутого контура.

     Рассмотренные критерии устойчивости  на практике применяются лишь  для оценки устойчивости готовых  систем, когда все параметры заданы. Если же ставится задача определения некоторых параметров для обеспечения устойчивости системы и при этом используются критерии устойчивости, то объем расчетов по заданию конкретных числовых значений параметров и исследованию устойчивости системы будет значительным. 
 
 

2. РАСЧЕТНЫЙ  РАЗДЕЛ

 

Расчет  устойчивости САУ по критерию Гурвица 

     Определим с помощью критерия Гурвица устойчивость системы управления частотой вращения двигателя, при следующих значениях: 

            Тм=0,9 с; Тя=0.3 с; Тг=0,7с; К=14.           
 
 

                                                                                         Мс