О чём говорит начертательная геометрия

   В ряде частных случаев можно  заранее предсказать вид линии  пересечения поверхностей. Эти случаи описываются теоремами, которые доказываются в аналитической геометрии. С точки зрения начертательной геометрии они интересны тем, что дают возможность получить простейшим образом проекции линии пересечения, зная заранее характер кривой и несколько опорных точек. Приведём одну из таких теорем.

   Теорема Монжа. Если две поверхности второго порядка вписаны или описаны вокруг третьей, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения окружностей касания.

   Для нахождения точки пресечения  линии и поверхности следует:

1. Заключить заданную линию во вспомогательную поверхность;
2. Построить линию пересечения вспомогательной поверхности с заданной;
3. На пересечении полученной линии с заданной найти искомую точку.

   Теорема 11. Если прямая касательна к кривой, то проекции прямой касательны к соответствующим проекциям кривой.

   Для построения плоскости, касательной  к поверхности в заданной на  ней точке, следует провести  через эту точку две линии, принадлежащие поверхности, и затем две пересекающиеся прямые, касательные к ним в заданной точке. Эти прямые задают искомую плоскость.

   По заданным проекциям геометрических фигур можно судить об их взаимном расположении, т. е. решать позиционные задачи.

   Решение задач следует проводить  согласно общим правилам (алгоритмам) для каждого типа задач (принадлежность, пересечение, касание).

   Построения упрощаются, если фигуры  занимают частное положение относительно  плоскостей проекций.

   Вспомогательные линии и поверхности  следует выбирать так, чтобы  они проецировались в виде  простейших линий.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение. 

                                                                                               Высшее назначение  ма-

                                                                                         тематики – находить

                                                                                        порядок в хаосе,  кото-

                                                                                  рый нас окружает.

Н. Винер

   Мы всегда замечали, как долог  путь по незнакомой местности.  Второй раз он становиться  как бы короче, а далее уже  проходим его, не задумываемся, огибая привычные повороты. Так  и первое знакомство с начертательной геометрией казалось несколько сложным и утомительным. Теперь мы прошли и по дорогам начертательной геометрии.

   Геометрия изучает множества  точек или геометрические фигуры (точки, линии, поверхности, тела).  При графическом отображении фигур трёхмерного пространства на двухмерной плоскости возникает необходимость указания законов соответствия между пространственными объектами и их плоскими моделями. Эти законы изучает именно начертательная геометрия. 

   О расположении фигур в пространстве относительно плоскостей проекций можно судить по характеру расположения их проекций на чертеже относительно оси. О взаимном расположении фигур в пространстве можно судить по характерным признакам взаимного расположения их проекций на чертеже. Эти признаки описывают теоремами.

   Решение вопросов о взаимном  положении и метрических характеристиках  прямых и плоскостей значительно  упрощается, если прямые и плоскости  занимают частное (параллельное  или перпендикулярное) положение  относительно плоскостей проекции. Это очень удобно для решения задач.

   По заданным проекциям геометрических  фигур можно судить об их  взаимном расположении, т. е. решать  позиционные задачи. Решение задач  следует проводить согласно общим  правилам (алгоритмам) для каждого  типа задач (принадлежность, пересечение, касание). Построения упрощаются, если фигуры занимают частное положение относительно плоскостей проекций. Вспомогательные линии и поверхности следует выбирать так, чтобы они проецировались в виде простейших линий.

  Фундаментом логического построения начертательной геометрии являются: понятия, постулаты, определения, основные свойства. На этом основании могут быть доказаны теоремы и сформулированы новые определения. Такая чёткая система во всех формулировках помогает легко запомнить эти правила.

   Что же такое начертательная  геометрия? Из всех определений  сохраним то изначальное, что  было дано ей отцом Гаспаром  Монжем: «Начертательная геометрия преследует две цели: во-первых, дать методы для изображения на листе чертежа, имеющего только два измерения, а именно, длину и ширину, любых тел природы, имеющих три измерения – длину, ширину и высоту, при условии, однако, что эти тела могут быть точно заданы. Во-вторых, дать способ на основании точного изображения определять формы тел и выводить все закономерности, вытекающие из их формы и их взаимного расположения».

Список  литературы

С. А. Фролов, М. В. Покровская; «Начертательная геометрия. Что это такое?»; Минск «Вышэйшая школа»; 1986 год.