О чём говорит начертательная геометрия

                                                                                  в начертательной  геомет-

                                             рии.

Г. Монж

   Главное – проецирование точки,  этого атома в мире фигут,  этого кирпичика в здании геометрии. 

   На рис.14, а показаны различные взаимные положения точек А, В, С, D относительно плоскостей проекций π1 и π2.

                                                          Рис.14

  На рис.14,б даны горизонтальные и фронтальные проекции этих точек. Приведённые чертежи служат, согласно школьной терминологии, своеобразной «таблицей умножения» для проецирования точек. Это основа. А теперь, пользуясь этой основой, покажем изображение на чертеже прямой и плоскости.

   Поскольку, согласно законам стереометрии, прямая в пространстве может  быть определена двумя нетождественными  точками, то на чертеже она  может быть задана проекциями этих точек. Но чаще, согласно свойству проецирования прямой, её задают проекциями:  а’ – горизонтальной и а” – фронтальной (рис.15). Прямую а назвают прямой общего положения. Она произвольно расположена по отношению к плоскостям проекций. Если продолжить прямую до пересечения с плоскостями проекций, то получим две точки частного положени на прямой – её следы:

  На – горизонтальный след прмой;

  Fа – фронтальный след прямой.

 Прямые h и f (рис.16) – прямые    частного положения. Они параллельны

                          Рис.15                  соответственно   горизонтальной    и фронтальной плоскостям проекции. Ввиду особой важности этих прямых за ними закреплены    имена    собственные: h называют горизонталью, f – фронталью.

                          Рис.16                         Умея  задавать на чертеже точки и прямую, мы без труда перейдём к заданию плоскости.

   Известно, что в пространстве плоскости днозначно определется тремя различными не принадлежащими доной прмой точками. Поэтому на чертеже она может быть задана либо проекцими этих точек, либо точкой и прямой, проходщей через две другие точки, либо двумя параллельными или пресекающимися прямыми. В частности, эти пересекающиеся прямые могут быть горизонталью и фронталью. Ещё в более частном случае эти горизонталь и фронталь могут лежать в плоскостях проекций, т. е. являться следами плоскости.

   На  рис.17 показана плоскость общего  положения α. Эта плоскость произвольно расположена по отношению к плоскостям проекций.

   Плоскости, как и прямые, могут  занимать по отношению к                                Рис.17

 плоскостям  проекций частное положение. Так,  плоскости β и γ, перпендикулярные соответственно к горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций, называются проецирующими (рис.18). Характерный признак на чертеже – один из их следов перпендикулярен к оси х.

   Следы…Новое,  необычное своим житейским звучанием  среди строгой научной термино-                                 Рис.18

логии, но чрезвычайно полезное для нас понятие. Следы прямой, следы плоскости, следы поверхностей, которые оставляют эти геометрические фигуры на своей геометрической «земле» - плоскостях проекций. И так же, как трость оставляет на земле следы – точки, как плоское лезвие ножа оставляет прямую зарубру, как цилиндрическое ведро даёт на сыром песке след – окружность, так и их абстракции – геометрические фигуры имеют следы в виде фигур, местность которх на еденицу меньше мерности самих фигур (след одномерной прямой – нуль-мерная точка; след двумерной поверхности – одномерная линия 0. И так же, как охотник умеет различать по следам на белой глади заснеженного поля, какой зверь пробежал ночной порой, так и мы теперь безошибочно различим по следам, какая фигура их оставила и как она была расположена в пространстве.

   Часто ли можно встретить на  чертеже изображение одинокой  точки, или одной прямой, или  одной плоскости? Нет, в реальных  условиях, на практике, одинокая  фигура – это явление такое  же необычное и противоестественное,  как и существование человека  на необитаемом острове.

   Точки, прямые и плоскости,  которыми плостно заселён геометрический  мир, тесно связаны друг с  другом близким и далёким соседством  и находятся в определённых  отношениях между собой.

   Параллельность и перпендикулярность… Это один из первых геометрических понятий, прочно усвоенных ещё с детства из окружающей жизни, из нашего бытия. Параллельны стороны листа на котором мы начинали рисовать; стороны стола, на котором лежал рисунок. Ножки этого стола перпендикулярны к его поверхности, а стены комнаты, в которой он стоял, - к его полу. Затем, подрастая, мы переносили эти понятия в иные области нашей жизни: в школе мы учились в параллельных классах и проводили параллели между судьбами; на работе по параллельным телефонам будем решать параллельно ряд вопросов и т. д.

   И наоборот, впитав с детства  такие житейские понятия, как  «принадлежать» и «пересекаться», мы начинаем взрослеть, и с  удивлением обнаруживаем их в  строгой терминологии математики.  

   Теоремы геометрии закрепляют  эти понятия в нашем сознании, ставят их на прочный геометрический фундамент как в пространстве, так и на плоскости.  Они помогут нам ответить на два главных вопроса:

1. Если в пространстве геометрические фигуры взаимно расположены неким образом, то каковы хароактерные особенности расположения на чертеже их проекций?
2. Если на чертеже даны проекции фигур, неким образом расположенные друг по отношению к другу, то как сами фигуры взаимно расположены в пространстве?

 

Теорема 1. Если точка принадлежит прямой, то проекции точки принадлежат соответствующим проекциям прямой.

Теорема 2. Если прямая принадлежит плоскости, то проекции следов прямой принадлежат соответствующим проекциям следов плоскости.

Теорема 3. Если точка принадлежит плоскости, то проекции точки лежат на соответствующих проекциях прямой, принадлежащей плоскости.

Теорема 4. Если прямые пересекаются в некоторой точке, то их проекции пересекаются в соответствующих проекциях этой точки.

Теорема 5. Если прямые параллельны, то параллельны их соответствующие проекции.

Теорема 6. Если плоскости параллельны, то параллельны соответствующие проекции их следов.

Теорема 7. Если одна из взаимно перпендикулярных прямых параллельна какой-либо плоскости проекций (а другая к ней не перпендикулярна), то проекции прямых на эту плоскость проекций взаимно перпендикулярны.

Теорема 8. Если прямая перпендикулярна к плоскости, то горизонтальная проекция прямой перпендикулярна горизонтальному следу, а фронтальная проекция – фронтальному следу.

Теорема 9. Если величина отрезка АВ = d, то в проекции на π1 ׀ А’B’׀ = dcosφ1, а в проекции на π2 ׀ А”B”׀ = dcosφ2, где φ1 и φ2 – углы наклона отрезка АВ соответственно к плоскостям

                            Рис. 19                                    π1 и π2 (рис.19). 

Теорема 10. Если точка принадлежит отрезку, то проекции точки делят соответствующие проекции отрезка в том же соотношении, что и точка делит отрезок.

   Завершая эту главу, я хотела  бы ещё раз подчеркнуть важность  частных положений прямых и  плоскостей с точки зрения  упрощения графических решений. Для определения взаимного расположения фигур, в частности пересечения, более важна их перпендикулярность к плоскостям проекций. При определении углов и расстояний выгодно, как правило, является параллельность отрезков и углов по отношению к плоскостям проекций. 
 
 
 

Способы преобразования чертежа. 

                                                                                        ...Мы можем рассматри-

                                                                                      вать пустыню Сахара как

                                                                               плоскость. Проектируем

                                                                            плоскость в прямую – в

                                                                                 точку, находящуюся внут-

                                                                               ри клетки. Лев проекти-

                                                                           руется в ту же точку.

Г. Петард

   Неужели так просто поймать  льва в пустыне? Да, оказывается,  всё дело в том, чтобы поместить  его в удобное относительно  пустыни и охотника положение.

   А вот, чтобы увидеть корабль  с наиболее удобной, информативной  стороны, нужно или подождать, пока он отшвартуется и неспешно развернётся, или если до отправления далеко, нам придётся пройти несколько десятков метров по причалу и посмотреть на него с другой, удобной точки зрения.

   Если обратиться к геометрическому миру, то можно вспомнить, что нам уже встречалось понятие удобного расположения геометрических фигур относительно плоскостей проекций. Удобно, если прямая или плоскость параллельны какой-либо плоскости проекций. Тогда легко определить истинные величины углов и расстояний. Удобно, если прямая или плоскость перпендикулярны какой-либо плоскости проекций. Тогда легко определить проекции фигур их пересечения.

 А  если заданные фигуры занимают  общее, случайное, часто неудобное  с точки зрения поставленной  задачи положение относительно  плоскостей проекций? Ответ напрашивается сам собой: следует привести их в удобное положение. Нужно или повернуть объект, или посмотреть на него с другой точки зрения.

   Предположим, требуется, чтобы  отрезок был спроецирован в  точку. Можно предложить такой путь: не трогая объект и оставив неподвижными плоскости проекций, изменить лишь направление проецирования, и цель будет достигнута – прямая спроецируется в точку. Казалось бы, самый простой путь. Но при этом нарушиться важное условие данного метода, условие ортогональности проецирования. Поэтому такой способ, называемый косоугольным проецированием, оставим пока вне поля нашего зрения.

   Можно переместить сам отрезок  относительно подвижных плоскостей  проекций и, ортогонально спроецировав, получить его новую, удобную проекцию в виде точки. Этот способ называют способом измерения положения объекта проецирования.

   А можно, оставив отрезок неподвижным,  поставить новый «экран», новую  дополнительную плоскость проекций  π3 и, спроецировав отрезок ортогонально на эту плоскость, получить его новую проекцию в виде точки. Этот способ называется способом введения дополнительных плоскостей проекций.

   Построение новых дополнительных проекций называется преобразованием чертежа. Цель способов преобразования чертежа состоит в том, чтобы привести плоскости проекций и проецируемые фигуры в такое взаимное расположение, при котором последние займут частное положение.

   Однако эти преобразования мы  будем производить только на  чертеже, оперируя лишь проекциями  объекта, мысленно сопоставляя действия в пространстве с построениями на чертеже.

   А теперь расскажем подробнее  о каждом из названных основных  способов преобразования чертежа  на примере проецирования точки.

   Сначала – о способе изменения  положения объекта. Изменить положение объекта относительно неподвижных плоскостей проекций, переместить его в требуемое положение можно различными способами, например поворотом вокруг некоторой оси.

   Сущность способа. Плоскости проекций неподвижны. При вращении плоской фигуры вокруг некоторой оси (ось вращения), каждая точка вращаемой фигуры перемещается в плоскости вращения перпендикулярной оси. Точка вращения по окружности, центр которой расположен в точке пересечения оси вращения с плоскостью вращения. Радиус окружности равен расстоянию от вращаемой точки до центра. Плоскость совмещения, с которой совмещается вращаемая фигура, выбирается в зависимости от цели, поставленной задачи.