О чём говорит начертательная геометрия

Введение. 

Что же такое начертательная геометрия?

Начертательная  геометрия относится к числу  математических наук. Это одна из ветвей геометрии, которая занимается вопросами исследования геометрических основ построения изображений предметов на плоскости, вопросами решения пространственных геометрических задач при помощи изображений. Для неё характерна та общность методов, которая свойственна каждой математической науке. Методы начертательной геометрии находят самое широкое применение в объектах изучения самой различной природы: в механике, архитектуре и строительстве, химии, геодезии, геологии, кристаллографии и т.д. Но наибольшее значение и применение методы начертательной геометрии нашли в различных областях техники при составлении различного вида технических чертежей: машиностроительных, строительных, различного рода карт и т.д. Начертательная геометрия, таким образом, является звеном, соединяющим математические науки с техническими. И входит в группу общетехнических дисциплин, составляющих основу всякого инженерного образования. Она учит грамотно владеть выразительным техническим языком - языком чертежа, умению составлять и свободно читать чертежи, решать при помощи чертежей различные инженерно-технические задачи. Кроме того, изучение начертательной геометрии способствует развитию пространственных представлений и пространственного воображения - качеств, характеризующих высокий уровень инженерного мышления и необходимых для решения прикладных задач. В процессе изучения начертательной геометрии расширяется общенаучный кругозор, развиваются навыки логического мышления, внимательность, наблюдательность, аккуратность и другие качества, развитие которых является одной из задач обучения и воспитания в высшей технической школе.  
 

Почему  начертательную геометрию  назвали начертательной?

                                                                                          

                                                                                            Разум человеческий  вла-

                                                                                            деет тремя ключами,

                                                                                            открывающими всё: 

                                                                                            цифрой, буквой, нотой.

В.Гюго

   Что открывают эти ключи и действительно всё можно открыть ими?

Цифра, буква, нота помогают распахнуть двери  в различные области человеческого  общения. С тех пор, как человек  стал Человеком Разумным, как его труд стал носить коллективный характер, для него стало жизненной необходимостью обмениваться мыслями с себе подобными, искать и находить взаимопонимание. Такого понимания люди смогли достичь благодаря языку. Язык – это система знаков, передающих информацию.

   Но, продолжая мысль Гюго, геометрия  не может не добавить: ещё один  ключ – линия и ещё один  язык – язык графики. Этот  язык – наиболее естествен  для передачи информации о  форме предмета, его зрительном  образе.

   Язык графики имеет множество достоинств, но основные из них – это лаконичность и наглядность. Если язык слов разобщает людей различных национальностей, то графический язык без переводчика понятен всем. Эту особенность языка линий подметили давно. Например, в средневековых городах, особенно в портовых или расположенных на перекрёстках торговых путей, вместо названий лавок и мастерских ремесленников у входа прохожих зазывали вывески (рис. 1). Эта информация была без слов понятна любому безграмотному обывателю, любому иностранцу.

Рис. 1

   А во время, когда один из  городов нашей планеты становится  Олимпийской столицей, он наполняется  множеством иностранных спортсменов,  журналистов, болельщиков из разных  уголков Земли. Как им помочь  ориентироваться в чужом городе  с незнакомым языком? И вновь на помощь приходит образный лаконичный язык графики (рис. 2).

Рис. 2

Рис. 3

   А дорожные знаки, регулирующие  движение на улицах городов  и шоссейных дорогах мира? Они  понятны любому водителю, независимо  от языка, на котором он говорит,  образования и специальности (рис. 3).

   Пожалуй, этот язык приобретает  особое значение при обмене  технической информацией между  разными странами, недаром чертёж  называют международным языком  техники, а начертательную геометрию  – грамматикой этого языка.  Так, что же обозначает само название «начертательная геометрия»?

   Существительное в этом словосочетании  указывает на исторические корни  науки, на то, что она является  одной из ветвей геометрии.  Геометрия возникла в глубокой  древности из практических нужд  измерения земельных участков. Греки внесли в геометрию логику, но для этого нужна была связь между лаконичным чертежом и словом. Поэтому на чертеже появились буквы: у вершин квадрата, в точке пересечения диагоналей, на концах отрезков. Так же, метод координат, введённый Рене Декартом, связал алгебру и геометрию, а это в свою очередь позволило сопоставить каждой точке пространства систему упорядоченных чисел, однозначно определяющую её в заданной системе координат. Буквы, обозначающие различные величины, сведённые в стройные ряды формул, на некоторое время потеснили чертёж. Но чертёж жил – в практике строителей, корабелов, резчиков камней. Новую жизнь в искусство составлять чертежи вдохнула начертательная геометрия, подведя научный фундамент под древнее умение отображать трёхмерный мир на плоскости.

   Прилагательное в названии рассматриваемой  науки указывает её отличие  от других ветвей геометрии,  на то, что она говорит о  геометрических фигурах языком  самих этих фигур, языком линий.

   Хотя при изложении основ начертательной геометрии, как вспомогательное качество используется привычный живой язык слов, и там, где это облегчает понимание, обобщает мысль, экономит время и бумагу, - компактный язык символов.

Итог…

   Язык – система знаков, позволяющая  передавать и хранить информацию.

   Основной язык начертательной  геометрии – графический, его  символы – точки и линии.

   При изложении основ начертательной  геометрии в качестве вспомогательного  используется привычный живой  язык слов, и там, где это  облегчает понимание, обобщает мысль, экономит время и бумагу, - компактный язык символов. 
 
 
 
 
 
 
 

Метод проекций. 

                                                                                         Прямая линия в  матема-

                                                                                      тике так же, как и в мо-

                                                                                  рали, - самый короткий

                                                    путь.

Л. Эджворт

   Какое слово чаще всего встречается в книгах по начертательной геометрии? Слово «проекция»  и все производные от него: проекция точки и фигуры, проецирующая прямая, плоскость проекций и т.д. Почему? Объяснение просто: в основе начертательной геометрии лежит метод проекций.

   С понятием проекции мы, не  замечая этого, встречаемся постоянно  в нашей повседневной жизни.  Тень, отброшенная нами на асфальт  светом уличного фонаря или  на морской песок лучами летнего  солнца, - это проекция нашей фигуры. Фотография, запечатлевшая улыбку ребёнка, - это проекция на лист фотобумаги изображения с кадра фотоплёнки, который в свою очередь был проекцией зафиксированного мгновения реального мира. Мерцающие созвездия на куполе планетария – проекция искусно сделанной модели звёздного неба.

   Всякая проекция – отображение, и потому для её определения следует ввести три понятия:

   ЧТО проецируют (объёмы проецирования)?

   НА ЧТО проецируют (поверхности  проецирования)?

   КАК проецируют (способ проецирования)?

   В рассмотренных или других  примерах реального физического проецирования в качестве объектов могут выступать любые предметы окружающего нас мира.

   В качестве поверхностей проецирования  может быть взята любая удобная  поверхность:

• плоская (лист фотобумаги);
• цилиндрическая (экран круговой кинопанорамы);
• сферическая (купол планетария).

   Направление проецирования может  задаваться реальными физическими  лучами: параллельными от далёких  светил или расходящимися –  от лампы, но в реальной жизни  практически всегда прямолинейными.

  Чем  занимается всё это в нашем математическом, абстрагированном мире геометрических фигур?

   Выберем в качестве основных  элементов аппарата проецирования  три простейшие геометрические  фигуры: ТОЧКУ, ПРЯМУЮ, ПЛОСКОСТЬ.

Пусть точка А трёхмерного пространства проецируется прямой s, проходящей через некоторый центр S, в некоторую точку А’ плоскости π1. (Точку S называют центром проецирования, плоскость π1- плоскостью проекций, прямую s- проецирующей прямой (рис.4). Точка А’ пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций называется проекцией точки А.     

                                      Рис.4                                        Рис.5

   Очевидно, каждой точке пространства  будет однозначно соответствовать  своя собственная проекция. Если  точка принадлежит плоскости проекций, то её проекция совпадает с самой точкой (точка В). А бывает еще, например (рис.5): здесь точка пересечения общей проецирующей прямой является, как проекцией точки А, так и точки С.

   Следовательно такое отображение  не является взаимно однозначным, т. е. по образу нельзя точно распознать прообраз, или, другими словами , судить о положении точек в пространстве по одной проекции невозможно. А именно это и является одной из важнейших инженерных задач, одним из требований, которое ставиться перед чертежом – точное определение пространственного объекта по его изображению, по его проекции. Где же искать выход?

   Вот один из них (рис.6): спроецировать одну точку дважды – из двух центров S1 и S2. Тогда обратная задача решается легко, по заданным проекциям А1’ и А2’ и заданным направлениям проецирования – к центрам S1 и S2  мы легко обнаружим точку А в пространстве (рис.7).

Рис.6                                   Рис.7

   А вот ещё вопрос: где проекция точки D (рис.8)?

   Где встретиться прямая s с плоскостью проекций π1, если точка D расположена так, что s‌‌‌‌ ‌‌׀׀ π1? Согласно канонам евклидова пространства, прямая s не имеет с плоскостью π1 общей точки, т. е. не пересекается с ней.  Поэтому нужно постепенно подойти к этой особой, казалось бы, точке D. Возьмём непрерывный ряд точек на некоторой прямой а и спроецируем их на плоскость π1 (рис.9).

Луч [SB) пересечёт плоскость π1 в её собственной точке B’.

Луч [SA) пересечёт плоскость π1 в её более далёкой точке A’.

Луч [SC) пересечёт плоскость π1 в очень далёкой, или, как говорят, недоступной точке, уже лежащей за пределами чертежа в намеченном отсеке плоскости π1.

Рис.8                                    Рис.9

Продолжая рассуждения, можно сказать, что  прямая s пересечёт плоскость π1     в бесконечно далёкой точке D∞ или так называемой несобственной точке прямой а. 

   Понятие несобственной точки  было введено в геометрию французским  математиком и архитектором Жираром  Дезаргом и является ныне одним  из важнейших понятий проективной  геометрии. Понятие несобственной точки чисто условно, но оно удобно, так как уравнивает по своим свойствам все точки пространства. Действительно, теперь любые две прямые плоскости пересекаются: в собственной (если они были пересекающимися по Евклиду) или в несобственной (если они были параллельными по Евклиду) точке. Каждая прямая имеет одну несобственную точку. Каждая плоскость имеет одну несобственную прямую, по которой пересекутся все плоскости, параллельные данной.