О чём говорит начертательная геометрия

   Рассмотрим один из рациональных и распространённых способов – способ вращения вокруг горизонтали. Этот способ рассмотрим на трёх примерах решения задач ( о вращении точки, отрезка прямой и плоскости). Постановка задачи одинакова для всех трёх случаев: вращением вокруг оси h совместить заданную геометрическую фигуру с горизонтальной плоскостью β.

   Задача 1. Току А повернуть вокруг горизонтали h до совмещения её с плоскостью β׀׀π1 (рис.20).

   План решения задачи сводится к следующему:

Рис.20

1. Через точку А проводим плоскость α ׀ h. Поскольку h ׀׀π1, то α ׀ π1, следовательно, плоскость α может быть задана своей вырождённой проекцией – горизонтальным следом h0α, причём А’ принадлежит h0α и h0α ׀ h’.
2. Находим центр вращения – точку О. Так как α ׀ π1, то горизонтальная проекция центра О находиться сразу без дополнительных построений: О’ = h’∩ h0α.
3. Определяем величину радиуса вращения R. Для этого строим прямоугольный треугольник А’O’A. Величина его гипотенузы ׀О’A׀ = R. Поскольку траектория движения точки А – окружность с центром О принадлежит плоскости α, то её горизонтальная проекция совпадает с вырожденной проекцией плоскости α – её следом h0α.

Поскольку точка А должна быть совмещена с плоскостью β׀׀π1, то отрезок АО в новом, повёрнутом положении А1О будет параллелен плоскости π1, и, следовательно, на эту плоскость он проецируется без искажения. Поэтому на h0α отложим отрезок А’1O’ = R.  Вторая проекция А”1 лежит на фронтальном следе f0β плоскости совмещения β.

   Задача 2. Отрезок АВ вращением вокруг горизонтали повернуть в положение, параллельное плоскости π1 (рис.21).

   Для упрощения решения задачи  ось вращения (горизонталь) проводим через один из концов отрезка, например через точку В. Так как точка В принадлежит оси вращения, то для неё этот поворот будет тождественным преобразованием и В1≡В. Поэтому, чтобы повернуть отрезок АВ, достаточно повернуть вокруг оси h только одну точку А, т. е. задача сводиться к предыдущей.

Рис.21

Рис.22

   Задача 3. Плоскость α повернуть вокруг горизонтали до положения, параллельного плоскости π1 (рис.22). Если две точки В и D плоскости принадлежат оси вращения, то после поворота они не изменят своего положения. Поэтому, чтобы повернуть плоскость, достаточно осуществить поворот только одной точки А, т. е. и в этом случае решение может быть сведено к задаче 1.

   В чём смысл выбора плоскости  совмещения, параллельной π1 или π2? В том, что в этом случае фигура проецируется без искажения. Это важно для решения многих задач.

   Затем, что указанный способ  вращения целесообразно применять  для фигур, лежащих в одной  плоскости (точка и прямая, две  параллельные прямые, плоская фигура).

   Рассмотрим способ введения дополнительных  плоскостей, или иначе способ  замены плоскостей проекций.

   Сущность способа. Заданные геометрические фигуры неподвижны. Взамен одной из основных плоскостей проекций вводится новая дополнительная плоскость, перпендикулярная ко второй основной. Для получения новой дополнительной проекции геометрическая фигура ортогонально проецируется на введённую плоскость.

   При замене фронтальной плоскости проекций на новую дополнительную на чертеже выбирается положение навой оси. Затем из горизонтальной проекции точки проводиться линия связи перпендикулярно к новой оси. Для нахождения новой дополнительной проекции на новой линии связи от новой оси откладывается отрезок, равный z – координате точки.

   При замене горизонтальной плоскости проекций план построения аналогичен. Нужно только всюду заменить слово «фронтальный» на «горизонтальный» (и наоборот), а координаты z – на y.

   Ну вот мы и показали азбуку способов на примерах. 
 

Общие правила решения  позиционных задач. 

                                                                                    Кто изучил науки, а к

                                                                                    делу их не применяет,

                                                                                      словно тот, кто арык

                                                                                      прорыл, а поле не засе-

                                                     ял.

А. Навои

  Зачем  человек с детства учится изображать и распознавать буквы? Конечно, не ради искусства каллиграфии, а затем, чтобы сочетая буквы в слова, спрессовывать их в скупые колонки о событиях в мире или в изысканную вязь сонетов так, чтобы читающий те строки увидел за ними взрывы и горе войны, глубину и нежность любви.

   Зачем человек изучает язык  линий, язык чертежа? Чтобы оптимальные числом линий точно отобразить на чертеже геометрическое «лицо» объектов реального мира. Казалось бы, что ещё? Фотографу-портретисту этого было бы достаточно. Но, например, для научной фотографии умение только отобразить объект – не цель, а лишь средство. По отображениям объектов учёные узнают, как они расположены в пространстве и друг относительно друга, каковы их величины, решая, таким образом огромное число научных и инженерных задач.

   Мы немного коснулись этого  ранее, в главе о взаимном  положении точек, прямых и плоскостей. Теперь речь пойдёт о «действующих  лицах» - о линиях и поверхностях. Характер фигуры касания плоскости  к открытому тору будет зависеть от того, с какой стороны этой своенравной поверхности произойдёт их встреча. И именно чертёж при умелом и выгодном расположении фигур относительно плоскостей проекций зачастую быстрее, проще, не говоря уже о наглядности, поможет нам выяснить глубину и нюансы взаимных отношений наших новых действующих лиц – линий и поверхностей.

    Возможные случаи взаимного положения геометрических фигур. Пусть даны две геометрические фигуры Ф1 и Ф2. Каждая из этих фигур может представлять собой дугу кривой линии или отсек плоскости, а может даже сжаться в точку. Для общности рассуждений это безразлично. Важно только, чтобы это было множество точек (кстати, одна точка – это множество, состоящее из одного элемента). Подвигаем эти  фигуры   друг относительно друга, как    показано             Рис.23

 на  рис.23, и мы увидим, что вариант  расположения фигур могут быть  представлены в идее таблицы.

   Вот, пожалуй, и всё. Мы перечислили все возможные случаи взаимного расположения геометрических фигур в их качественной оценке.

   С точки зрения инженерных потребностей наиболее интересными являются три случая: инцидентность (принадлежность), пересечение и касание.

   Рассмотрим отношение принадлежности  геометрических фигур. Можно ли, глядя с высоты обрыва, уверенно сказать, плывёт воздушный шарик над гладью моря или качается на волне? Или, переведя это на язык геометрических абстракций, узнать, принадлежит ли точка поверхности сферы или находится вне её? Но вот о машине (точек), мчащеёся по шоссе, можно с уверенностью сказать, что она соприкасается с землёй, инцидентна ей, так как лента (линия) шоссе всеми своими точками принадлежит поверхности земли. Мы видим, что даже из повседневных представлений связь точки с поверхностью можно осуществить посредством линии.

   Обратим внимание – выбирать не простейшую линию в пространстве, а такую, которая будет иметь проекции в виде простейших линий – прямых и окружностей, так как их быстро, точно и удобно можно построить на чертеже с помощью линейки и циркуля.

   Обратим внимание – выбирать не простейшую линию в пространстве, а такую, которая будет иметь проекции в виде простейших линий – прямых и окружностей, так как их быстро, точно и удобно можно построить на чертеже с помощью линейки и циркуля. На рис.24 показано, как задача решается для различных видов поверхностей. Постановка задачи общая: найти горизонтальную проекцию точки А, принадлежащей заданной поверхности. Для конической поверхности в качестве вспомога-                         Рис.24

тельной линии выбрана прямолинейная образующая (рис.24,а), для поверхности вращения (рис.24,б) – параллель. Однако не всегда удаётся на чертеже провести линию, обе проекции которой простейшие. Ну что же, ключ остаётся тот же,  правда, повернуть его в замке

          Рис.25       удастся не за один, а за несколько оборотов. Для косой плоскости (рис 25) через А” следует провести фронтальную проекцию а” любой (например, плоской) линии, построить её вторую проекцию а’ из условия принадлежности каркасу поверхности, а затем на найденной проекции линии а’ отметить недостающую проекцию точки А’.

   В круге задач о принадлежности фигур мы ограничились лишь одной – о принадлежности точки поверхности, во-первых, потому что нельзя объять необъятное, и, во-вторых, потому что эта задача чрезвычайно важна в свете задания поверхности. Считают, что поверхность задана, если в отношении любой точки, ей принадлежащей, можно подтвердить их инцидентность.

   Следующая тема – пересечение  геометрических фигур. Итак,  наша  задача – построить общее для  заданных фигур множество точек. Это множество может состоять из одной, двух, из множества точек, образующих линию или распадающегося на несколько линий. Результат зависит от характера заданных фигур и их взаимного расположения. Сочетания пересекающихся фигур могут быть в принцпе любыми. В частном случае можно говорить даже о пересечении двух точек. Однако наибольший интерес в инженерной практике представляет пересечение: поверхности и поверхности; линии и поверхности. В частном случае линия может быть прямой, а поверхность – плоскостью.

   Прежде чем подбирать ключи  к задачам о пересечении поверхностей, не пытаемся ли мы войти  в открытую дверь? Такой дверью  в нашем случае будет проецирующее  положение хотя бы одной из  заданных поверхностей. Напомним, если  одна фигура принадлежит другой – проецирующей, проекция первой принадлежит вырожденной прорекции второй, совпадающей с её следом.

   Но лучше один раз увидеть…  Посмотрим на рис.26, чертёж подтвердил, насколько просто решается задача, если одна из поверхностей проецирующая. В этом случае нужно строитьлишь одну проекцию линии. Вторая её проекция уже существует на чертеже. Её необходимо увидеть.

Для построения линии пересечения двух поверхностей находят ряд точек, общих для  этих поверхностей, и соединяют эти  точки плавной линией. Для нахождения произвольной точки, принадлежащей линии пересечения, следует:

1. Ввести вспомогательную поверхность;
2. Построить линию пересечения вспомогательной поверхности с каждой из заданных;
3. На пересечении полученных линий найти искомую точку.

Рис.26

Рис.27

   Вспомогательную поверхность следует выбирать так, чтобы вспомогательные линии пересечения её с заданными поверхностями проецировались в виде простейших линий.

   На рис.27 показано построение  точки L, принадлежащей линии пересечения цилиндрической α и конической β поверхностей. В качестве посредника данные поверхности соответственно по окружности а и b, на пересечении которых и лежит искомая точка L.