Способы оценки и исключения систематических погрешностей

Критерием оценки наличия  систематических погрешностей в  данном случае является дисперсионный  критерий Фишера  . Критическая область для критерия Фишера соответствует P(F > F_q) = q.

Значения Fq для различных  уровней значимости q, числа измерений N и числа серий s приведены в  приложении 1, где k₂= N—s, k₁= s — 1. Если полученное значение критерия Фишера больше F_q (при заданных q, N и s), то гипотеза об отсутствии систематических смещений результатов наблюдений по сериям отвергается, т.е. обнаруживается систематическая погрешность, вызываемая тем фактором, по которому группировались результаты наблюдений.

 

Критерий Вилкоксона. Если закон распределения результатов  измерений неизвестен, то для обнаружения  систематической погрешности применяют  статистический критерий Вилкоксона.

Из двух групп результатов  измерений х₁, х₂,..., х_n и у₁, у₂,..., у_m, где n ³ m ³ 5, составляется вариационный ряд, в котором все n+m значений х₁, х₂,..., х_n; у₁, у₂,…у_m располагают в порядке их возрастания и приписывают им ранги — порядковые номера членов вариационного ряда. Различие средних значений каждого из рядов можно считать допустимым, если выполняется неравенство

где R; — ранг (номер) члена  xi, равный его номеру в вариационном ряду; T_q- и Т_q+ — нижнее и верхнее критические значения для выбранного уровня значимости q. При m < 15 эти критические значения определяются по табл.2. При m >15 они рассчитываются по формулам:

где z_p— квантиль нормированной функции Лапласа.

 

 

Таблица 2

      Критические  значения T_q- и Т_q+ при q = 0,005 и 0,01

 

n	m	q = 0,05		q = 0,01
			Tq-	Тq+	Tq-	Тq+
8	8 10 15	49 53 65	87 99 127	43 47 56	93 105 136
9	9 15	62 79	109 146	56 69	115 156
10	10 15	78 94	132 166	71 4	139 176
12	12 15	115 127	185 09	105 115	195 221
14	14 15	160 64	246 256	147 151	259 268
15	15	184	282	171	294

 

Исключение систематических  погрешностей путем введения поправок. В ряде случаев систематические  погрешности могут быть вычислены  и исключены из результата измерения. Для этого используются поправки. Поправка С_j —величина, одноименная измеряемой, которая вводится в результат измерения х_i = х¢_i + q_j + C_j с целью исключения составляющих систематической погрешности qj. При C_j = - q_j j-я составляющая систематической погрешности полностью устраняется из результата измерения. Поправки определяются экспериментально или в результате специальных теоретических исследований. Они задаются в виде таблиц, графиков или формул. Введением одной поправки устраняется влияние только одной составляющей систематической погрешности. Для устранения всех составляющих в результат измерения приходится вводить множество поправок. При этом вследствие ограниченной точности определения поправок случайные погрешности результата измерения накапливаются и его дисперсия увеличивается. Так как поправка известна с определенной точностью, то она характеризуется статистически — средним значением поправки С и СКО Sc. При исправлении результата х¢_j путем введения поправок C_j, где j=l, 2,..., m, по формуле

дисперсия исправленного  результата

где S²_н — оценка дисперсии неисправленного результата; S_cj² — оценка дисперсии j-й поправки. Как видно, с одной стороны, уточняется результат измерения, а с другой — увеличивается разброс за счет роста дисперсии. Следовательно, необходимо найти оптимум.

Пусть при измерении постоянной величины Q получено (рис.4) значение Q = х̅' ± t_pS , где х̅'— оценка среднего арифметического неисправленного результата измерений; t_p — коэффициент Стьюдента.

 

      Рис.4. Устранение систематической погрешности путем

                     введения поправки

 

После введения поправки С  ± t_pS_c результат измерения

где

Максимальные доверительные  значения погрешности результата измерения  до и после введения поправки равны  соответственно

 

 

Поправку имеет смысл  вводить до тех пор, пока D₁ < D₂. Отсюда следует, что

Если S_C/S << 1, то, раскладывая уравнение в степенной ряд, получим С > 0,5 S²_c / S². Из этого неравенства видно, что если оценка среднего квадратического отклонения поправки S_c  ® 0, то поправку имеет смысл вводить всегда.

В практических расчетах погрешность  результата обычно выражается не более  чем двумя значащими цифрами, поэтому поправка, если она меньше пяти единиц младшего разряда, следующего за последним десятичным разрядом погрешности результата, все равно будет потеряна при округлении и вводить ее не имеет смысла.

 

 

Литература:

 

1. Сергеев А.Г., Крохин В.В. Метрология: Учеб. пособие для вузов. -М.: Логос, 2001.
2. Нефедов В.И., Сигов А.С., Битюков В.К., Хахин В.И. Метрология и радиоизмерения: учеб. для вузов – 2-е изд., перераб. – М.: высш. шк., 2006.
3. Жаворонкова М.С. Курс лекций по дисциплине метрология, стандартизация и сертификация., электронный ресурс (http://gavoronkova.professorjournal.ru/)