Способы оценки и исключения систематических погрешностей

Во многих методах измерения  можно обнаружить теоретические  погрешности, являющиеся следствием тех  или иных допущений или упрощений, применения эмпирических формул и функциональных зависимостей. В некоторых случаях  влияние таких допущений оказывается  незначительным, т.е. намного меньше, чем допускаемые погрешности  измерений; в других оно превышает  эти погрешности.

 Пример: особенности методов  косвенного измерения сопротивлений  (амперметр перед вольтметром  и вольтметр перед амперметром), которые будут рассмотрены на  последующем занятии.      

 

5. Субъективные систематические погрешности – являются следствием индивидуальных свойств человека, обусловленных особенностями его организма или укоренившимися неправильными навыками выполнения измерений. К этой систематической погрешности относятся, например, погрешности отсчитывания, параллакса, реакции наблюдателя и т.п.

 

Рассмотрим классификацию систематических погрешностей характеру их проявления при измерениях.

 

1. Постоянные систематические погрешности – погрешности, которые в течение всего времени измерений сохраняют свой знак и свое значение.

Пример: погрешности большинства  мер, например гирь, концевых мер длины, катушек и магазинов сопротивления, а также погрешности градуировки шкал измерительных приборов, отношения плеч электроизмерительных мостов.

 

2. Переменные погрешности при повторных измерениях могут принимать различные значения и в зависимости от характера изменения эти погрешности делят на прогрессивные, периодические и изменяющиеся по сложному закону.

 

3. Прогрессивные погрешности – погрешности, которые в процессе измерений возрастают или убывают.

Пример: погрешности, возникающие  вследствие износа контактирующих деталей  средств измерения, постепенное  падение напряжения источника тока, питающего измерительную цепь.

 

4. Периодические погрешности – погрешности, значения которых являются периодической функцией времени или функцией перемещения указателя измерительного прибора.

Пример: средства измерений  с круговой шкалой, стрелка которых  при измерении совершает несколько  оборотов (секундомеры, индикаторы часового типа). Периодическая погрешность  в показаниях таких устройств  возникает в тех случаях, когда  ось вращения стрелки не совпадает  с центром окружности шкалы.

Систематические погрешности  могут изменяться также по сложному закону за счет совместного действия нескольких систематических погрешностей.

 

Способы обнаружения и  устранения систематических погрешностей.

 

Результаты наблюдений, полученные при наличии систематической  погрешности, называются неисправленными. При проведении измерений стараются  в максимальной степени исключить  или учесть влияние систематических  погрешностей. Это может быть достигнуто следующими путями:

• устранением источников погрешностей до начала измерений. В  большинстве областей измерений  известны главные источники систематических  погрешностей и разработаны методы, исключающие их возникновение или  устраняющие их влияние на результат  измерения. В связи с этим в  практике измерений стараются устранить  систематические погрешности не путем обработки экспериментальных  данных, а применением СИ, реализующих  соответствующие методы измерений;

• определением поправок и  внесением их в результат измерения;

• оценкой границ неисключенных  систематических погрешностей.

Постоянная систематическая  погрешность не может быть найдена  методами совместной обработки результатов  измерений. Однако она не искажает ни показатели точности измерений, характеризующие  случайную погрешность, ни результат  нахождения переменной составляющей систематической  погрешности. Действительно, результат  одного измерения

где х_и — истинное значение измеряемой величины; Di — i-я случайная погрешность; q_i — i-я систематическая погрешность.

После усреднения результатов  многократных измерений получаем среднее  арифметическое значение измеряемой величины

Если систематическая  погрешность постоянна во всех измерениях, т.е.

q_i = q, то

Таким образом, постоянная систематическая  погрешность не устраняется при  многократных измерениях.

Постоянные систематические  погрешности могут быть обнаружены лишь путем сравнения результатов  измерений с другими, полученными  с помощью более высокоточных методов и средств. Иногда эти  погрешности могут быть устранены специальными приемами проведения процесса измерений. Эти методы рассмотрены ниже.

Наличие существенной переменной систематической погрешности искажает оценки характеристик случайной  погрешности и аппроксимацию  ее распределения. Поэтому она должна обязательно выявляться и исключаться  из результатов измерений.

Для устранения постоянных систематических погрешностей применяют  следующие методы:

• Метод замещения, представляющий собой разновидность метода сравнения, когда сравнение осуществляется заменой измеряемой величины известной  величиной, причем так, что при этом в состоянии и действии всех используемых средств измерений не происходит никаких изменений. Этот метод дает наиболее полное решение задачи. Для  его реализации необходимо иметь  регулируемую меру, величина которой  однородна измеряемой. Например, взвешивание  по методу Борда, измерение сопротивления  посредством моста постоянного  тока и мер сопротивления.

• Метод противопоставления, являющийся разновидностью метода сравнения, при котором измерение выполняется  дважды и проводится так, чтобы в  обоих случаях причина постоянной погрешности оказывала разные, но известные по закономерности воздействия  на результаты наблюдений. Например, способ взвешивания Гаусса.

• Метод компенсации погрешности  по знаку (метод изменения знака  систематической погрешности), предусматривающий  измерение с двумя наблюдениями, выполняемыми так, чтобы постоянная систематическая погрешность входила  в результат каждого из них  с разными знаками.

• Метод рандомизации —  наиболее универсальный способ исключения неизвестных постоянных систематических  погрешностей. Суть его состоит в  том, что одна и та же величина измеряется различными методами (приборами). Систематические  погрешности каждого из них для  всей совокупности являются разными  случайными величинами. Вследствие этого  при увеличении числа используемых методов (приборов) систематические  погрешности взаимно компенсируются.

Для устранения переменных и монотонно изменяющихся систематических  погрешностей применяют следующие  приемы и методы.

• Анализ знаков неисправленных случайных погрешностей. Если знаки  неисправленных случайных погрешностей чередуются с какой-либо закономерностью, то наблюдается переменная систематическая  погрешность. Если последовательность знаков "+" у случайных погрешностей сменяется последовательностью  знаков "—" или наоборот, то присутствует монотонно изменяющаяся систематическая  погрешность. Если группы знаков "+" и "-" у случайных погрешностей чередуются, то присутствует периодическая  систематическая погрешность.

• Графический метод. Он является одним из наиболее простых  способов обнаружения переменной систематической  погрешности в ряду результатов наблюдений и заключается в построении графика последовательности неисправленных значений результатов наблюдений. На графике через построенные точки проводят плавную кривую, которая выражает тенденцию результата измерения, если она существует. Если тенденция не прослеживается, то переменную систематическую погрешность считают практически отсутствующей.

• Метод симметричных наблюдений. Рассмотрим сущность этого метода на примере измерительного преобразователя, передаточная функция которого имеет  вид y = kx + y₀, где х, у — входная и выходная величины преобразователя; k — коэффициент, погрешность которого изменяется во времени по линейному закону; у₀ — постоянная.

Для устранения систематической  погрешности трижды измеряется выходная величина у через равные промежутки времени Dt. При первом и третьем измерениях на вход преобразователя подается сигнал х₀ от образцовой меры. В результате измерений получается система уравнений:

Ее решение позволяет  получить значение х, свободное от переменной систематической погрешности, обусловленной  изменением коэффициента k:

• Специальные статистические методы. К ним относятся способ последовательных разностей, дисперсионный  анализ, и др. Рассмотрим подробнее  некоторые из них.

Способ последовательных разностей (критерий Аббе). Применяется  для обнаружения изменяющейся во времени систематической погрешности  и состоит в следующем. Дисперсию  результатов наблюдений можно оценить  двумя способами: обычным

и вычислением суммы квадратов  последовательных (в порядке проведения измерений) разностей (х_i+1 - x_i)²

Если в процессе измерений  происходило смещение центра группирования  результатов наблюдений, т.е. имела  место переменная систематическая  погрешность, то s²[х] дает преувеличенную оценку дисперсии результатов наблюдений. Это объясняется тем, что на s²[х] влияют вариации х. В то же время изменения центра группирования х весьма мало сказываются на значениях последовательных разностей d_i = (х_i+1 - x_i), поэтому смещения х̅ почти не отразятся на значении Q²[x].

Отношение v = Q²[x]/s²[x] является критерием для обнаружения систематических смещений центра группирования результатов наблюдений. Критическая область для этого критерия (критерия Аббе) определяется как P(v < v_q) = q, где q = 1- Р — уровень значимости, Р — доверительная вероятность. Значения vq для различных уровней значимости q и числа наблюдений п приведены в табл.1. Если полученное значение критерия Аббе меньше v при заданных q и n, то гипотеза о постоянстве центра группирования результатов наблюдений отвергается, т.е. обнаруживается переменная систематическая погрешность результатов измерений.

Таблица1

Значения критерия Аббе v_q

 

n	Vq при q, равном			n	Vq при q, равном
		0.001	0.01		0,05		0,001	0.01	0,05
4	0,295	0,313	0,390	13	0,295	0,431	0,578
5	0.208	0,269	0,410	14	0,311	0,447	0,591
6	0,182	0,281	0,445	15	0.327	0.461	0,603
7	0,185	О.ЗОТ	0,468	16	0,341	0.474	0,614
8	0,202	0,331	0.491	17	0,355	0,487	0,624
9	0,221	0,354	0,512	18	0,368	0,499	0.633
10	0,241	0,376	0,531	19	0,381	0.510	0,642
11	0.260	0,396	0,548	20	0,393	0,520	0,650
12	0,278	0,414	0,564

 

Дисперсионный анализ (критерий Фишера). В практике измерений часто  бывает необходимо выяснить наличие  систематической погрешности результатов  наблюдений, обусловленной влиянием какого-либо постоянно действующего фактора, или определить, вызывают ли изменения этого фактора систематическое  смещение результатов измерений. В  данном случае проводят многократные измерения, состоящие из достаточного числа еерий, каждая из которых соответствует  определенным (пусть неизвестным, но различным) значениям влияющего  фактора. Влияющими факторами, по которым  производится объединение результатов  наблюдений по сериям, могут быть внешние  условия (температура, давление и т.д.), временная последовательность проведения измерений и т.п.

После проведения N измерений  их разбивают на s серий (s > 3) по nj результатов  наблюдений (s_nj = N) в каждой серии и затем устанавливают, имеется или отсутствует систематическое расхождение между результатами наблюдений в различных сериях. При этом должно быть установлено, что результаты в сериях распределены нормально. Рассеяние результатов наблюдений в пределах каждой серии отражает только случайные влияния, характеризует лишь случайные погрешности измерений в пределах этой серии.

Характеристикой совокупности случайных внутрисерийных погрешностей будет средняя сумма дисперсий  результатов наблюдений, вычисленных  раздельно для каждой серии, т.е.

где     - результат i-го измерения в j-й серии.

 

 

Внутрисерийная дисперсия s²_вс характеризует случайные погрешности измерений, так как только случайные влияния обусловливают те различия (отклонения результатов наблюдений), на которых она основана. В то же время рассеяние X_j различных серий обусловливается не только случайными погрешностями измерений, но и систематическими различиями (если они существуют) между результатами наблюдений, сгруппированными по сериям. Следовательно, усредненная межсерийная дисперсия

где , выражает силу действия фактора, вызывающего систематические различия между сериями.

Таким образом,  характеризует долю дисперсии всех результатов наблюдений, обусловленную наличием случайных погрешностей измерений, а — долю дисперсии, обусловленную межсерийными различиями результатов наблюдений.

Первую из них называют коэффициентом ошибки, вторую —  показателем дифференциации. Чем  больше отношение показателя дифференциации к коэффициенту ошибки, тем сильнее  действие фактора ло которому группировались серии, и тем больше систематическое  различие между ними.