Риск и страхование

Ответ: F(m) .

   3. Какова вероятность убытков и  каков их средний ожидаемый  размер? Или каков, риск убытков и их оценка?

Ответ:

 

   4. Каково отношение средних ожидаемых убытков к среднему ожидаемому доходу? Чем меньше это отношение, тем меньше риск разорения, если ЛПР вложил в операцию все свои средства. 

Ответ:

 

   При анализе операций ЛПР желает иметь  доход побольше, а риск поменьше. Такие оптимизационные задачи называют двухкритериальными. При их анализе два критерия – доход и риск – часто «свертывают» в один критерий. Так возникает, например, понятие относительного риска операции. Дело в том, что одно и то же значение среднего квадратического отклонения σ_Q, которое измеряет риск операции, воспринимается по-разному в зависимости от величины среднего ожидаемого дохода т_Q, поэтому величину σ_Q/т_Q иногда называют относительным риском операции. Такую меру риска можно трактовать как свертку двухкритериальной задачи

   σ_Q→min,

   т_Q→max,

т.е. максимизировать средний ожидаемый доход при одновременной минимизации риска. 

   2.4. Риск разорения

   Так называется вероятность столь больших  потерь, которые ЛПР не может компенсировать и которые, следовательно, ведут к его разорению.

   Пример  3.

   Пусть случайный доход операции Q имеет следующий ряд распределения, и потери 35 или более ведут к разорению ЛПР. Следовательно, риск разорения в результате данной операции равен 0,8;

 

   Серьезность риска разорения оценивается  именно величиной соответствующей вероятности. Если эта вероятность очень мала, то ею часто пренебрегают. 

   2.5. Показатели риска в виде отношений.

   Если  средства ЛПР равны С, то при превышении убытков У над С возникает реальный риск разорения. Для предотвращения этого отношение К₁=У/С, называемое коэффициентом риска, ограничивают специальным числом ξ₁. Операции, для которых этот коэффициент превышает ξ1, считают особо рискованными. Часто учитывают также вероятность р убытков У и тогда рассматривают коэффициент риска К₂=рY/С, который ограничивают другим числом ξ₂ (ясно, что ξ₂≤ ξ₁). В финансовом менеджменте чаще применяют обратные отношения С/У и С/(рУ), которые называют коэффициентами покрытия рисков и которые ограничиваются снизу числами 1/ ξ₁ и 1/ ξ₂.

   Именно  такой смысл имеет так называемый коэффициент Кука, равный отношению:

 

   Коэффициент Кука используется банками и другими  финансовыми компаниями. В роли весов при «взвешивании» выступают вероятности – риски потери соответствующей актива. 

   2.6. Кредитный риск

   Так называется вероятность невозврата в срок взятого кредита.

   Пример  4.

   Статистика  запросов кредитов такова: 10% – государственные органы, 30% – другие банки и остальные – физические лица. Вероятности невозврата взятого кредита соответственно таковы: 0,01; 0,05 и 0,2. Найти вероятность невозврата очередного запроса на кредит. Начальнику кредитного отдела доложили, что получено сообщение о невозврате кредита, но в факсовом сообщении имя клиента было плохо пропечатано. Какова вероятность, что данный кредит не возвращает какой–то банк?

   Решение. Вероятность невозврата найдем по формуле полной вероятности. Пусть Н₁ - запрос поступил от госоргана, Н₂ – от банка, Н₃ – от физического лица и А - невозврат рассматриваемого кредита. Тогда

   Р(А)=Р(Н₁)Р_H1А+Р(Н₂)Р_H2А+Р(Нз)P_H3А=0,1*0,01+0,3*0,05+0,6*0,2=0,136.

   Вторую  вероятность найдем по формуле Байеса. Имеем

   Р_AН₂=Р(Н₂)Р_H2А/Р(А)=0,015/0,136=15/136≈1/9.

   Как в реальности определяют все приведенные  в этом примере данные, например, условные вероятности Р_H1А? По частоте невозврата кредита для соответствующей группы клиентов. Пусть физические лица взяли всего 1000 кредитов и 200 не вернули. Значит, соответствующая вероятность Р_H3А оценивается как 0,2. Соответствующие данные – 1000 и 200 берутся из информационной базы данных банка. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Глава 3. ОБЩИЕ МЕТОДЫ УМЕНЬШЕНИЯ РИСКОВ

   Как правило, риск стараются уменьшить. Для этого существует немало методов. Большая группа таких методов связана с подбором других операций. Таких, чтобы суммарная операция имела меньший риск. 

   3.1. Диверсификация

   Напомним, что дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий. Из этого вытекает следующее утверждение, лежащее в основе метода диверсификации.

   Утверждение 1.

   Пусть О₁,...,О_n – некоррелированные операции с эффективностями е₁,...,е_n и рисками r₁,...,r₂. Тогда операция «среднее арифметическое» О=(О₁+...+O_n)/п имеет эффективность е=(e₁+...+e_n)/n и риск r=√(r₁²+…r²_n)/n.

   Доказательство  этого утверждения – простое упражнение на свойства математического ожидания и дисперсии.

   Следствие 1.

   Пусть операции некоррелированы и а≤e_i и b≤r_i≤c с для всех i=1,..,n. Тогда эффективность операции «среднее арифметическое» не меньше а (т.е. наименьшей из эффективностей операций), а риск удовлетворяет неравенству b√n≤r≤c√n и, таким образом, при увеличении n уменьшается. Итак, при увеличении числа некоррелированных операций их среднее арифметическое имеет эффективность из промежутка эффективностей этих операций, а риск однозначно уменьшается.

   Этот  вывод называется эффектом диверсификации (разнообразия) и представляет собой в сущности единственно разумное правило работы на финансовом и других рынках. Этот же эффект воплощен в народной мудрости – «не клади все яйца в одну корзину». Принцип диверсификации гласит, что нужно проводить разнообразные, не связанные друг с другом операции, тогда эффективность окажется усредненной, а риск однозначно уменьшится.

   При применении этого правила нужно  быть осторожным. Так, нельзя отказаться от некоррелированности операций. 

   Предложение 2.

   Предположим, что среди операций есть ведущая, с которой все остальные находятся в положительной корреляционной связи. Тогда риск операции «среднее арифметическое» не уменьшается при увеличении числа суммируемых операций.

   Действительно, для простоты примем более сильное предположение, именно, что все операции О_i; i=1,...,n, просто копируют операцию O₁ в каких–то масштабах, т.е. O_i=k_iO₁ и все коэффициенты пропорциональности k_i положительны. Тогда операция «среднее арифметическое» О=(O₁+...+O_n)/n есть просто операция O₁ в масштабе

и риск этой операции

Поэтому, если операции примерно одинаковы по масштабности, т.е. k_i≈1, то и

 

   Мы  видим, что риск операции «среднее арифметическое»  не уменьшается при увеличении числа операций. 
 

   3.2. Хеджирование

   В эффекте диверсификации ЛПР составлял  новую операцию из нескольких, имеющихся в его распоряжении. При хеджировании (от англ. hedge - изгородь) ЛПР подбирает или даже специально конструирует новые операции, чтобы, проводя их совместно с основной, уменьшить риск.

   Пример  1.

   По  контракту российская фирма через полгода должна получить крупный платеж от украинской компании. Платеж равен 100 000 гривен (примерно 600 тыс. руб.) и будет произведен, именно в гривнах. У российской фирмы, есть опасения, что за эти полгода курс гривны упадет по отношению к российскому рублю. Фирма хочет подстраховаться от такого падения и заключает форвардный контракт с одним из украинских банков на продажу тому 100 000 гривен по курсу 6 руб. за гривну. Таким образом, что бы ни произошло за это время с курсом рубль–гривна, российская фирма не понесет из–за этого убытков.

   В этом и заключается суть хеджирования. При диверсификации наибольшую ценность представляли независимые (или некоррелированные) операции. При хеджировании подбираются операции, жестко связанные с основной, но, так сказать, другого знака, говоря более точно, отрицательно коррелированные с основной операцией.

   Действительно, пусть O₁ – основная операция, ее риск r₁, O₂ – некоторая дополнительная операция, ее риск r₂, О - операция–сумма, тогда дисперсия этой операции D=r₁²+2k₁₂r₁r₂+r₂², где k - коэффициент корреляции эффективностей основной и дополнительной операций. Эта дисперсия может быть меньше дисперсии основной операции, только если этот коэффициент корреляции отрицателен (точнее: должно быть 2k₁₂r₁r₂+r₂²<0, т.е. k1₂<–r₂/(2r₁)). 

   Пример  2.

   Пусть ЛПР решает проводить операцию O₁.

 

    

   Ему советуют провести одновременно операцию S, жестко связанную с О. В сущности обе операции надо изобразить с одним и тем же множеством исходов.

   Обозначим суммарную операцию через О, эта операция есть сумма операций O₁ и S. Вычислим характеристики операций:

   M[O₁]=5, D[O₁]=225, r₁=15;

   M[S]=0, D[S]=25;

   M[O]=5, D[O]=100, r=10.

   Средняя ожидаемая эффективность операции осталась неизменной, а риск уменьшился из-за сильной отрицательной коррелированности дополнительной операции S по отношению к основной операции.

   Конечно, на практике не так легко подобрать  дополнительную операцию, отрицательно коррелированную с основной, да еще с нулевой эффективностью. Обычно допускается небольшая отрицательная эффективность дополнительной операции и из-за этого эффективность суммарной операции становится меньше, чем у основной. Насколько допускается уменьшение эффективности на единицу уменьшения риска зависит от отношения ЛПР к риску. 

   3.3. Страхование

   Можно рассматривать страхование как  один из видов хеджирования. Поясним некоторые термины.

   Страхователь  (или застрахованный) – тот, кто страхуется.