Риск и страхование

   1.4. Анализ связанной группы решений в условиях частичной неопределенности

   Предположим, что в рассматриваемой схеме известны вероятности р_j того, что реальная ситуация развивается по варианту j. Именно такое положение называется частичной неопределенностью. Как здесь принимать решение? Можно выбрать одно из следующих правил.

…  
 
 

      Правило максимизации среднего ожидаемого дохода.

   Доход, получаемый фирмой при реализации i-го решения, является случайной величиной Q_i с рядом распределения. Математическое ожидание М[Q_i] и есть средний ожидаемый доход, обозначаемый также Q_i. Итак, правило рекомендует принять решение, приносящее максимальный средний ожидаемый доход. Предположим, что в схеме примера 2 вероятности есть –1/2, 1/6, 1/6, 1/6.

   Тогда Q₁=29/6, Q₂=25/6, Q₃=7, Q₄=17/6. Максимальный средний ожидаемый доход равен 7 и соответствует третьему решению. 

   Правило минимизации среднего ожидаемого риска.

   Риск  фирмы при реализации i-го решения является случайной величиной R_i с рядом распределения

… . 

   Математическое  ожидание M[R_i] и есть средний ожидаемый риск, обозначаемый также R_i. Правило рекомендует принять решение, влекущее минимальный средний ожидаемый риск. Вычислим средние ожидаемые риски при указанных выше вероятностях. Получаем R₁=20/6, R₂=4, R₃=7/6, R₄=32/6. Минимальный средний ожидаемый риск равен 7/6 и соответствует третьему решению.

   Замечание. Отличие частичной (вероятностной) неопределенности от полной неопределенности очень существенно. Конечно, принятие решений по правилам Вальда, Сэвиджа, Гурвица никто не считает окончательными, самыми лучшими. Но когда мы начинаем оценивать вероятность варианта, это уже предполагает повторяемость рассматриваемой схемы принятия решений: это уже было в прошлом, или это будет в будущем, или это повторяется где-то в пространстве, например, в филиалах фирмы. 

   1.5. Оптимальность по Парето

   Итак, при попытке выбрать наилучшее решение мы столкнулись в предыдущем параграфе с тем, что каждое решение имеет две характеристики – средний ожидаемый доход и средний ожидаемый риск. Теперь имеем оптимизационную двухкритериальную задачу по выбору наилучшего решения.

   Существует  несколько способов постановки таких  оптимизационных задач.

   Рассмотрим  такую задачу в общем виде. Пусть  А - некоторое множество операций, каждая операция а имеет две числовые характеристики Е(а), r(а) (эффективность и риск, например) и разные операции обязательно различаются хотя бы одной характеристикой. При выборе наилучшей операции желательно, чтобы Е было больше, а r меньше.

   Будем говорить, что операция а доминирует операцию b, и обозначать а>b, если Е(а)≥Е(b) и r(а)≤r(b) и хотя бы одно из этих неравенств, строгое. При этом операция а называется доминирующей, а операция b - доминируемой. Ясно, что ни при каком разумном выборе наилучшей, операции доминируемая операция не может быть признана таковой. Следовательно, наилучшую операцию надо искать среди недоминируемых операций. Множество этих операций называется множеством Парето или множеством оптимальности по Парето.

   Имеет место чрезвычайно важное утверждение. 

   Утверждение.

   На  множестве Парето каждая из характеристик  Е, r - (однозначная) функция другой. Другими словами, если операция принадлежит множеству Парето, то по одной ее характеристике можно однозначно определить другую.

   Доказательство. Пусть а,b - две операции из множества Парето, тогда r(а) и r(b) – числа. Предположим, что r(а)≤r(b), тогда Е(а) не может быть равно Е(b), так как обе точки а, b принадлежат множеству Парето. Доказано, что по характеристике r можно определить характеристику E. Так же просто доказывается, что по характеристике Е можно определить характеристику r.

   Продолжим анализ приведенного в § 10.2 примера. Рассмотрим графическую иллюстрацию. Каждую операцию (решение) (R, Q) отметим как точку на плоскости – доход откладываем вверх по вертикали, а риск – вправо по горизонтали (рис. 10.1). Получили четыре точки и продолжаем анализ примера 2.

   Чем выше точка (R, Q), тем более доходная операция, чем точка правее, тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку выше и левее. В нашем случае множество Парето состоит только из одной третьей операции. 

   

 

   Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для операции Q с характеристиками (R, Q) даёт одно число, по которому и определяют лучшую операцию. Например, пусть взвешивающая формула есть f(Q)=2Q–R. Тогда для операций (решений) примера 2 имеем: f(Q₁)=2*29/6–20/6=6,33; f(Q₂)=4,33; f(Q₃)=12,83; f(Q₄)=0,33. Видно, что третья операция – лучшая, а четвертая – худшая. 
 
 
 
 
 
 
 

   Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ФИНАНСОВЫХ

   ОПЕРАЦИЙ

   Финансовая  операция называется вероятностной, если существует вероятность каждого ее исхода. Прибыль такой операции – разность конечной и начальной денежных ее оценок – является случайной величиной. Для такой операции удается ввести количественную оценку риска, согласующуюся с нашей интуицией.  

   2.1. Количественная оценка риска

   В предыдущей главе дано определение  рискованной операции, как имеющей, по крайней мере, два исхода, не равноценных в системе предпочтений ЛПР. В контексте данной главы вместо ЛПР можно, употреблять также термин «инвестор» или какой-либо подобный, отражающий заинтересованность проводящего операцию (возможно, пассивно) в ее успехе.

   При исследовании риска операции встречаемся  с фундаментальным утверждением.

   Утверждение.

   Количественная  оценка риска операции возможна только при вероятностной характеристике множества исходов операции.

   Пример 1.

   Рассмотрим  две вероятностные операции:

 

   Несомненно, риск первой операции меньше риска второй операции. Что же касается того, какую операцию выберет ЛПР, это зависит от его склонности к риску (подобные вопросы подробно рассмотрены в дополнении к ч. 2). 

   2.2. Риск отдельной операции

   Так как мы хотим количественно оценить  рискованность операции, а это невозможно сделать без вероятностной характеристики операции, то ее исходам припишем вероятности и оценим каждый исход доходом, который ЛПР получает при этом исходе. В итоге получим случайную величину Q, которую естественно назвать случайным доходом операции, или просто случайным доходом. Пока ограничимся дискретной случайной величиной (д.с.в.):

     
 

где q_j - доход, а р_j – вероятность этого дохода.

   Операцию  и представляющую ее случайную величину – случайный доход будем отождествлять при необходимости, выбирая из этих двух терминов более удобный в конкретной ситуации.

   Теперь  можно применить аппарат теории вероятностей и найти следующие характеристики операции.

   Средний ожидаемый доход  – математическое ожидание с.в. Q, т.е. М[Q]=q₁p₁+…+q_np_n, обозначается еще m_Q, Q, употребляется также название эффективность операции.

   Дисперсия операции - дисперсия с.в. Q, т.е. D[Q]=М[(Q - m_Q)²], обозначается также D_Q.

   Среднее квадратическое отклонение с.в. Q, т.е. [Q]=√(D[E]), обозначается

также σ_Q.

   Отметим, что средний ожидаемый доход, или эффективность операции, как  и среднее квадратическое отклонение, измеряется в тех же единицах, что и доход.

   Напомним  фундаментальный смысл математического  ожидания с.в.

   Среднее арифметическое значений, принятых с.в. в длинной серии опытов, примерно равно ее математическому ожиданию. Все более признанным становится оценка рискованности всей операции посредством среднего квадратического отклонения случайной величины дохода Q, т.е. посредством σ_Q. В данной книге это основная количественная оценка.

   Итак, риском операции называется число σ_Q – среднее квадратическое отклонение случайного дохода операции Q. Обозначается также r_Q.

   Пример  2.

   Найдем  риски первой и второй операций из примера 1:

 
 
 

   Сначала вычисляем математическое ожидание с.в. Q₁:

т₁=–5*0,01+25*0,99=24,7. Теперь вычислим дисперсию по формуле D₁=M[Q₁²]-m₁². Имеем М[Q₁²]=25*0,01+625*0,99=619. Значит, D₁=619–(24,7)2=8,91 и окончательно r₁=2,98. 

   Аналогичные вычисления для второй операции дают m₂=20; r₂=5. Как и «полагала интуиция», первая операция менее рискованная.

   Предлагаемая  количественная оценка риска вполне согласуется с интуитивным пониманием риска как степени разбросанности исходов операции – ведь дисперсия и среднее квадратическое отклонение (квадратный корень из дисперсии) и суть меры такой разбросанности. 
 
 

   Другие  измерители риска.

   По  нашему мнению, среднее квадратическое отклонение является наилучшим измерителем риска отдельной операции. В гл. 1 рассмотрены классическая схема принятия решений в условиях неопределенности и оценки риска в этой схеме. Полезно познакомиться: с другими измерителями риска. В большинстве случаев эти измерители – просто вероятности нежелательных событий. 
 

   2.3. Некоторые общие измерители риска

   Пусть известна функция распределения  F случайного дохода операции Q. Зная ее, можно придать смысл следующим вопросам и ответить на них.

   1. Какова вероятность того, что  доход операции будет менее  заданного s. Можно спросить по–другому: каков риск получения дохода менее заданного? Ответ: F(s ).

   2. Какова вероятность того, что операция окажется неуспешной, т.е. ее доход будет меньше среднего ожидаемого дохода m?