Выборочное наблюдение

¨ уровня доверительной вероятности.

    Если  объем выборки больше 30, то значение t определяется по таблице нормального распределения, если меньше ¾ по таблице распределения Стьюдента (Приложение 1).

    Приведем  некоторые значения коэффициента доверия  из таблицы нормального распределения.

    Доверительный интервал для среднего значения признака и для доли в генеральной совокупности устанавливается следующим образом:

    Итак, определение границ генеральной  средней и доли состоит из следующих  этапов:

¨ нахождение в выборке среднего значения признака (или доли);

¨ определение m в соответствии с выбранной схемой отбора и вида выборки;

¨ задание доверительной вероятности Р и определение коэффициента доверия t по соответствующей таблице;

¨ вычисление предельной ошибки выборки D;

¨ построение доверительного интервала для средней (или доли). 

    Ошибки  выборки при различных  видах отбора

    1. Собственно случайная и механическая выборка. Средняя ошибка собственно случайной и механической выборки находятся по формулам, представленным в табл. 11.1.

Таблица 1

Формулы для расчета средней  ошибки 
собственно случайной и механической выборки (m)

где s² ¾ дисперсия признака в выборочной совокупности.

    Пример 2. Для изучения уровня фондоотдачи было проведено выборочное обследование 90 предприятий из 225 методом случайной повторной выборки, в результате которого получены данные, представленные в таблице.

    

    В рассматриваемом примере имеем 40%-ную выборку (90 : 225 = 0,4, или 40%). Определим ее предельную ошибку и границы для среднего значения признака в генеральной совокупности по шагам алгоритма:

    1. По результатам выборочного обследования  рассчитаем среднее значение  и дисперсию в выборочной совокупности:

    

    Выборочная  средняя

    

    Выборочная  дисперсия изучаемого признака

    

    2. Определяем среднюю ошибку повторной  случайной выборки

    

    3. Зададим вероятность, на уровне  которой будем говорить о величине  предельной ошибки выборки. Чаще  всего она принимается равной 0,999; 0,997; 0,954.

    Для наших данных определим предельную ошибку выборки, например, с вероятностью 0,954. По таблице значений вероятности  функции нормального распределения (см. выдержку из нее, приведенную в  Приложении 1) находим величину коэффициента доверия t, соответствующего вероятности 0,954. При вероятности 0,954 коэффициент t равен 2.

    4. Предельная ошибка выборки с  вероятностью 0,954 равна

    

    5. Найдем доверительные границы  для среднего значения уровня  фондоотдачи в генеральной совокупности

    

    Таким образом, в 954 случаях из 1000 среднее  значение фондоотдачи будет не выше 1,88 руб. и не ниже 1,74 руб.

    Выше  была использована повторная схема  случайного отбора. Посмотрим, изменятся  ли результаты обследования, если предположить, что отбор осуществлялся по схеме бесповторного отбора. В этом случае расчет средней ошибки проводится по формуле

    

    Тогда при вероятности равной 0,954 величина предельной ошибки выборки составит:

    

    Доверительные границы для среднего значения признака при бесповторном случайном отборе будут иметь следующие значения:

    

    Сравнив результаты двух схем отбора, можно  сделать вывод о том, что применение бесповторной случайной выборки  дает более точные результаты по сравнению  с применением повторного отбора при одной и той же доверительной вероятности. При этом, чем больше объем выборки, тем существеннее сужаются границы значений средней при переходе от одной схемы отбора к другой.

    По  данным примера определим, в каких  границах находится доля предприятий  с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., в генеральной совокупности:

    1) рассчитаем выборочную долю.

    Количество  предприятий в выборке с уровнем  фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., составляет 60 единиц. Тогда

    m = 60, n = 90, w = m/n = 60 : 90 = 0,667;

    2) рассчитаем дисперсию доли в выборочной совокупности

    s_w² = w(1 - w) = 0,667(1 - 0,667) = 0,222;

    3) средняя ошибка выборки при  использовании повторной схемы  отбора составит

    

    Если  предположить, что была использована бесповторная схема отбора, то средняя  ошибка выборки с учетом поправки на конечность совокупности составит

    

    4) зададим доверительную вероятность  и определим предельную ошибку  выборки.

    При значении вероятности Р = 0,997 по таблице нормального распределения получаем значение для коэффициента доверия t = 3 (см. выдержку из нее, приведенную в Приложении 1):

    

    5) установим границы для генеральной  доли с вероятностью 0,997:

    

    Таким образом, с вероятностью 0,997 можно  утверждать, что в генеральной  совокупности доля предприятий с  уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., не меньше, чем 54,7%, и не больше 78,7%.

    2. Типическая выборка. При типической выборке генеральная совокупность объектов разбита на k групп, тогда

N₁ + N₂ + … + N_i + … + N_k = N.

    Объем извлекаемых из каждой типической группы единиц зависит от принятого способа отбора; их общее количество образует необходимый объем выборки

n₁ + n₂ + … + n_i + … + n_k = n.

    Существуют  следующие два способа организации  отбора внутри типической группы: пропорциональной объему типических групп и пропорциональной степени колеблемости значений признака у единиц наблюдения в группах. Рассмотрим первый из них, как наиболее часто используемый.

    Отбор, пропорциональный объему типических групп, предполагает, что в каждой из них  будет отобрано следующее число  единиц совокупности:

где n_i ¾ количество извлекаемых единиц для выборки из i-й типической группы;

   n ¾ общий объем выборки;

   N_i ¾ количество единиц генеральной совокупности, составивших i-ю типическую группу;

   N ¾ общее количество единиц генеральной совокупности.

    Отбор единиц внутри групп происходит в  виде случайной или механической выборки.

    Формулы для оценивания средней ошибки выборки  для среднего и доли представлены в табл. 11.2.

Таблица 2

Формулы для расчета средней  ошибки выборки (m) при использовании типического отбора, пропорционального объему типических групп

    ^{Здесь ¾ средняя из групповых дисперсий типических групп}.

    Пример 3. В одном из московских вузов проведено выборочное обследование студентов с целью определения показателя средней посещаемости вузовской библиотеки одним студентом за семестр. Для этого была использована 5%-ная бесповторная типическая выборка, типические группы которой соответствуют номеру курса. При отборе, пропорциональном объему типических групп, получены следующие данные:

    Число студентов, которое необходимо обследовать на каждом курсе, рассчитаем следующим образом:

    ¨ общий объем выборочной совокупности:

      

    ¨ количество единиц, отобранных из каждой типической группы:

    

    аналогично  для других групп:

    п₂ = 31 (чел.);

    п₃ = 29 (чел.);

    п₄ = 18 (чел.);

    п₅ = 17 (чел.).

    Проведем  необходимые расчеты.

    1. Выборочная средняя, исходя из  значений средних типических  групп, составит:

    

    2. Средняя из внутригрупповых дисперсий

    

<