Виды средних величин

 

Определить  средний размер угодья на одно фермерское хозяйство:

по району.

Решение. Для расчета средней из интервального  ряда необходимо выразить варианты одним (дискретным) числом. Для закрытых интервалов (группы II—IV) за дискретное число принимается средняя: арифметическая простая из верхнего и нижнего значений интервала. Для определения варианты в группах с открытыми интервалами  группы I и V) предполагается, что для первой группы величина интервала равна интервалу второй группы, а в последней группе —интервалу предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен примеру 2: 

x = 4900/100 = 49 га. 

В статистике приходится вычислять средние по вариантам, которые являются групповыми (частными) средними. В таких случаях общая средняя определяется как средняя арифметическая взвешенная из групповых средних, в которой весами являются объемы единиц в группах. 

Пример 4. Просроченная задолженность по кредитам акционерных обществ (АО) за отчетный период характеризуется следующими данными: 
 
 
 
 

 

Определить  средний процент просроченной задолженности  АО.

Решение. Экономическое содержание показателя равно

 

Удельный  вес просроченной задолженности, % =

            

 объем  просроченной задолженности 

————————————————   •  100.

     объем общей задолженности 

Для расчета  среднего процента просроченной задолженности  надо сравнить суммарные показатели просроченной и общей задолженности АО.

Наряду  со средней арифметической применяется  средняя гармоническая, которая вычисляется из обратных значений осредняемого признака и по форме может быть простой и взвешенной. 

Пример 5. Доходы банков в отчетном году характеризуются  следующими показателями: 

 

Определить  среднюю процентную ставку банков.

Решение. Основой выбора формы средней  является реальное ,содержание определяемого показателя: 

Ставка, % = (доход банка / сумма кредита) • 100. 

Средняя процентная ставка равна отношению  доходов банков к сумме их кредита. В данном примере отсутствуют  прямые данные о кредитах. Но их суммы  можно определить косвенным путем, разделив доход банка (М) на процентную ставку (x) (см. последнюю графу).

Приведенная формула называется средней гармонической  взвешенной, где веса представляют собой произведения процентной ставки (х) на сумму кредита (f): М = xf.

Мода  — значение признака, наиболее часто  встречающееся в изучаемой совокупности. Для дискретных рядов распределения модой является вариант с наибольшей частотой.

Для интервальных вариационных рядов распределения  мода рассчитывается по формуле.

где Мо —мода;

— нижняя граница модального интервала;

— величина модального интервала;

— частота  модального интервала;

— частота  интервала, предшествующего модальному;

— частота  интервала, следующего за модальным.  

Пример 6. Имеются данные о распределении  работников предприятия по уровню среднемесячной заработной платы: 

 

Определить  модальный размер заработной платы.

Решение. Первоначально по наибольшей частоте  признака определим модальный интервал. Наибольшее число работников - 70 человек  — имеют заработную плату в интервале 700—800 руб., который и является модальным.

Медианой  называется вариант, расположенный  в середине упорядоченного вариационного ряда, делящий его на две равные части.

В примере 1 медианой является величина признака, равная 0,8. В ранжированном ряду из четного числа членов медианой будет  средняя арифметическая из двух вариантов, расположенных в середине ряда.

Медиана дискретного вариационного ряда определяется по сумме накопленных  частот, которая должна превышать  половину всего объема единиц совокупности.

Для интервальных вариационных рядов медиана рассчитывается по формуле.

где Me — медиана;

— нижняя граница медианного интервала;

— величина медианного интервала;

— сумма  частот ряда;

— сумма  накопленных частот ряда, предшествующих медианному интервалу;

— частота  медианного интервала.  

Пример 7. По данным примера 6 рассчитать медиану.

Решение. Определяем медианный интервал, в  котором находится порядковый номер  медианы. Для этого подсчитаем сумму  частот накопленным итогом до числа, превышающего половину объема совокупности (200/2 = 100).

В графе  «Сумма накопленных частот» значение 110 соответствует интервалу 700—800. Это  и есть медианный интервал, в котором  находится медиана.

Из расчета  видно, что половина работников предприятия  имеют заработную плату до 785,7 руб., а половина — выше этой суммы.

Показатели  вариации. Для измерения степени  колеблемости отдельных значений признака от средней исчисляются основные обобщающие показатели вариации: дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Дисперсия — это средняя арифметическая квадратов отклонений отдельных значений признака от их средней арифметической.

В зависимости  от исходных данных дисперсия вычисляется  по формуле средней арифметической простой или взвешенной:

невзвешенная (простая);

взвешенная.

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии и равно:

невзвешенное;

— взвешенное.

В отличие  от дисперсии среднее квадратическое отклонение является абсолютной мерой вариации признака в совокупности и выражается в единицах измерения варьирующего признака (рублях, тоннах, процентах и т.д.).

Для сравнения  размеров вариации различных признаков, а также для сравнения степени  вариации одноименных признаков  в нескольких совокупностях исчисляется относительный показатель вариации — коэффициент вариации (V), который представляет; собой процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

По величине коэффициента вариации можно судить о степени вариации признаков, а следовательно, об однородности состава совокупности. Чем больше его величина, тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем менее однородна совокупность по составу. 
 

Пример 8. Имеются выборочные данные о стаже  работников коммерческих банков: 

 

Определить:

1) средний  стаж работников;

2) дисперсию;

3) среднее  квадратическое отклонение;