Виды средних величин

  Средняя арифметическая величина.

  Самым распространенным видом расчета  средней величины является определение  средней арифметической.

  Каждому элементу совокупности соответствует  одно, строго определенное значение признака. В этом случае производятся вычисления по формуле средней арифметической простой:

   (1)

  где –  средняя варианта;

  х – варианта;

  n – число единиц совокупности несгруппированного ряда.

  Данная  формула применяется в том  случае, если в исходных данных значение каждого варианта встречается один раз. Если же значение вариант (х) встречается по несколько раз, т.е. имеет место частота, то расчет средней арифметической производится по формуле средней арифметической взвешенной:

   (2)

  где х – варианта;

   - частота.

  Средние арифметические применяются в тех  случаях, когда общий объем варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признаков  отдельных ее единиц. При расчетах средней арифметической выделяются ее основные свойства:

  среднее от постоянной величины равна ей самой:

   (3)

  произведение  средней на сумму частот равно  сумме произведений вариант на частоты:

   (4)

  изменение каждого варианта на одну и туже величину изменяет среднюю величину на эту же величину:

   (5)

  изменение каждого варианта на одно и тоже число изменяет среднюю во столько же раз:

   (6)

  изменение каждой частоты в одно и тоже число раз не изменяет величину средней:

   (7)

  алгебраическая  сумма отклонений всех вариантов  от средней равна 0:

   (8) 

  Определение средней арифметической по данным интервального  вариационного ряда происходит следующим  образом, – для каждого ряда определяется среднее значение интервала как  полусумма его нижнего и верхнего значения вариант, а далее расчет ведется по формуле средней арифметической взвешенной.

  Средняя гармоническая величина.

  Это величина обратная среднеарифметической. Она применяется, когда известны отдельные значения варьирующего признака и вся совокупность признаков, а частоты неизвестны.

   (9) 

  Существует  два вида среднегармонической:

  Средняя гармоническая простая определяется:

   (10)

  где n – число единиц совокупности для несгруппированного ряда;

   – варианта. 

  Средняя гармоническая взвешенная определяется: 

   ; (11)

  Средняя хронологическая  величина.

  Применяется для определения среднего уровня в моментных рядах динамики. Существует два вида рядов динамики:

  моментные;

  интервальные.

  Интервальные – это такие ряды в которых данные приводятся за определенный период времени (месяц, год). Средний уровень ряда в интервальном ряду определяется по средней арифметической простой.

  Моментные – это такие ряды, где данные представлены на определенный момент времени (на определенную дату). Если интервалы времени между датами равны, то расчет средней ведут по формуле средней хронологической простой:  

   (12)

  Если  интервалы между датами в моментных  рядах не одинаковые, то расчет ведется  в два этапа: по средней хронологической взвешенной:

  определяется  средняя внутри каждого интервала времени по среднеарифметической простой;

  определяется  общая средняя по среднеарифметической взвешенной, где частотами являются интервалы между датами.

  Средняя квадратическая величина.

  Применяется при определении показателей  вариации и рассчитывается как корень квадратный из средней арифметической.

  Средняя квадратическая простая:

   (13)

  Взвешенные:

   (14)

  Средние структурные величины.

  При определении  среднеструктурных величин определяются мода и медиана.

  Медиана – вариант, расположенный в центре ранжированного ряда, медиана делит ряд на две одинаковые части, таким образом, чтобы по обе ее стороны находилось одинаковое число единиц совокупности. Если всем единицам ряда придать порядковые номера, то порядковый номер медианы будет определяться по формуле для рядов, где - нечетное, если же ряд с четным числом единиц, то медианой будет являться среднее значение между двумя вариантами, определенными по формуле:

  n ; n+1 ; n +1;

  2 2 2 (15)

  Понятие вариации 

  Вариацию  можно определить как количественное различие значений одного и того же признака у отдельных единиц совокупности. Термин «вариация» имеет латинское  происхождение - variatio, что означает различие, изменение, колеблемость. Изучение вариации в статистической практике позволяет установить зависимость между изменением, которое происходит в исследуемом признаке, и теми факторами, которые вызывают данное изменение. Для измерения вариации признака используют как абсолютные, так и относительные показатели.

  К абсолютным показателям вариации относят: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсию.

  К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное  линейное отклонение и др.

  Размах  вариации R. Это самый доступный  по простоте расчета абсолютный показатель, который определяется как разность между самым большим и самым  малым значениями признака у единиц данной совокупности:

                                                                                                                                    (1)

  Размах  вариации (размах колебаний) - важный показатель колеблемости признака, но он дает возможность увидеть только крайние отклонения, что ограничивает область его применения. Для более точной характеристики вариации признака на основе учета его колеблемости используются другие показатели.

  Среднее линейное отклонение d, которое вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности. Эта величина определяется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений от средней. Так как сумма отклонений значений признака от средней величины равна нулю, то все отклонения берутся по модулю.

  Формула среднего линейного отклонения (простая):  
                                                                                                                                                                                                                                                  (2)

  Формула среднего линейного отклонения (взвешенная): 

                                                                                                                                     (3)

  При использовании показателя среднего линейного отклонения возникают  определенные неудобства, связанные  с тем, что приходится иметь дело не только с положительными, но и  с отрицательными величинами, что  побудило искать другие способы оценки вариации, чтобы иметь дело только с положительными величинами. Таким  способом стало возведение всех отклонений во вторую степень. Обобщающие показатели, найденные с использованием вторых степеней отклонений, получили очень  широкое распространение. К таким  показателям относятся среднее  квадратическое отклонение  ϭ и среднее квадратическое отклонение в квадрате ϭ², которое называют дисперсией.

  Средняя квадратическая простая:

                                                                                                                              (4)

  Средняя квадратическая взвешенная:

                                                                                                                    (5)

  Дисперсия есть не что иное, как средний  квадрат отклонений индивидуальных значений признака от его средней  величины.

  Формулы дисперсии взвешенной и простой  : 

                                                                                                    (6)

  Расчет  дисперсии можно упростить. Для  этого используется способ отсчета  от условного нуля (способ моментов), если имеют место равные интервалы  в вариационном ряду.

  Кроме показателей вариации, выраженных в  абсолютных величинах, в статистическом исследовании используются показатели вариации (V), выраженные в относительных  величинах, особенно для целей сравнения  колеблемости различных признаков одной и той же совокупности или для сравнения колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях.

  Данные  показатели рассчитываются как отношение  размаха вариации к средней величине признака (коэффициент осцилляции), отношение среднего линейного отклонения к средней величине признака (линейный коэффициент вариации), отношение  среднего квадратического отклонения к средней величине признака (коэффициент вариации) и, как правило, выражаются в процентах.

  Формулы расчета относительных показателей  вариации: 

  (7)

  где V_R - коэффициент осцилляции;

  Vα- линейный коэффициент вариации;

  Vσ-  коэффициент вариации.  

  Из  приведенных формул видно, что чем  больше коэффициент V приближен к  нулю, тем меньше вариация значений признака.

  В статистической практике наиболее часто  применяется коэффициент вариации. Он используется не только для сравнительной  оценки вариации, но и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент  вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). 

  Виды (показатели) дисперсий  и правило их сложения 

  В статистическом исследовании очень  часто бывает необходимо не только изучить вариации признака по всей совокупности, но и проследить количественные изменения признака по однородным группам  совокупности, а также и между  группами. Следовательно, помимо общей  средней для всей совокупности необходимо просчитывать и частные средние  величины по отдельным группам.

  Различают три вида дисперсий:

• общая;
• средняя внутригрупповая;
• межгрупповая.

  Общая дисперсия (σ0²) характеризует вариацию признака всей совокупности под влиянием всех тех факторов, которые обусловили данную вариацию. Эта величина определяется по формуле :                                                                                                    

  где - общая средняя арифметическая всей исследуемой совокупности.

  Средняя внутригрупповая дисперсия (σ²) свидетельствует о случайной вариации, которая может возникнуть под влиянием каких-либо неучтенных факторов и которая не зависит от признака-фактора, положенного в основу группировки. Данная дисперсия рассчитывается следующим образом: сначала рассчитываются дисперсии по отдельным группам (σ i²), затем рассчитывается средняя внутригрупповая дисперсия  :                                                                                               

  где n_i - число единиц в группе.

  Межгрупповая  дисперсия  σ² (дисперсия групповых средних) характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине исследуемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, который положен в основу группировки. Эта дисперсия рассчитывается по формуле:

  (10)

  где   - средняя величина по отдельной группе.

  Все три вида дисперсии связаны между  собой: общая дисперсия равна  сумме средней внутригрупповой  дисперсии и межгрупповой дисперсии:                                                                                                                             

  Данное  соотношение отражает закон, который  называют правилом сложения дисперсий. Согласно этому закону (правилу), общая  дисперсия, которая возникает под  влиянием всех факторов, равна сумме  дисперсий, которые появляются как  под влиянием признака-фактора, положенного  в основу группировки, так и под  влиянием других факторов. Благодаря  правилу сложения дисперсий можно  определить, какая часть общей  дисперсии находится под влиянием признака-фактора, положенного в  основу группировки.

     х 

          f

          d

         xf

II

III

IV

V 
 
 

26

30

32

36

10

15

16

3

20

30

32

6

260

450

512

108

5,2

9,0

10,24

2,16