Поиск моды в дискретном ряду

 
 

     В интервальном вариационном ряду приближённо  можно считать центральный вариант  так называемого модального интервала , т.е. интервала с наибольшей частотой. “Более точный расчёт моды для такого ряда производится по следующей формуле (см. формулу 1)  [1, c. 103]” :

         где,      (1)

                  

      - нижняя граница модального интервала

 - величина модального интервала

 – частота предмодального  интервала

 – частота модального интервала

 – частота послемодального  интервала 

     При наличии в ряду неравных интервалов рекомендуется предварительно преобразовать такой ряд. Приближенное значение моды можно легко определить графическим способом (см. рисунок 1). Для этого вычерчиваем три центральных столбика гистограммы. Далее проводим две линии, соединяющие верхние крайние точки центрального столбика с верхними точками примыкающих к нему столбиков. Из точки пересечения этих линий опускаем перпендикуляр на основание. На оси абсцисс получим величину, близкую к моде. Понятно, что вычисление моды возможно лишь в том случае, когда гистограмма выражает кривую распределения с явно выраженной вершиной. Если такой вершины нет, то и вычисление моды невозможно.

     

     Рисунок 1

       Мода и средняя величина по-разному характеризуют совокупность. Мода определяет непосредственно размер признака, свойственного хотя и значительной части, но не всей совокупности. Мода по своему обобщающему значению  менее точна по сравнению со средней арифметической, характеризующей совокупность в целом с учётом всех без исключения элементов совокупности.

1.2.2 Медиана

 

      При изучении вариации применяются такие характеристики вариационного ряда, которые описывают количественно его структуру, строение. Такова, например, “медиана - величина варьирующего признака, делящая совокупность на две равные части - со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы [3, c. 82]”. (см. рисунок 2)

     

     Рисунок 2

     Для симметричного распределения Ме = Мо.

     “Основное свойство медианы заключается в том, сумм абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины(см. формулу 2) [4, c. 112] ”:

                (2)

     Для дискретного ранжированного ряда, т. е. упорядоченного по возрастанию или убыванию:

     1) с нечётным числом членов (см. таблицу 2)

     Медианой  является центральное значение. “Номер элемента медианы рассчитывается по формуле (см. формулу 3) [4, c. 112]”

                   (3) 

     Таблица 2

     Нахождение  моды с нечётным числом членов

 

     2) При чётном числе членов медианой  является среднее арифметическое  из двух смежных центральных  вариантов.

     Для дискретного ранжированного ряда с вариантами Х=(1, 3,4, 5,7,9)

     

     В общем виде для дискретного ранжированного ряда Медиана рассчитывается по формуле  (см. формулу 4):

                (4)

     Для интервального ряда:

1. Располагаем варианты по ранжиру
2. Определяем для ранжированного ряда накопленные частоты.
3. По накопленным частотам находим медианный интервал. Медианным интервалом называется такой, где накопленная частота больше или равна половине всех частот.
4. Находим медиану по формуле (см. формулу 5) [2, c. 42]

, где       (5)

- нижняя граница варианты  медианного интервала

- величина медианного интервала

- полусумма накопленных частот

- накопленные частоты перед  медианным интервалом

- частота медианного интервала

     “Если мода отражает типичный, наиболее распространенный вариант значения признака, то медиана выполняет функции средней для неоднородной совокупности. В этих условиях средняя не позволяет объективно оценить исследуемую совокупность вследствие сильного влияния аномальных максимальных  или минимальных значений. Сказано можно проиллюстрировать следующим примером [4, c. 112]”.

     Допустим  надо дать обобщающую характеристику среднедушевых доходов группы людей, насчитывающих 10 человек, из которых 9 имеют доходы в интервале от 1 до 2 тыс. руб. в месяц, а месячные доходы последнего составляют 50 тыс. руб.

 

     Если  воспользоваться средней арифметической , то получится, что средний доход  равен примерно 6240 руб., что не только почти в 8 раз меньще дохода 10-ого  человека, но и имеет мало общего с доходами остальной части группы. Медиана же , равная в данном случае 1450 руб., позволит дать объективную характеристику уровня доходов 90% данной совокупности людей.

 

2.  Применение  структурных средних  величин для определения  показателя социально-  экономического развития

 

2.1.Показатели социального развития

  

 Социальные показатели характеризуют объективно складывающиеся направления развития.  

       При анализе сфер общественной  жизни применяются показатели, которые  можно измерять и которым можно  дать количественную и качественную  интерпретации.    

     Разработка, обоснование и применение социальных показателей направлены на принятие научно обоснованных управленческих выводов, нацеленных на повышение эффективности социального планирования и его действенности при решении как общих, так и специфических проблем общественного развития.

Такими  показателями являются, например(Росстат) :

1. Средняя численность населения за длительный период времени
2. Средняя продолжительность жизни
3. Среднедушевые доходы населения
4. Средний размер назначенной пенсии(месяц, год)
5. Численность пенсионеров и средний размер назначенных месячных пенсий по видам пенсионного обеспечения
6. Среднедушевые располагаемые ресурсы и их дефицит по основным категориям малоимущих домашних хозяйств
7. Среднегодовая численность занятых в экономике (по расчетам баланса трудовых ресурсов)
8. Среднемесячная номинальная начисленная заработная плата работников организаций по видам экономической деятельности
9. Средняя начисленная заработная плата работников по профессиональным группам
10. Средняя начисленная заработная плата работников по возрастным группам
11. Средняя начисленная заработная плата работников по уровню образования

и.т.д 

2.2 Показатели экономического развития

 

     Данные  экономической статистики позволяют  обеспечить систематическое количественное описание всех основных аспектов экономического процесса и экономики в целом.

Показателями  экономического развития являются, например (Росстат):

1. Средние сроки службы и возраст основных фондов
2. Среднесписочная численность работников (без внешних совместителей)
3. Средняя численность внешних совместителей
4. Средняя численность работников,  выполнявших работы по договорам гражданско-правового характера,
5. Средняя фактическая стоимость строительства одного квадратного метра общей площади отдельностоящих жилых домов без пристроек, надстроек и встроенных помещений в Российской Федерации
6. Средний уровень использования производственных мощностей строительных организаций
7. Средние потребительские цены на отдельные виды товаров и услуг
8. Средние цены на рынке жилья
9. Средние цены на приобретенные промышленными организациями отдельные виды товаров
10. Средние экспортные цены на основные товары
11. Средние импортные цены на основные товары

и.т.д

2.3 Применение структурных  средних величин для определения показателей социально- экономического развития

     При исследовании совокупности с качественно разнородными признаками на первый план может выступить нетипичность средних показателей. Такими, к примеру, являются средние показатели произведенного национального дохода на душу населения (разные возрастные группы), средние показатели урожайности зерновых культур по всей территории России (районы разных климатических зон и разных зерновых культур), средние показатели рождаемости населения по всем регионам страны, средние температуры за определенный период и т.д. Здесь средние величины обобщают качественно разнородные значения признаков или системных пространственных совокупностей (международное сообщество, континент, государство, регион, район и т.д.) или динамических совокупностей, протяженных во времени (век, десятилетие, год, сезон и т.д.). Такие средние величины называют системными средними.