Статистическое изучение взаимосвязей производственных показателей (на примере объема выпуска продукции и затрат на ее производство)

     

        Рис. 1.2.1. Зависимость затрат на производство продукции (y) от объемов выпуска (x)  

     Положение каждой точки на графике определяется величиной двух признаков - уровнем объемов выпуска продукции и соответствующей величиной затрат на ее производство по каждому предприятию. Точки корреляционного поля не лежат на одной линии, они вытянуты определенной полосой слева направо. Имеющийся в нашем распоряжении статистический материал был сгруппирован и по каждому значению выпуска продукции на предприятии определены значения средней величины затрат в группе (табл. 1.2.3) Нанеся эти средние на график и соединяя последовательно отрезками прямых соответствующие им точки, получим так называемую эмпирическую линию связи.

     Если  эмпирическая линия связи по своему виду приближается к прямой линии, то можно предположить наличие прямолинейной корреляционной связи между признаками. Если же имеется тенденция неравномерного изменения значений результативного признака, и эмпирическая линия связи будет приближаться к какой-либо кривой, то это может быть связано с наличием криволинейной корреляционной связи. 
 

ЧАСТЬ 2. РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ

     Имеются следующие выборочные данные по предприятиям одной из отраслей промышленности региона  в отчетном году (выборка 20%-ная механическая), млн. руб.:

     Задание 1

     По  исходным данным:

     1. Постройте статистический ряд распределения по признаку – выпуск продукции, образовав пять групп с равными интервалами.

     2. Рассчитайте характеристики интервального  ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, моду и  медиану.

     Сделайте  выводы по результатам выполнения задания.

     Задание 2

     По  исходным данным:

     1. Установите наличие и характер связи между признаками – выпуск продукции и затраты на производство продукции методом аналитической группировки, образовав пять групп с равными интервалами по факторному признаку.

     2. Измерьте тесноту корреляционной  связи между названными признаками  с использованием коэффициентов  детерминации и эмпирического  корреляционного отношения.

     Сделайте  выводы по результатам выполнения задания.

     Задание 3

     По  результатам выполнения задания 1 с  вероятностью 0,683 определите:

     1. Ошибку выборки среднего выпуска продукции и границы, в которых будет находиться средний выпуск продукции в генеральной совокупности.

     2. Ошибку выборки доли организаций  с выпуском продукции 53,28 млн.  руб. и более и границы, в  которых будет находиться генеральная  доля.

     Задание 4

     Имеются следующие данные о выпуске и  себестоимости продукции по организации:

     

       Определите:

     1. Затраты на производство каждого вида и в целом по двум видам продукции в отчетном и базисном периодах.

     2. Абсолютное и относительное измерения  затрат на производство в отчетном  периоде по сравнения с базисным  вследствие измерения производства  продукции, себестоимости единицы  продукции и двух факторов  вместе:

• по каждому виду продукции;
• по двум видам продукции вместе.

Результаты  расчетов представьте в таблице.

Сделайте  выводы. 
 
 
 

     Решение:

     Задание 1:

   1.1. По колонке  выпуск продукции построю интервальный вариационный ряд (табл. 1). Величина  интервала равна:    

   i= (x_max - x_min)/n,

   где x_max  и x_min – максимальное и минимальное значение признака,

   i – число групп.

   i = (79,2 – 14,4)/ 5 = 12,96

   Таблица 2.1.

   

     Вывод:

     Наиболее  представительными являются предприятия  с выпуском продукции в пределах от 27,36 до 40,32 млн. руб., т.к. эти предприятия  занимают 30% от общей совокупности предприятий, следовательно, это наиболее чаще встречающиеся  размеры выпуска продукции.

     1.2. Рассчитаю среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, моду и медиану (табл. 2, табл. 3).

     Средняя арифметическая взвешенная:

      = ∑xf / ∑f, где х – значение признака,f – веса средней или частота.

     Среднее квадратическое отклонение взвешенное:    σ = (∑(x- )²/∑f )

     Коэффициент вариации используется для определения типичности средней величины:      V = σ /  

     Таблица 2.2.

     

     Вывод: Средняя величина выпуска продукции составляет 44,64 млн.руб., среднее квадратическое отклонение показывает, что значение признаков в совокупности отклоняется от средней величины на 15,365.

     Коэффициент вариации  отражает свойства совокупности, т.к. его значение (0,34) меньше, чем 0,4. 

     Для интервальных рядов распределения  с равными  интервалами  мода определяется по формуле:

     

     где - начальное значение интервала, содержащего моду;

      - величина модального интервала;

      - частота модального интервала;

      - частота интервала, предшествующего  модальному;

      - частота интервала, следующего  за модальным.

     В этой задаче наибольшее число предприятий (9) имеет выпуск продукции от 27,36 до 40,32 млн. руб.. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения.

     Введем  следующие обозначения:

      =27,36, =12,96,  =9, =4, =8.

     

     Медиана интервального вариационного ряда распределения  определяется по формуле:

     

     где — начальное значение интервала, содержащего медиану;

      —  величина медианного интервала;

      —  сумма частот ряда;

       —  сумма накопленных  частот, предшествующих медианному  интервалу;

       —  частота медианного  интервала.

     Таблица 2.3.

            Распределение предприятий по выпуску продукции

     

     В данной задаче сумма накопленных  частот, превышающая половину всех значений (21), соответствует интервалу 40,32 – 53,28 млн. руб.  Это и есть медианный интервал,  в котором находится медиана.  Определим ее значение по приведенной выше формуле.

     Известно, что:     

     Следовательно,     .

     Вывод: В данной совокупности наиболее распространенная величина выпуска продукции 38,16 млн. руб.

     50% предприятий имеет величину выпуска  продукции меньше 43,56 млн. руб., а  50% - имеют больше 43,56 млн. руб. 
 

     Задание 2:

     2.1. Методом аналитической группировки образованы пять групп с равными интервалами по факторному признаку (см. табл. 1).

   Определим интервал и границы пяти групп  по результативному признаку (затраты на производство продукции) по формуле:

     i= (x_max - x_min)/n,

   где x_max  и x_min – максимальное и минимальное значение признака,

   i – число групп.

   i = (60,984 – 12,528)/ 5 = 9,691

   Построим  корреляционную таблицу связи между  признаками – выпуск продукции и затраты на производство продукции (табл.4).

   Таблица 2.4.

   

     Вывод: Характер концентрации частот по диагонали корреляционной таблицы свидетельствует о наличии прямой тесной корреляционной связи между изучаемыми признаками.

     2.2. Измерим тесноту корреляционной связи между названными признаками с использованием коэффициентов детерминации и эмпирического корреляционного отношения. Для этого составим таблицу 5 и таблицу 6.  
 
 
 

     Таблица 2.5.

     

       

     Таблица 2.6.

     

 

     Вычислим  общую дисперсию по формуле:      

     где — общая средняя для всей изучаемой совокупности.

     σ_о²= 3873,771/30=129,126.

     Вычислим  межгрупповую дисперсию по формуле:    

     где — средняя по отдельным группам; — средняя общая; — численность отдельных групп.

     δ² = ((17,784-35,654)²*4+(29,224-35,654)²*9+(36,443-35,654)²*8(45,733-35,654)²*6+(56,509-35,654)²*3)/30 = 118,958

     Выявить зависимость результатов от определяющих факторов позволяет коэффициент детерминации:             

     _{η² = 118,958/129,126 = 0,921}

     Эмпирическое  корреляционное отношение показывает тесноту связи между группировочным и результативным признаками:     

     _{η = √0,921 = 0,96.}

     _Вывод:

     Аналитическая группировка показывает, что с  ростом величины выпуска продукции  растут затраты на ее производство. Между исследуемыми признаками существует сильная связь.

     Задание 3:

     По  результатам выполнения задания 1 с  вероятностью 0,683 определите:

     1. Ошибку выборки среднего выпуска  продукции и границы, в которых  будет находиться средний выпуск  продукции в генеральной совокупности.

     2. Ошибку выборки доли организаций  с выпуском продукции 53,28 млн.  руб. и более и границы, в  которых будет находиться генеральная  доля. 

      

     3.1. Для бесповторной выборки расчетные формулы средней ошибки выборки примут такой вид:

     1) для средней количественного  признака 

     μ_х  = √ S²/n(1-n/N),