Статистические методы изучения инвестиций

Групповые средние значения получаем из таблицы 3 (графа 3), основываясь на итоговых строках «Всего».

 Вывод. Анализ данных табл. 7 показывает, что с увеличением размеров инвестиций в основные фонды от группы к группе систематически возрастает и нераспределенная прибыль по каждой группе предприятий, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками

2. Измерение тесноты  корреляционной связи с использованием  коэффициента детерминации _η² и эмпирического корреляционного отношения _η

Коэффициент детерминации η² характеризует силу влияния факторного (группировочного) признака Х на результативный признак Y и рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии признака Y в его общей дисперсии :

где σ²0– общая дисперсия признака Y,

 – межгрупповая (факторная)  дисперсия признака Y.

Общая дисперсия σ²0 характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных) и вычисляется по формуле

,                                                        (10)

где  y_i – индивидуальные значения результативного признака;

        – общая средняя значений результативного признака;

         n – число единиц совокупности.

Межгрупповая  дисперсия измеряет систематическую  вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка) и вычисляется по формуле

,                                                  (13)

где     –групповые средние,

 – общая средняя,

–число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

Для расчета показателей σ²0 и необходимо знать величину общей средней , которая вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

Значения числителя и  знаменателя формулы имеются  в табл. 7 (графы 3 и 4 итоговой строки). Используя эти данные, получаем общую  среднюю  :

= =4,208 млн руб.

Для расчета  общей дисперсии  применяется вспомогательная таблица 8.

Таблица 8

Вспомогательная таблица для расчета  общей дисперсии

Номер предприятия	Нераспределенная прибыль, млн. руб.
1	2	3	4
1	2,7	-1,508	2,2741
2	4,8	0,592	0,3505
3	6,0	1,792	3,2113
4	4,7	0,492	0,2421
5	4,4	0,192	0,0369
6	4,3	0,092	0,0085
7	5,0	0,792	0,6273
8	3,4	-0,808	0,6529
9	2,3	-1,908	3,6405
10	4,5	0,292	0,0853
11	4,7	0,492	0,2421
12	5,4	1,192	1,4209
13	5,8	1,592	2,5345
14	3,9	-0,308	0,0949
15	4,2	-0,008	0,0001
16	5,6	1,392	1,9377
17	4,5	0,292	0,0853
18	3,8	-0,408	0,1665
19	2,0	-2,208	4,8753
20	4,8	0,592	0,3505
21	5,2	0,992	0,9841
22	2,2	-2,008	4,0321
23	3,6	-0,608	0,3697
24	4,1	-0,108	0,0117
25	3,3	-0,908	0,8245
Итого	105,2		29,0593

 

Рассчитаем общую дисперсию:

=

Для  расчета межгрупповой дисперсии  строится  вспомогательная        таблица 9 При этом используются  групповые средние значения из табл. 7 (графа 5).

Таблица 9

Вспомогательная таблица для расчета  межгрупповой дисперсии

Группы предприятий по размерам инвестиций в основные фонды, млн.руб, x	Число фирм,  fj	Среднее значение в группе, млн руб.
1	2	3	4	5
0,16-0,36	3	2,1667	-2,0413	12,5007
0,36-0,56	4	3,2500	-0,958	3,6711
0,56-0,76	13	4,5231	0,3151	1,2907
0,76-0,96	5	5,3800	1,172	6,8679
ИТОГО	25			24,3304

Рассчитаем межгрупповую дисперсию:

Определяем  коэффициент детерминации:

 ^{или 83,7%}

Вывод. 83,7% вариации нераспределенной прибыли предприятиями обусловлено вариацией инвестиции в основные фонды, а 16,3% – влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение _η оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

Рассчитаем  показатель :

Вывод: согласно шкале Чэддока связь между размерами инвестиций в основные фонды и  размерами нераспределенной прибыли  предприятий  является весьма тесной.

3. Оценка значимости (неслучайности)  полученных характеристик 

связи признаков 

и

Показатели  и рассчитаны для выборочной совокупности, т.е. на основе ограниченной информации об изучаемом явлении. Поскольку при формировании выборки на первичные данные могли иметь воздействии какие-либо случайные факторы, то есть основание полагать, что и полученные характеристики связи  , несут в себе элемент случайности. Ввиду этого, необходимо проверить, насколько заключение о тесноте связи, сделанное по выборке, будет правомерными и для генеральной совокупности, из которой была произведена выборка.

Проверка  выборочных показателей на их неслучайность  осуществляется в статистике с помощью тестов на статистическую значимость (существенность) показателя. Для проверки значимости коэффициента детерминации  служит дисперсионный F-критерий Фишера, который рассчитывается по формуле   , где n – число единиц выборочной совокупности, m – количество групп,

       – межгрупповая дисперсия,

      – дисперсия j-ой группы (j=1,2,…,m),

       – средняя арифметическая групповых дисперсий.

Величина  рассчитывается, исходя из правила сложения дисперсий:

, где – общая дисперсия.

Для проверки значимости показателя рассчитанное значение F-критерия F_расч сравнивается с табличным F_табл для принятого уровня значимости и параметров k1, k2, зависящих от величин n и m : k₁=m-1, k₂=n-m. Величина F_табл для значений , k_1, k₂ определяется по таблице распределения Фишера, где приведены критические (предельно допустимые) величины F-критерия  для различных комбинаций  значений  , k_1, k₂. Уровень значимости в социально-экономических исследованиях обычно принимается равным 0,05 (что соответствует доверительной вероятности Р=0,95).

Если F_расч>F_табл , коэффициент детерминации признается статистически значимым, т.е. практически невероятно, что найденная оценка обусловлена только стечением случайных обстоятельств. В силу этого, выводы о тесноте связи изучаемых признаков,  сделанные на основе выборки, можно распространить на всю генеральную совокупность.

Если F_расч<F_табл, то показатель считается статистически незначимым и, следовательно, полученные оценки силы связи признаков относятся только к выборке, их нельзя распространить на генеральную совокупность.

Фрагмент  таблицы Фишера критических величин  F-критерия для значений =0,05; k₁=3,4,5; k₂=21-32 представлен ниже:

 

 

 

	k2
k1	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32
3	3,07	3,05	3,03	3,01	2,99	2,98	2,96	2,95	2,93	2,92	2,91	2,90
4	2,84	2,82	2,80	2,78	2,76	2,74	2,73	2,71	2,70	2,69	2,68	2,67
5	2,68	2,66	2,64	2,62	2,60	2,59	2,57	2,56	2,54	2,53	2,52	2,51

Расчет дисперсионного F-критерия Фишера для оценки =83,7%, полученной при =1,1624, =0,9732:

F_расч

Табличное значение F-критерия при = 0,05:

n	m	k1=m-1	k2=n-m	Fтабл( ,3, 21)
25	4	3	21	3,07

 

ВЫВОД: поскольку F_расч>F_табл, то величина коэффициента детерминации =83,7% признается значимой (неслучайной) с уровнем надежности 95% и, следовательно, найденные характеристики связи между признаками Инвестиции в основные фонды  и Нераспределенная прибыль правомерны не только для выборки, но и для всей генеральной совокупности фирм.

 

Задание 3

По результатам выполнения Задания 1 с вероятностью 0,954 необходимо определить:

1. ошибку выборки  среднего размера инвестиций и  границы, в которых будет находиться средний размер инвестиций в генеральной совокупности.
2. ошибку выборки доли предприятий с инвестициями в основные фонды 0,76 млн.руб. и более и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

 

 

 

Выполнение  Задания 3

Целью выполнения данного Задания является определение для генеральной совокупности предприятий региона границ, в которых будут находиться средний размер инвестиций, и доля предприятий с инвестициями в основной фонд не менее 0,76 млн.руб.

1. Определение ошибки выборки  для размера инвестиций в основные фонды, а также границ, в которых будет находиться генеральная средняя

Применяя  выборочный метод наблюдения, необходимо рассчитать ошибки выборки (ошибки репрезентативности), т.к. генеральные и выборочные характеристики, как правило, не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ε.

Принято вычислять  два вида ошибок выборки - среднюю и предельную .

Для расчета  средней ошибки выборки  применяются различные формулы в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка для выборочной средней определяется по формуле

,

где – общая дисперсия изучаемого признака,

N – число единиц в генеральной совокупности,

n – число единиц в выборочной совокупности.

Предельная  ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

,

,

где     – выборочная средняя,

          – генеральная средняя.

Предельная  ошибка выборки  кратна средней ошибке с коэффициентом кратности t (называемым также коэффициентом доверия):

Коэффициент кратности  t зависит от  значения  доверительной вероятности Р, гарантирующей вхождение генеральной средней в интервал , называемый доверительным интервалом.

Наиболее  часто используемые доверительные  вероятности Р и соответствующие им значения t задаются следующим образом (табл. 10):

 

 

Таблица 10

Доверительная вероятность P	0,683	0,866	0,954	0,988	0,997	0,999
Значение t	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5

По условию Задания 2 выборочная совокупность насчитывает 25 предприятий, выборка 10% механическая, следовательно, генеральная совокупность включает 250 предприятий. Выборочная средняя , дисперсия определены в Задании 1 (п. 3). Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в табл. 11:

 

Таблица 11

Р	t	n	N
0,954	2	25	250	0,62	0,0320

Рассчитаем среднюю ошибку выборки:

Рассчитаем  предельную ошибку выборки:

Определим доверительный  интервал для генеральной средней:

или