Статистические данные

(3)     Она помогает выявить и охарактеризовать связь между явлениями.

Средние позволяют  исключить влияние индивидуальных значений признака, т.е. они являются абстрактными величинами. Поэтому средние  должны употребляться на основе сгруппированных  данных. 
 
 
 
 

16. Средняя арифметическая простая

Простая среднеарифметическая величина представляет собой среднее  слагаемое, при определении которого общий объем данного признака в совокупности данных поровну распределяется между всеми единицами, входящими  в данную совокупность. Так, среднегодовая  выработка продукции на одного работающего — это такая величина объема продукции, которая приходилась бы на каждого работника, если бы весь объем выпущенной продукции в одинаковой степени распределялся между всеми сотрудниками организации. Среднеарифметическая простая величина исчисляется по формуле:

Простая средняя  арифметическая — Равна отношению  суммы индивидуальных значений признака к количеству признаков в совокупности

Пример 1. Бригада  из 6 рабочих получает в месяц 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 тыс.руб.

Найти среднюю заработную плату

Решение: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 тыс. руб.

Средняя арифметическая взвешенная

Если объем  совокупности данных большой и представляет собой ряд распределения, то исчисляется  взвешенная среднеарифметическая величина. Так определяют средневзвешенную цену за единицу продукции: общую стоимость продукции (сумму произведений ее количества на цену единицы продукции) делят на суммарное количество продукции.

Представим это  в виде следующей формулы:

 — цена  за единицу продукции;

 — количество (объем) продукции;

Взвешенная средняя  арифметическая — равна отношению (суммы произведений значения признака к частоте повторения данного  признака) к (сумме частот всех признаков).Используется, когда варианты исследуемой совокупности встречаются неодинаковое количество раз. 
 

17. При расчете средней арифметической для интервального вариационного ряда сначала определяют среднюю для каждого интервала, как полусумму верхней и нижней границ, а затем — среднюю всего ряда. В случае открытых интервалов значение нижнего или верхнего интервала определяется по величине интервалов, примыкающих к ним.

Средние, вычисляемые  из интервальных рядов являются приближенными.

Пример 3. Определить средний возраст студентов вечернего  отделения.Возраст в годах

!!х?? Число студентов

      Среднее значение интервала

      Произведение  середины интервала (возраст)

на число студентов 

до 20 65 (18 + 20) / 2 =19

18 в данном  случае граница нижнего интервала.  Вычисляется как 20 — (22-20) 1235

20 — 22 125 (20 + 22) / 2 = 21 2625

22 — 26 190 (22 + 26) / 2 = 24 4560

26 — 30 80 (26 + 30) / 2 = 28 2240

30 и более 40 (30 + 34) / 2 = 32 1280

Итого 500  11940

Средние, вычисляемые  из интервальных рядов являются приближенными. Степень их приближения зависит  от того, в какой мере фактическое  распределение единиц совокупности внутри интервала приближается к равномерному. 

При расчете  средних в качестве весов могут  использоваться не только абсолютные, но и относительные величины (частость):

 

18 2. Средняя гармоническая  

2.2 Средняя гармоническая  простая. Если объёмы явлений, т.е. произведения  Хi ×fi  по каждой единице равны, то для расчёта средней применяется формула средней гармонической простой: 

   

Например: Две автомашины прошли один и тот же путь: первая со скоростью 60 км/ч, вторая со скоростью 80 км/ч. Определить среднюю скорость движения автомашины.  
 
 

2.2 Средняя гармоническая  взвешенная. Учитывая, что средние выражают  качественные свойства  изучаемых явлений,  важно правильно  выбрать вид средней   исходя из взаимосвязей  явлений и признаков. Когда статистическая информация не содержит частот (fi ) у отдельных вариант (X), а представлена как их произведение Mi=(Xi × fi), то для расчёта средней применяется формула средней гармонической взвешенной: 

  

Например: По имеющимся данным о продаже хлеба «Дарницкий» определить среднюю цену одной булки хлеба

№ торгового павильона 

Цена  одной булки хлеба  «Дарницкий» весом 

0,5 кг, руб. (Xi) 

Сумма выручки от продажи  хлеба «Дарницкий», руб. (Mi) 

Количество  проданных булок , шт 
 
 

1 

10,40 

10400 

1000 

2 

9,60 

4800 

500 

3 

11,20 

11200 

1000 

Итого: 

   

26400 

2500 
 

Средняя цена одной булки  хлеба может быть определена делением общей суммы выручки  от продажи хлеба  на общее количество проданных булок

(1). Но количество  проданных булок  в каждом торговом  павильоне неизвестно, его можно выразить, учитывая особенность исходных данных, делением суммы выручки от продажи хлеба на цену одной булки  (2). Подставим значение (fi) – формулу (2) в формулу (1) и получим 

- формулу средней  гармонической взвешенной 

Средняя цена одной булки хлеба составляет:

Используя для расчёта средней  цены формулу средней  арифметической простой, получим , что является неверным результатом, так как не учтено количество проданных  булок.

Средняя гармоническая представляет собой обратную величину средней арифметической из обратных значений осредняемого признака. Если определить частоты ряда распределения, то можно использовать формулу средней арифметической взвешенной, но формула средней гармонической взвешенной позволяет избежать промежуточных расчётов. 
 

19. 3.Средняя геометрическая  

3.1 Средняя геометрическая  простая применяется  для характеристики  средних темпов  роста в рядах  динамики с равноотстоящими  уровнями и исчисляется  по формуле:

где    Хi - цепной коэффициент роста уровня ряда динамики. 

n – число цепных коэффициентов роста в ряду динамики. 

3.2 Средняя геометрическая  взвешенная применяется  для характеристики  средних темпов  роста в рядах  динамики с неравноотстоящими  уровнями и исчисляется  по формуле:

где fi – промежуток времени между датами. 
 
 

20. Расчёт моды 

Модой называется значение признака (варианта), чаще всеговстречающееся в изучаемой совокупности. В дискретном ряду распределения модой  будет варианта с  наибольшей частотой. 

Для интервального ряда распределения мода определяется по формуле: 

 

где ХMo - нижняя граница модального интервала; 

hMo  - величина модального интервала; 

fMo – частота модального интервала; 

fMo-1  и fMo+1 – частота интервала соответственно  

предшествующего модальному и следующего за ним. 
 

Мода  всегда бывает несколько неопределённой, т.к. она зависит от величины групп и точного положения границ групп. Мода широко применяется в коммерческой практике при изучении покупательского спроса, при регистрации цен и т.п. 

Расчёт  медианы 

Медианой  в статистике называется варианта, расположенная в середине упорядоченного ряда данных, и которая делит статистическую совокупность на две равные части так, что у одной половины значения меньше медианы, а у другой половины – больше её. Для определения медианы необходимо построить ранжированный ряд, т.е. ряд в порядке возрастания или убывания индивидуальных значений признака. 

В дискретном упорядоченном  ряду с нечётным числом членов медианой будет  варианта, расположенная  в центре ряда. 

Например: Стаж пяти рабочих  составил 2, 4, 7, 9 и 10 лет. В таком ряду медиана-7 лет, т.е. Ме=7 лет

Если  дискретный упорядоченный  ряд состоит из чётного числа  членов, то медианой будет средняя  арифметическая из двух смежных вариант, стоящих в центре ряда. Если дискретный упорядоченный ряд состоит из чётного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух смежных вариант, стоящих в центре ряда.

Медиана интервального вариационного  ряда распределения  определяется по формуле:

Где  ХМе – нижняя граница  медианного интервала; 

hMe – величина медианного интервала; 

∑f  - сумма частот ряда; 

fМе  – частота медианного  интервала;

Если  же сумма накопленных  частот против одного из интервалов равна  точно половине суммы  частот ряда, то медиана  определяется по формуле:

где n – число единиц в совокупности.

Моду  и медиану в  интервальном ряду можно определить графически: 

моду  в дискретных рядах - по полигону распределения, моду в интервальных рядах - по гистограмме  распределения, а  медиану - по кумуляте. 
 
 

21. Единицы совокупности наряду с общими для всех единиц признаками, обусловливающими качественную определенность совокупности, также обладают индивидуальными особенностями и различиями, отличающими их друг от друга, т.е. существует вариация признаков. Она обусловлена различным сочетанием условий, которые определяют развитие элементов множества. Например, уровень производительности труда работников банка определяется его возрастом, квалификацией, отношением к труду и т.д. Именно наличие вариации предопределяет необходимость статистики. Необходимо помнить, что вариация признака может отражаться статистическим распределением единиц совокупности.

Вариация  — это различия индивидуальных значений признака у единиц изучаемой совокупности. Исследование вариации имеет большое  практическое значение и является необходимым  звеном в экономическом анализе. Необходимость изучения вариации связана с тем, что средняя, являясь равнодействующей, выполняет свою основную задачу с разной степенью точности: чем меньше различия индивидуальных значений признака, подлежащих осреднению, тем однороднее совокупность, а, следовательно, точнее и надежнее средняя, и наоборот. Следовательно по степени вариации можно судить о границах вариации признака, однородности совокупности по данному признаку, типичности средней, взаимосвязи факторов, определяющих вариацию. 

Изменение вариации признака в  совокупности осуществляется с помощью абсолютных и относительных  показателей.

Абсолютные  показатели вариации включают:

размах  вариации

среднее линейное отклонение

дисперсию