Средние величины

 

Наряду с медианой для более  полной характеристики совокупности применяют  и другие значения вариантов, занимающих в ранжированном ряду вполне определенное положение. К ним относят квартили и децили.

Квартили делят ряд по сумме частот на 4 равные части, а децили на 10 равных частей. Квартилей насчитывается три, а децилей - девять.

Расчёт этих показателей вариационном ряду аналогичен расчёту медианы. Он начинается с нахождения порядкового  номера соответствующего варианта и  определения по накопленным частотам того интервала, в котором этот вариант  находится. Формулы для квартилей  в интервальном вариационном ряду имеют  следующий вид:

нижний (или первый квартиль)

верхний (или третий квартиль)

, - нижние границы соответствующих квартильных интервалов;

- величина соответствующего интервала;

- сумма частот ряда;

, - накопленные частоты интервалов, предшествующие соответствующим квартильным;

, - частоты соответствующих квартильным интервалов.

Вторым квартилем является медиана.

По соотношению между средней  арифметической, модой и медианой можно судить о характере распределения. В симметричных распределениях все  три показателя совпадают. Чем больше расхождение между модой и  средней арифметической, тем больше ассиметричен ряд.

Эмпирически установлено, что для  умеренно ассиметричных рядов разность между модой и средней арифметической примерно в 3 раза превышает разность между медианой и средней  . Это соотношение можно использовать в отдельных случаях для определения третьего показателя по двум известным.

 

Задача № 1

Имеются данные о работе 24 заводов  в одной из отраслей промышленности:

Номер завода	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб.	Среднесписочное число работающих за отчетный период, чел.	Производство продукции за отчетный период, млн. руб.	Выполнение плана по выпуску продукции, %
1	300	360	320	103,1
2	700	380	960	120,0
3	200	220	150	109,5
4	390	460	420	104,5
5	330	395	640	104,8
6	280	280	280	94,3
7	650	580	940	108,1
8	660	200	1190	125,0
9	200	270	250	101,4
10	470	340	350	102,4
11	270	200	230	108,5
12	330	250	130	102,1
13	300	310	140	112,7
14	310	410	300	92,0
15	310	635	250	108,0
16	350	400	790	111,1
17	310	310	360	96,9
18	560	450	800	114,1
19	350	300	250	108,0
20	400	350	280	107,0
21	100	330	160	100,7
22	700	260	1290	118,0
23	450	435	560	111,9
24	490	505	440	104,7

 

Требуется сгруппировать заводы по среднегодовой стоимости основных производственных фондов, образовав 5 групп заводов с равными интервалами, рассчитать по каждой группе и в  целом:

• количество заводов и их удельный вес;
• среднесписочное число работающих;
• объем производства продукции;
• средний процент выполнения плана.

Проанализировать данные таблицы  и сделать выводы.

Решение:

Образуем пять групп заводов. Тогда  величина интеграла ровна:

Теперь образуем группы заводов, которые  отличаются друг от друга по среднегодовой  стоимости основных фондов на эту  величину:

100-220 – 3 завода;

220-340 – 9 заводов;

340-460 – 5 заводов;

460-580 – 3 заводов;

580-700 – 4 завода;

На основании этого составляем таблицу в которой показываем распределение заводов по размеру  основных фондов и удельный вес заводов  группы в % к итогу.

 

Группы заводов по стоимости осн. произв. фондов, млн.руб.	Число заводов	Удельный вес заводов группы в % к итогу
100-220	3	12,5
220-340	9	37,5
340-460	5	20,8
460-580	3	12,5
580-700	4	16,7
Итого	24	100

По этим данным хорошо видно изменение  стоимости основных фондов и легко  обозначить границы групп. Видно, что  для данной отрасли характерной  является группа заводов с основными  фондами от 220 до 340 млн.руб., которая  составляет 37,5% всех заводов, и что  более половины заводов (58,3%) имеет  стоимость основных фондов в размере  от 220 до 460 млн.руб.

Далее необходимо найти среднесписочное  число работающих, объем производства продукции и средний процент  выполнения плана. Для того что бы найти среднесписочное число работающих и объем производства продукции необходимо найти их сумму из всех входящих в интервал заводов.

Средний процент выполнения плана:

 

 

 

 

На основании этого составляем таблицу:

Группы заводов по стоимости осн. произв. фондов, млн.руб.	Среднесписочное число работающих за отчетный период, чел.	Производство продукции за отчетный период, млн. руб	Выполнение плана по выпуску продукции, %
100-220	820	560	103
220-340	3150	2650	102
340-460	1945	2300	109
460-580	1295	1590	109
580-700	1420	4380	118

По данным таблицы видно, что  все группы заводов перевыполнили  план по выпуску продукции. Первая группа заводов при среднесписочном числе рабочих выпустила продукции на 560 млн. руб. – это самый низкий показатель. Самый большой процент выполнения плана у пятой группы заводов и он составил 118%(план перевыполнен на 18%), где среднесписочное число рабочих – 1420 человек и ими было выпушено продукции на 4380 млн. руб. А самый маленький процент выполнения плана у второй группы заводов он составил 102%(но план также перевыполнен, но на 2%). При среднесписочном числе рабочих – 3150 (что является самым большим показателем) было выпущено продукции на 2650 млн. руб. Первая группа заводов при среднесписочном числе рабочих выпустила продукции на 560 млн. руб. – это самый низкий показатель.

Задача № 2

Производство велосипедов на заводе характеризуется следующими данными:

Год	Произведено велосипедов, тыс. шт.
2001	80
2002	74
2003	79
2004	84
2005	86
2006	85
2007	87

Для анализа динамики производства велосипедов вычислите:

1) абсолютные приросты, темпы роста  и темпы прироста по годам  и к 2001 г., абсолютное содержание  одного процента прироста (снижения) по годам. Полученные показатели  представьте в виде таблицы;

2) среднегодовое производство велосипедов  за 2001–2007 гг.;

3) среднегодовой: абсолютный прирост,  темп роста и темп прироста  производства велосипедов за  анализируемый период.

Для определения основной тенденции  развития:

1) произвести сглаживание ряда  методом 3-х летней скользящей  средней;

2) выровнять ряд по прямой  и использовать полученное уравнение  для экстраполяции уровней на 2009 год.

Постройте графики динамики производства велосипедов за 2001–2007 гг. (по исходным данным и по результатам аналитического выравнивания ряда). Сформулируйте  выводы.

Решение:

Для расчета показателей динамики на постоянной базе каждый уровень  ряда сравнивается с одним и тем  же базисным уровнем. Исчисляемые при  этом показатели называются базисными. 
Для расчета показателей динамики на переменной базе каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим. Вычисленные таким способом показатели динамики называются цепными. 
Важнейшим статистическим показателем динамики является абсолютный прирост, который определяется в разностном сопоставлении двух уровней ряда динамики в единицах измерения исходной информации.

Абсолютный  прирост 

                      цепной прирост:

                     

базисный прирост:

Темпы прироста характеризуют абсолютный прирост в относительных величинах. Исчисленный в процентах темп прироста показывает, на сколько процентов  изменился сравниваемый уровень  с уровнем, принятым за базу сравнения.

Темп прироста

 

цепной  темп прироста:

базисный темп прироста:

Распространенным статистическим показателем динамики является темп роста. Он характеризует отношение  двух уровней ряда и может выражаться в виде коэффициента

или в процентах. 
Темп роста

 

цепной темп роста:

 

базисный темп роста:

 

 

 

Абсолютное  значение 1% прироста 
цепной:

 
Цепные  показатели ряда динамики.

 

Период	произведено велосипедов	Абсолютный прирост	Темп прироста, %	Темпы роста, %	Абсолютное содержание 1% прироста
2005	80	0	0	100	0.8
2006	74	-6	-7.5	92.5	0.8
2007	79	5	6.76	106.76	0.74
2008	84	5	6.33	106.33	0.79
2009	86	2	2.38	102.38	0.84
2010	85	-1	-1.16	98.84	0.86
2011	87	2	2.35	102.35	0.85
Итого	575

 

 

В 2011 произведено велосипедов  составила 87 тыс.шт и за прошедший  период увеличилось на 2 тыс.шт, или  на 2.35% 
Максимальный прирост наблюдается в 2007 (5 тыс.шт) 
Минимальный прирост зафиксирован в 2006 (-6 тыс.шт)

 

 

 

Базисные показатели ряда динамики.

Период	произведено велосипедов	Абсолютный прирост	Темп прироста, %	Темпы роста, %
2005	80	0	0	100
2006	74	-6	-7.5	92.5
2007	79	-1	-1.25	98.75
2008	84	4	5	105
2009	86	6	7.5	107.5
2010	85	5	6.25	106.25
2011	87	7	8.75	108.75
Итого	575