Средние величины

Белорусский национальный технический университет

Международный институт дистанционного образования

Кафедра «Информационные  технологии в управлении»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

 по дисциплине 

«Статистика»

 

Вариант 11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:                                                      Студентка 2 курса, группы 417061

                                                                           Значкова Ирина Александровна

                                                                             

Проверила:                                                          Лапченко Д.А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Минск 2012

Содержание:

1. Сущность и значение средних величин. Основные научные положения теории средних…………………………………………………………………………………3
2. Решение задачи №1……………………………………………………………………9
3. Решение задачи №2…………………………………………………………………..12
4. Решение задачи№3…………………………………………………………………...18
5. Решение задачи №4…………………………………………………………………..18
6. Литература……………………………………………………………………………21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 11

Сущность  и значение средних величин. Основные научные положения теории средних.

Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, т.е. в средних величинах  погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В отличие от средней  абсолютная величина, характеризующая  уровень признака отдельной единицы  совокупности, не позволяет сравнивать значения признака у единиц, относящихся  к разным совокупностям. Так, если нужно  сопоставить уровни оплаты труда  работников на двух предприятиях, то нельзя сравнивать по данному признаку двух работников разных предприятий. Оплата труда выбранных для сравнения  работников может быть не типичной для этих предприятий. Если же сравнивать размеры фондов оплаты труда на рассматриваемых  предприятиях, то не учитывается численность  работающих и, следовательно, нельзя определить, где уровень оплаты труда выше. В конечном итоге сравнить можно  лишь средние показатели, т.е. сколько  в среднем получает один работник на каждом предприятии. Таким образом, возникает необходимость расчета  средней величины как обобщающей характеристики совокупности.

Вычисление  среднего – один из распространенных приемов обобщения; средний показатель отрицает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц. В каждом явлении  и его развитии имеет место  сочетание случайности и необходимости. При исчислении средних в силу действия закона больших чисел случайности  взаимопогашаются, уравновешиваются, поэтому можно абстрагироваться от несущественных особенностей явления, от количественных значений признака в каждом конкретном случае. В способности  абстрагироваться от случайности отдельных  значений, колебаний и заключена  научная ценность средних как  обобщающих характеристик совокупностей.

Для того, чтобы средний показатель был  действительно типизирующим, он должен рассчитываться с учетом определенных принципов.

Остановимся на некоторых общих принципах  применения средних величин. 
1. Средняя должна определяться для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц. 
2. Средняя должна исчисляться для совокупности, состоящей из достаточно большого числа единиц. 
3. Средняя должна рассчитываться для совокупности, единицы которой находятся в нормальном, естественном состоянии. 
4. Средняя должна вычисляться с учетом экономического содержания исследуемого показателя.

ВИДЫ СРЕДНИХ МЕТОДЫ ИХ РАСЧЕТА.

В практике статистической обработки  материала возникают различные  задачи, имеются особенности изучаемых  явлений, и поэтому для их решения  требуются различные сведения.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом называется общей средней, средние, исчисленные для каждой группы — групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику размера явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

Например, статистическое изучение рождаемости  и среднего количества детей в  семье на территории бывшего СССР проводилось в региональном аспекте (по союзным республикам). Традиционно  более высокая рождаемость была в Средней Азии и Закавказье по сравнению с Центральными районами России. Среднее количество детей  в семье, исчисленное по каждому  региону — это групповые средние, а соответственно исчисленное по всей территории СССР — общая средняя.

Сравнительный анализ групповых и  общих средних используется для  характеристики социально-экономических  типов изучаемого общественного  явления. В частности, при изучении рождаемости большое значение имеет  характеристика этого процесса по общественным группам населения региона.

Групповые средние используются для  изучения закономерности развития общественных явлений. Так, в аналитических группировках анализ групповых средних позволяет  сделать вывод о наличии и  направлении взаимосвязи между  группированным (факторным) признаком  и результативном показателем.

Групповые средние широко применяются  также при определении имеющихся  использованных резервов производства, когда на ряду со средними величинами рассматриваются и индивидуальные значение признака.

Существуют две категории средних  величин:

1.Степенные средние

К ним относятся:

1. средняя арифметическая 

2. средняя гармоническая 

3. средняя геометрическая

2.Структурные средние

1. мода 

2. медиана

Выбор того или иного вида средней  производится в зависимости от цели исследования, экономической сущности в усредняемого характер имеющихся  исходных данных.

Средняя арифметическая – основной вид средних величин. Она может  быть простой и взвешенной.

Средняя арифметическая простая исчисляется путем деления суммы значений признака на число значений.

,

где - средняя арифметическая;

- отдельные значения признака;

- число значений признака.

Если данные представлены в виде дискретного ряда распределения, то расчет средней производится по формуле средней арифметической взвешенной

,

где х – значение признака;

f – частота повторения соответствующего признака (веса).

Если данные представлены в виде интервального ряда распределения, то принцип расчета средней остается прежним, но предварительно вычисляется  среднее значение признака для каждого  интервала, представляющее полусумму  нижнего и верхнего значений интервала 

       ,

где ;

- нижняя граница интервала;

- верхняя граница интервала.

Если есть интервалы с открытыми  границами, то для первой группы величина интервала берется равной величине интервала последующей группы.

Средняя гармоническая представляет собой обратную величину средней арифметической из обратных величин. Она бывает простая и взвешенная.

• простая            ,

- взвешенная         .

Средняя квадратическая используется в том случае, когда необходимо возводить варианты в квадрат:

простая ,

взвешенная  .

Средняя квадратическая применяется  в технике, для расчета среднего квадратического отклонения.

Средняя геометрическая:

            

Средняя хронологическая:

-простая  .

Она применяется в том случае, когда интервалы времени между  явлениями равны.

-взвешенная  .

Она применяется в том случае, когда интервалы времени между  явлениями неравны.

Свойства средней арифметической.

1. Средняя арифметическая из  постоянных чисел равна этому  постоянному числу.

Пусть х = a, тогда

.

2. Если веса всех вариантов  пропорционально изменить, т.е. увеличить  или уменьшить в одно и то  же число раз, то средняя  арифметическая нового ряда от  этого не изменится. Пусть f уменьшим в к раз. Тогда

.

3. Если все варианты уменьшить  или увеличить на какое-либо  число, то средняя арифметическая  нового ряда уменьшится или  увеличится на столько же.

Уменьшим все варианты х на , т.е. , тогда

.

Среднюю арифметическую первоначального  ряда можно получить, прибавляя к  средней арифметической нового ряда, ранее вычтенное из вариантов  число a, т.е.

.

4. Если все варианты уменьшить  в к раз, то средняя арифметическая  нового ряда уменьшится в к  раз.

Пусть , тогда .

Среднюю арифметическую первоначального  ряда можно получить, увеличив среднюю  арифметическую нового ряда в  раз:

,

5. Сумма положительных и отрицательных  отклонений отдельных вариантов  от средней, умноженных на веса, равна нулю.

.

Перечисленные свойства позволяют  в случае необходимости упрощать расчеты путем замены абсолютных частот относительными, уменьшать варианты на какое-либо число  , сокращать их в раз и рассчитывать среднюю арифметическую из уменьшенных вариантов, а затем переходить к средней первоначального ряда. Способ исчисления средней арифметической с использованием ее свойств известен в статистике как способ «условного нуля» или «условной средней», а также как «способ моментов».

Этот способ расчета находит  отражение в следующей формуле:

.

Если уменьшенные варианты обозначить через , то

.

Для характеристики среднего значения признака в вариационном ряду используется средняя арифметическая, мода и медиана.

Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности. Медианой называется численное значение признака, расположенное в середине ранжированного ряда, которое делит этот ряд на две равные по численности части. Для определения медианы сначала находят ее место в ряду по формуле , где n – число членов ряда ( ). Если число единиц чётное, то место медианы в ряду определяется как

Применяется мода при экспертных оценках, при установлении размера изделий, который пользуется наибольшим спросом (одежда, обувь), медиана используется при статистическом контроле качества продукции.

При исчислении моды и медианы в  интервальном ряду необходимо сначала  определить интервал, в котором они  находятся, среднее значение этого  интервала соответствует их приближенному  значению.

Для определения моды в рядах  с равными интервалами распределения  модальный интервал определяется по наибольшей частоте, а в рядах  с неравными интервалами –  по наибольшей плотности распределения.

Для определения моды в рядах  с равными интервалами используют формулу:

,

где - нижняя граница модального интервала;

- величина интервала;

- частоты предмодального, модального  и послемодального интервала.

Моду можно определить графически по гистограмме. Для этого в самом  высоком столбце гистограммы  от границ 2-х смежных столбцов проводят линии, затем из точки их пересечения  опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Значение признака на оси абсцисс  и будет соответствовать моде.

 

 

 

Для расчета медианы в интервальном ряду воспользуемся следующими формулами:

,

или ,

где - нижняя граница медианного интервала;

i –величина интервала медианного;

- порядковый номер медианы;

- частота, накопленная до медианного  интервала;

- частота медианного интервала.

где - верхняя граница медианного интервала;

- накопленная частота медианного  интервала.

Медиану можно определить графически. Для этого строится кумулята. Для  определения Ме высоту наибольшей ординаты делят пополам. Через полученную точку проводятся прямую, параллельную оси абсцисс до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения  и является Ме.