Средние величины в статистике

Определить среднюю урожайность по Центрально-Чернозёмному району.

Здесь в исходной информации веса (площадь областей) не заданы, но входят сомножителем в валовой сбор, равный урожайности, умноженной на площадь wi=xi*fi ,  поэтому , а средняя урожайность будет равна .

Данная формула используется для расчета средних показателей не только в статике, но и в динамике, когда известны индивидуальные значения признака и веса W за ряд временных интервалов.

Средняя гармоническая невзвешенная (простая), используемая значительно реже, имеет следующий вид:

,

где х – значение осредняемого признака; n – число значений х.

Т.е. это обратная величина средней арифметической простой из обратных значений признака.

На практике средняя гармоническая простая применяется редко, в тех случаях, когда значения w для единиц совокупности равны.

Например, бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затратил на одну деталь 12 мин, второй - 15 мин.,  третий - 11, четвертый - 16 и пятый - 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одной детали.

На первый  взгляд  кажется,  что задача легко решается по формуле средней арифметической простой:

Полученная средняя была бы правильной,  если  бы  каждый  рабочий сделал только  по  одной детали.  Но в течение дня отдельными рабочими было изготовлено различное число деталей.  Для определения числа деталей, изготовленных каждым рабочим, воспользуемся следующим соотношением:

Число деталей, изготовленных каждым рабочим, определяется отношением всего времени работы к среднему времени, затраченному на одну деталь. Тогда среднее время,  необходимое для изготовления одной детали, равно:

Это же решение можно представить иначе:

Таким образом,  формула для расчета средней гармонической простой будет иметь вид:[9]

В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны и кубов).

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной, простой или взвешенной.

Средняя квадратическая взвешенная применяется, если каждое значение осредняемого признака х встречается f раз:

Средняя квадратическая простая используется, если каждое значение признака х встречается один раз, в общем имеет вид:

,

где - квадрат значений осредняемого признака; - число единиц совокупности.

,

где f – вес варианты х.

32

Средняя кубическая простая является кубическим корнем из частного от деления суммы кубов отдельных значений признака на их число:

,

где - значения признака, n- их число.

Средняя кубическая взвешенная:

,

где f-вес варианты х.

Средние квадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в практике статистики. Широко пользуется статистика средней квадратической, но не из самих вариантов x, и из их отклонений от средней при расчете показателей вариации.

Средняя может быть вычислена не для всех, а для какой-либо части единиц совокупности. Примером такой средней может быть средняя прогрессивная как одна из частных средних, вычисляемая не для всех, а только для "лучших" (например, для показателей выше или ниже средних индивидуальных).[10]

Если значения осредняемого признака существенно отстоят друг от друга или заданы коэффициентами (темпы роста, индексы цен), то для расчёта применяют среднюю геометрическую.

Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени и из произведений отдельных значений — вариантов признака х:

где n — число вариантов; П — знак произведения.

Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.

Если значения осредняемого признака известны на несколько равноотстающих дат внутри определённого временного периода, расчёт производится по средней хронологической:

,

где  - значение осредняемого признака; n – число дат внутри периода, на которые заданы значения х.

По средней хронологической исчисляется среднегодовая стоимомть основных фондов предприятия из данных о наличии на начало каждого месяца; средний остаток вкладов на счетах в банке по информации на начало месяца.

32

1.3. Структурные средние

Структурные средние – вспомогательные характеристики изучаемой статистической совокупности; ими являются мода и медиана. В отличии от степенных средних структурные средние имеют не обобщенное значение признака, а вполне конкретное, т.е. значение одной их вариант. [11]

Наиболее часто используемыми в экономической практике структурными средними являются мода и медиана.

Мода Мо – значение случайной величины, встречающееся с наибольшей вероятностью, в дискретном вариационном ряду – вариант, имеющий наибольшую частоту.[12]

В интервальных вариационных рядах моду определяют приближенно по формуле

,

где - начальное значение интервала, содержащего моду;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Медиана Ме – это вариант, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы.

Что бы найти медиану необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда. В ранжированных рядах несгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы.

В интервальных вариационных рядах медиана определяется по формуле:

, где

32

x0 - нижняя гранича медианного интервала;

iMe - величина медианного интервала;

Sme-1 - сумма накопленных частот до медианного интервала;

fMe - частота медианного интервала.

Проиллюстрируем применение этих формул, используя данные таблицы 7. Информация, подобная представленной в этой таблице, необходима для получения четкого представления о покупательной способности населения страны или региона, для оценки эластичности спроса и, в конечном итоге, для выбора того или иного метода ценообразования и обоснования окончательной цены на товар.

Интервал с границами 2000 - 3000 в данном распределении будет модальным, так как он имеет наибольшую частоту.

Введем следующие обозначения:

=2000, =1000,  =20,1, =15,4, =17,2

Подставим эти значения в формулу моды и произведем вычисления:

Мода применяется для решения некоторых практических задач. Так, например, при изучении товарооборота рынка берется модальная цена, для изучения спроса на обувь, одежду используют модальные размеры обуви и одежды и др.

Таблица 7

Распределение населения по уровню среднедушевого денежного дохода в январе-августе

Для определения медианного интервала необходимо определять накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит 1/2 суммы накопленных частот (в нашем случае - 50%):

Определим прежде всего медианный интервал.  В данной задаче сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (55,1), соответствует интервалу 3000-4000.  Это и есть медианный интервал,  в  котором находится медиана.  Определим ее значение по приведенной выше формуле.

Известно, что:

Следовательно,

.

Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. Если Мо<Me<Х - имеет место правосторонняя асимметрия, при Х<Me< Мо следует сделать вывод о левосторонней асимметрии ряда. [13]

Таблица 8

Вспомогательная таблица к данным таблицы 7

На основе полученных в последнем примере значений структурных средних можно заключить, что наиболее распространенным, типичным является среднедушевой доход порядка 2618,42 руб. в месяц. В то же время, более половины населения располагает доходом свыше 3703,49 +руб. при среднем уровне руб. (средняя арифметическая взвешенная). Из соотношения этих показателей следует вывод о правосторонней асимметрии распределения населения по уровню среднедушевых денежных доходов.

Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрию ряда распределения.

32

Мода и медиана, как правило, являются дополнительными к средней характеристиками совокупности и используются в математической статистике для анализа формы рядов распределения.

Аналогично медиане вычисляются значения признака, делящие совокупность на четыре равные (по числу единиц) части — квартели, на пять равных частей — квинтели, на десять частей — децели, на сто частей — перцентели.

Глава 2. Использование средних величин для решения задач

Решение задач в статистике зачастую невозможно без использования средних величин. Это также актуально и для статистики коммерческой деятельности. Для иллюстрации решим задачу:

1.                      По первичным данным таблицы 8 определите средний размер розничного товарооборота в расчете на одно предприятие торговли. Укажите вид средней.

Таблица 8

Розничный товарооборот и издержки обращения предприятий