Средние величины в статистике

Выбор формы средней обусловлен исходным соотношением, суть которого приводилась выше. Существует порядок расчета средней величины:

1. Определение исходного соотношения для исследуемого показателя.

2. Определение недостающих данных для расчета исходного соотношения.

3. Расчет средней величины.

Рассмотрим виды средних, которые наиболее часто используются в статистике.

Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объём признака в совокупности остаётся неизменным. [7]Иначе можно сказать, что средняя арифметическая величина – среднее слагаемое. При её вычислении общий объём признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности.

Средняя арифметическая применяется, если известны значения осредняемого признака (х) и количество единиц совокупности с определённым значением признака (f).

Средняя арифметическая бывает простой и взвешенной.

Средняя арифметическая простая используется, если каждое значение признака х встречается один раз, т.е. для каждого х значение признака f=1, или если исходные данные не упорядочены и неизвестно, сколько единиц имеют определённые значения признака.

Формула средней арифметической простой имеет вид:

,

где - средняя величина; х – значение осредняемого признака (варианта), - число единиц изучаемой совокупности.

Например, предположим, что пять филиалов банка, имеют следующий денежный оборот за месяц (Табл.2):

Таблица 2

Распределение денежного оборота банка по числу филиалов за месяц

Определить средний денежный оборот на один филиал за месяц.

В данном примере варьирующий признак – денежный оборот каждого филиала за месяц.

Численные значения признака (145, 120, 98, 111, 117) называют вариантами.

Средний денежный оборот на один филиал за месяц составит:

- средний денежный оборот одного филиала за месяц.

В отличие от простой средней средняя арифметическая взвешенная применяется, если каждое значение признака х встречается несколько раз, т.е. для каждого значения признака f≠1. Данная средняя широко используется при исчислении средней на основании дискретного ряда распределения:

,

где - число групп, х – значение осредняемого признака, f- вес значения признака (частота, если f – число единиц совокупности; частость, если f- доля единиц с вариантой х в общем объёме совокупности).

Например, имеются следующие данные о количестве операций и общей сумме в руб. за рабочую неделю, совершённых в платёжной системе (Табл.3).

Таблица 3

Распределение количества операций, совершённых в платёжной системе

Определить среднюю сумму одной операции за рабочую неделю.

Введём условные обозначения, приняв за х значения осредняемого признака (средняя сумма операции за день), f – число операций с заданным значением х.

124,56 руб. – средняя сумма оной операции за рабочую неделю.                                                                                               

Статистический материал в результате обработки может быть  представлен не  только  в виде дискретных рядов распределения,  но и в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми или открытыми интервалами.

Если исходные данные заданы в виде интервального ряда, то:

1.                      закрывают открытые интервалы, приняв их равными ближайшим закрытым;

2.                      за значения осредняемого признака х берут середины интервалов и строят условный дискретный ряд распределения:

               ,

где - значение нижней границы интервала («от»); - значение верхней границы интервала («до»).

3.                      расчёт средней производится по средней арифметической взвешенной.

Например, имеются данные о распределении ОКР (операционно-кассовый работник) ГОСБ РФ №8203 по возрасту (Табл.4).

Таблица 4

Распределение ОКР по возрасту

Определить средний возраст ОКР.

Построим вспомогательную таблицу, обозначив долю ОКР через . Минимальный возраст ОКР – 18 лет, а максимальный – 60 лет. Тогда первый интервал будет от 18 до 20 лет, а последний от 50 до 60 лет. Находим середину каждого интервала  и принимаем её за значение . Исчисляем значение и сумму этих значений, необходимую для расчёта средней арифметической взвешенной, заносим результаты в расчётную таблицу (Табл.5).

Таблица 5

Расчётная таблица распределения ОКР по возрасту

лет – средний возраст ОКР.

Расчёт средней по интервальному ряду распределения даёт приближённый результат за счёт того, что за значения х берутся не точные данные, а осреднённые значения (середины интервалов).

Если интервальный ряд имеет равные интервалы или дискретный ряд построен с одним и тем же шагом между ближайшими значениями признака, для расчёта средней применим способ «моментов». Алгоритм метода заключается в следующем:

1.                      строится новый дискретный ряд распределения, в котором одна из вариант приравнивается к нулю. К нулю можно приравнять любую варианту, но для упрощения расчётов лучше «занулить» варианту, находящуюся в середине ряда и имеющую наибольшую частоту. Нулевая варианта называется основанием и обозначается ;

2.                      остальные варианты нового ряда обозначаются и рассчитывается по формуле:

                         , где h – ширина равного интервала или шага; x’ – условные варианты;

3.                      определяется средняя по способу моментов:

                                      ,

              где - момент первого порядка.

Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина,  обратная  средней  арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной. Применяется она тогда, когда необходимые веса (fi) в исходных данных не заданы непосредственно, а входят сомножителем в одни из имеющихся показателей (т.е. тогда, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель).[8]

Произведение xf даёт объём осредняемого признака х для совокупности единиц и обозначается w.  Если в исходных данных имеются значения осредняемого признака х и объём осредняемого признака w, то для расчёта средней применяется гармоническая взвешенная:

,

где х – значение осредняемого признака х (варианта); w – вес варианты х, объем осредняемого признака.

Например, рассмотрим расчет средней урожайности, являющейся одним из основных показателей эффективности производства в агробизнесе (Табл.6):

Таблица 6

Валовой сбор и урожайность подсолнечника по Центрально-Черноземному району (в хозяйствах всех категорий)