Средние величины и их показатели

 

Сводный индекс характеризует  изменения явления, состоящего из разнородных  непосредственно не суммируемых элементов.

Чтобы охарактеризовать при помощи индексов изменение явлений, состоящих из разнородных элементов, необходимо прежде всего обеспечить возможность суммирования этих элементов  для их дальнейшего сопоставления. Для этого следует привести их в соизмеримый вид посредством специального соизмерителя который, являясь общей мерой этих явлений, выражает то общее, что им присуще. Так, для продукции народного хозяйства как совокупности разноимённых видов изделий, несмотря на их различные потребительские свойства, общим является то, что все они представляют собой результат труда, затраты которого могут быть выражены как в единицах рабочего времени, например человеко-часах, так и в стоимостной форме, имеющей денежное выражение. Эти показатели: время, стоимость – могут быть использованы как соизмерители и называются весами индекса. Умножив индексируемый показатель на соответствующий вес, выражаем элементы анализируемой совокупности в одних единицах измерения, т. е. проводим их в соизмеримый вид, поэтому их уже можно суммировать и сопоставлять. Так, например, умножив объём различных видов изделий на их себестоимость, мы выражаем их в стоимостной форме, что позволяет их суммировать и сопоставлять. При этом, чтобы индекс отражал изменение только индексируемой величины, веса индексов берут на одном уровне. Если в качестве веса используются объёмные показатели (продукция, численность), их берут на уровне текущего периода, если качественные показатели (план, себестоимость, затраты времени на единицу продукции), то их принимают на уровне базисного периода.

В статистике широко используются индексы физического объёма продукции, индекс себестоимости, затрат, реализованной  продукции, цен, товарооборота, производительности труда, удельного расхода материалов и др.

Сводный индекс физического объёма продукции I_q в общем виде определяется по формуле

I_q= ,

где q₁ q₀ – объём продукции каждого вида изделий соответствующего периода (индексируемый показатель);

z₀ – себестоимость каждого вида изделий базисного периода (вес индекса)

 

Сводный индекс себестоимости I_z определяют по формуле

I_z= ,

где z₁ z₀ – себестоимость отдельных видов продукции соответственно в текущем и базисном периодах.

Он характеризует, как  в среднем изменяется уровень  себестоимость продукции различных  видов в целом по анализируемой совокупности.

Сводный индекс затрат I_Zq определяют по формуле

I_Zq= ,

где z₁q₁, z₀q₀ - затраты по производству различных видов продукции соответственно в отчётном и базисном периодах.

Он характеризует, как  изменились затраты по производству продукции различных видов в  целом по анализируемой совокупности.

 

Сводный индекс цен I_p определяют по формуле

I_p= ,

где p_{1 ,} p₀ – цена отдельных видов продукции соответственно в текущем и базисном периодах.

Он характеризует, как изменились в среднем уровни цен на различные  виды продукции по анализируемой  совокупности.

 

Сводный индекс товарооборота I_qp определяют по формуле

I_qp=

где q₁p₁, q₀p₀ – размер товарооборота соответственно в текущем и базисном периодах.

 

Сводный индекс производительности труда I_1/t определяют по формуле

I_1/t= ,

где t₁, t₀ - затраты времени на производство единицы продукции соответственно в текущем и базисном периодах.

Он характеризует изменение  производительности труда, является показателем, обратным индексу трудоёмкости I_t, который определяют по формулам:

I_t=

I_1/t= .

Индекс характеризует, как изменились затраты времени на единицу продукции  в связи с ростом производительности труда.

 

Сводный индекс массы отработанного  времени I_qt определяют по формуле:

I_qt= ,

где q₁t₁(T₁), q₀t₀(T₀) – это время, затраченное на производство всей продукции соответственно в текущем и базисном периодах.

Сводный индекс удельного расхода материалов I_m топлива определяют по формуле

I_m=

где m₁, m₀ – удельный расход материалов (топлива), т. е. расход материалов (топлива) на единицу продукции соответственно в текущем и базисном периодах.

Он характеризует, как  изменился расход различных видов  материалов, топлива на единицу продукции.

 

Расчёт индексов может  быть выполнен в агрегатной форме  и форме средних индексов – среднеарифметического взвешенного и среднегармонического. Все вышеприведённые индексы рассчитаны как агрегатные индексы. Выбор формы расчёта индексов зависит от наличия исходных данных. Если известны значения индексируемого показателя и веса в текущем и базисном периодах, то пользуются агрегатной формой индексов. Если отсутствуют значения индексируемого показателя или веса в текущем или базисном периодах, но известны изменения индексируемого показателя или веса по отдельным единицам анализируемой совокупности, пользуются формой средних индексов.

Индекс переменного  состава отражает динамику среднего показателя (для однородной совокупности) за счет изменения индексируемой  величины х у отдельных элементов и за счет изменения весов f, по которым взвешиваются отдельные значения х. Любой индекс переменного состава – это отношение двух средних величин для однородной совокупности (за два периода или по двум территориям):

.

 

Индекс фиксированного состава отражает динамику среднего показателя лишь за счет изменения индексируемой величины х, при фиксировании весов на уровне, как правило, отчетного периода f₁:

.

 

По аналогии можно  показать динамику среднего показателя лишь за счет изменения весов f при фиксировании индексируемой величины на уровне базисного периода х₀. такой индекс условно назван индексом структурных сдвигов и имеет вод:

.

Индексы широко используются в факторном анализе для выявления  меры влияния факторных показателей  на средний уровень определяемого  или результативного показателя.

 

Задание 4

 

Объем товарооборота  за отчетный год в фактических  ценах возрос на 36%,а цены снизились  на 15%. Определить, как изменился  физический объем товарооборота.

Решение

	Базисный период	Отчетный период
PQ	100%	136%
P	100%	85%

 

Товарооборот в базисном периоде обозначим за 1,тогда в отчетном периоде он составит 1,36( т.к. товарооборот увеличился на 36%). Цены на продукцию в базисном периоде также обозначим за 1, тогда в отчетном периоде они составят 0,85(т.к. цены снизались на 15%).

Сводный индекс товарооборота можно найти по формуле:

Отсюда можно выразить индекс физического объема:

В базисном периоде физический объем составлял 1, в отчетном 1,156, следовательно,  физический объем товарооборота вырос на 15,6%  
4. Выборочное наблюдение

 

Выборочное наблюдение – это один из видов не сплошного наблюдения, при котором учёту подлежит только часть единиц наблюдаемого явления, и отбор единиц в выборочную совокупность производится по определенному закону. Статистические характеристики, полученные на основе выборочного наблюдения – выборочная средняя, выборочная дисперсия и т. д. всегда отличаются по величине от статистических характеристик генеральной совокупности, охватывающей все единицы изучаемого явления.

Разница статистических характеристик генеральной и  выборочной совокупности называется ошибкой выборки или репрезентативности и обозначается

где x_{ср. генер.} и x_{ср. выбор.} – соответственно генеральная и выборочная средние.

Величина ошибки выборки  средней  зависит от числа наблюдений составляющих выборочную совокупность и дисперсии изучаемого признака . Чем больше величина выборки n тем ошибка выборки меньше. Чем больше дисперсия значений признака в выборке тем больше ошибка выборки. Аналитически это записывается так:

Дисперсию доли, как альтернативного  признака, определяют по формуле

где w – доля

Соответственно ошибка доли определяется по формуле

В математической статистике доказано, что с определенной вероятностью p можно утверждать, что при данной дисперсии изучаемого признака и числа наблюдений величина ошибки не превысит определённой заранее заданной величины, называемой предельной ошибкой выборки .

Предельную ошибку средней  определяют по формуле:

где t – коэффициент доверия (отношение предельной и средней ошибки выборки).

Коэффициент доверия  определяется по выписке из таблицы  значений функции приведённую в  конце настоящих методических указаний.

Предельную ошибку доли определяют по формуле

.

В зависимости от способа  отбора единицы в выборочную совокупность различают следующие виды выборки:

индивидуальную, серийную;

случайную, механическую, типологическую;

повторную, бесповторную.

При бесповторной выборке  единица изучаемого явления может  попасть в выборку только один раз, при повторном способе отбора единица изучаемого явления может попасть в выборку нескольких раз. Соответственно ошибка выборки при бесповторном отборе рассчитывается по формуле:

где N – число единиц в генеральной совокупности:

при повторном отборе – по формуле

Задаваясь определённой допустимой ошибкой выборки с вероятностью ошибки p и зная дисперсию изучаемого признака определяют число единиц n подлежащих отбору в выборочную совокупность при бесповторном отборе:

при повторном отборе:

Выписка из таблицы значение функции

при различных значениях t:

t	F(t)	t	F(t)	t	F(t)	t	F(t)
0,96	0,663	1,70	0,911	1,81	0,93	1,94	0,948
0,99	0,678	1,735	0,917	1,86	0,937	2,00	0,955
1,46	0,856	1,75	0,92	1,90	0,943	3,00	0,997

 

Задание 5

Произведено выборочное обследование длительности производственного стажа рабочих. В выборке было взято 200 рабочих из общего количества в 1000 человек. Результат выборки следующий:

Стаж, годы	2-4	4-6	6-8	8-10
Число рабочих	50	80	45	25

 

На основании приведенных  данных определить:

1. С вероятностью 0,917 возможные пределы колебаний средней продолжительности стажа всех рабочих;
2. Какое число рабочих надо взять в выборку, чтобы ошибка не превышала 1 года, на основе приведенных выше показателей.

Решение

Чтобы рассчитать ошибку репрезентативности найдем дисперсию  значений признака в выборке.

 

 

t- коэффициент доверия, для вероятности 0,917 его значение равно 1,735

Вывод: Средняя продолжительность  стажа всех рабочих колеблется в  пределах от 5,2418 лет до 5,6582 лет.

2)

Вывод: Чтобы ошибка не превышала 1 года, надо взять в выборку 11, 06 рабочих.

5. Статистика численности и состава населения

 

Население – совокупность лиц, проживающих на определённой территории.

Естественное движение – изменение численности населения, которое определяется непосредственно рождениями и смертями и косвенно – браками и разводами. К числу абсолютных показателей естественного движения населения относятся: