Контрольная работа по «Статистике»

 

Рассчитаем межгрупповую дисперсию

 

Межгрупповая дисперсия характеризует изменение признака, обусловленное факторами, положенными в основу группировки. Таким образом, межгрупповая дисперсия есть  дисперсия локальных средних. Ее расчет проводится по формуле:

 

= , где

 

 – искомое значение  межгрупповой дисперсии

 – частота, повторяемость индивидуальных значений признака в группе

 – среднее значение  признака в группе

 – среднее значение  признака внутри всей совокупности

 

Воспользуемся для расчетов Вспомогательной таблицей №4

 

  = = 8 106.47

 

Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий (остаточную)

 

Внутригрупповая дисперсия характеризует случайную вариацию, то есть колебания признака, возникающие под воздействием неучтенных факторов и независящего от вариации признака – фактора, положенного в основу группировки.

Внутригрупповая дисперсия рассчитывается для каждой однородной группы по формуле:

 

= , где

 

 – искомое значение внутригрупповой дисперсии (для каждой группы отдельно)

 – значения признака внутри группы

 – среднее значение внутри группы

 – частота, повторяемость индивидуальных значений признака в группе

 

Воспользуемся для расчетов Вспомогательной таблицей №4

 

= = 18 291.98

 

= = 25 954.84

= = 44 986.17

 

= = 9 261.92

 

На основании внутригрупповых дисперсий рассчитывается средняя из внутригрупповых (остаточная) дисперсия по формуле:

 

= , где

 

 – искомое значение  остаточной дисперсии

 – внутригрупповая  дисперсия (значений для каждой  группы отдельно)

  – частота, повторяемость индивидуальных значений признака в группе

 

Воспользуемся для расчетов Вспомогательной таблицей №4

 

= = 21 034.53

 

Проверим правило сложения дисперсий

 

 

 

29 141.00 = 8 106.47 + 21 034.53

 

29 141.00 = 29 141.00

 

что и требовалось доказать

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 5.

 

Банки, по которым имеются отчетные данные, представляют собой  30% (простую случайную выборку) из общего числа крупнейших банков России. Требуется определить:

 

- среднее значение факторного  признака для всех 100 банков, гарантируя  результат с вероятностью 0,997. Расчет  всех необходимых показателей  по выборочным данным произвести  на основе группировки банков  по факторному признаку, приняв  равные интервалы группировки  при числе групп, равном 5.

 

Для расчета величины интервала воспользуемся данными полученными в Задании 3.

 

i = = 692.3 млн.руб

 

 

Построение ряда распределения представлено в Таблице №6

 

Таблица №6

 

Собственный капитал (млн.руб)	996.1 – 1 688.4	1 688.4 – 2 380.7	2 380.7 – 3 073.0	3 073.0 – 3 765.3	3 765.3 – 4 457.6
Количество банков	15	5	5	2	3

 

 

Сформируем Вспомогательную таблицу №5

 

Вспомогательная таблица №5

 

			*	-
996.1 – 1 688.4	15	1 342.25	20 133.75	-761.53	579 927.94	8 698 919.11
1 688.4 – 2 380.7	5	2 034.55	10 172.75	-69.23	4 792.79	23 963.96
2 380.7 – 3 073.0	5	2 726.85	13 634.25	623.07	388 216.22	1 941 081.12
3 073.0 – 3 765.3	2	3 419.15	6 838.30	1 315.37	1 730 198.24	3 460 396.47
3 765.3 – 4 457.6	3	4 111.45	12 334.35	2 007.67	4 030 738.83	12 092 216.49
ИТОГО:	30	-	63 113.40	-	-	26 216 577.16

 

Рассчитаем среднее значение факторного признака по выборке

 

Средний объем собственного капитала по выборке рассчитывается по формуле:

 

= , где

 

 – искомое значение выборочной средней

 – частота, повторяемость индивидуальных значений признака в группе

 

Воспользуемся для расчетов Вспомогательной таблицей №5

 

= = 2 103.78 млн.руб

 

Рассчитаем выборочную дисперсию

 

= , где

 

 – искомое значение  выборочной дисперсии

 – значение выборочной средней

 – частота, повторяемость индивидуальных значений признака в группе

 – центральное значение в группе

 

= , где

 

max – верхняя граница группы

i – величина интервала

 

Результаты вычислений для нахождения центральных значений в каждой отдельной группе представлены в млн.руб  в Вспомогательной таблице №5

 

Воспользуемся для расчетов Вспомогательной таблицей №5

 

= = 873 885.19 млн.руб2

 

Рассчитаем предельную ошибку выборки

 

= (случайная бесповторная выборка)

 

При вероятности Р=0,997, t=3.0

 

= = t , где

 

 – искомое значение предельной ошибки выборки

 – величина средней квадратической стандартной ошибки выборки

 – коэффициент кратности средней ошибки выборки, зависящий от вероятности (Р), с которой гарантируется величина предельной ошибки

 – выборочная дисперсия

 –  число выборки

 – общее число

 

Воспользуемся для расчетов Вспомогательной таблицей №5

 

= 3 = 428.39 млн.руб

 

Рассчитаем доверительный интервал среднего значения факторного признака

 

Доверительный интервал среднего объема собственного капитала банков находится по формуле:

 

 , где

 

 – искомое значение генеральной средней

 – выборочная средняя

 – предельная ошибка выборки

 

2 103.78 – 428.39 2 103.78 + 428.39

 

1 675.39 млн.руб 2 532.17 млн.руб

 

Таким образом, с вероятностью 0.997 среднее значение собственного капитала для всех 100 банков лежит в интервале от 1 675.39 млн.руб до 2 532.17 млн.руб

 

 

Задание 6.

 

Изучить характер связи и степень ее тесноты между факторным признаком (х) и результативным (y), для чего необходимо:

 

- на основе групповой таблицы  из пункта 3 построить эмпирическую  линию регрессии, сделать вывод  о направлении и форме связи

 

- измерить степень тесноты связи  с помощью одного из показателей, характеризующих тесноту связи  при парной корреляции

 

- рассчитать параметры уравнения  регрессии, оценить его качество  и достоверность, используя среднюю  квадратическую ошибку уравнения

 

- сформулировать вывод

 

Построим эмпирическую линию регресии

 

Для этого воспользуемся Таблицей №5 из Задания № 3

Таблица №5 (Задание №3)

 

ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ РАЗМЕРОМ СОБСТВЕННОГО КАПИТАЛА И ОБЪЁМОМ ПРИБЫЛИ

 

Группы по размеру собственного капитала (млн.руб)	Количество банков	Центральное значение	Суммарное значение прибыли в группе (млн.руб) ∑yj	Среднее значение прибыли в каждой группе (млн.руб) j
996.1 – 1 861.5	18	1 428.8	8 453.3	469.63
1 861.5 – 2 726.9	5	2 294.2	2 468.0	493.60
2 726.9 – 3 592.3	3	3 159.6	2 099.7	699.90
3 592.3 – 4 457.7	4	4 025.0	2 704.4	676.10
ИТОГО:	30	-	15 725.4	524.18

ЭМПИРИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ РЕГРЕСИИ

 

 

Эмпирическая линия регрессии приближается к параболе. Следовательно, можно утверждать, что здесь присутствует нелинейная полиноминальная регрессия. Следует отметить, что на протяжении исследования меняется характер связи рассматриваемых признаков  – прямая связь меняется на обратную. То есть до определенного момента можно наблюдать, что с ростом собственного капитала (факторного признака) растет прибыль (результативный признак), однако после этого замечаем обратную тенденцию.

 

Измерим степень тесноты связи с помощью эмпирического корреляционного отношения

 

= , где

 

 – искомое значение эмпирического  корреляционного отношения

 – межгрупповая дисперсия

 – общая дисперсия

 

Воспользуемся данными полученными ранее в Задании 4:

 

= 8 106,47

 

= 29 141,00

 

 = = 0,28

 

Полученный коэффициент детерминации показывает, что прибыль (убытки) до налогов в данном опыте  обусловлена величиной собственного капитала на 28%

= = 0,53

 

Чем ближе к единице эмпирическое корреляционное отношение, получаемое извлечением квадратного корня из коэффициента детерминации, тем более тесную связь мы наблюдаем. В рассмотренном примере была установлена умеренная связь между изучаемыми факторами.

 

Рассчитаем параметры уравнения регрессии

 

После анализа данных проведенных с помощью MS Excel,  на основе сочетания теоритического анализа и исследования эмпирических данных посредством построения эмпирической линии регрессии, была выбрана параболоидная модель связи.

 

 

 

Для определения параметров параболы второго порядка система нормальных уравнений имеет следующий вид:

 

 

 

 

Сформируем Вспомогательную таблицу №6

 

Вспомогательная таблица №6

 

1 428.80		2 041 469.44	2 916 851 535.87	4 167 597 474 453.91	469.63	671 007.34	958 735 293.11
2 294.20		5 263 353.64	12 075 185 920.89	27 702 891 539 701.20	493.60	1 132 417.12	2 597 991 356.70
3 159.60		9 983 072.16	31 542 514 796.74	99 661 729 751 767.10	699.90	2 211 404.04	6 987 152 204.78
4 025.00		16 200 625.00	65 207 515 625.00	262 460 250 390 625.00	676.10	2 721 302.50	10 953 242 562.50
ИТОГО:	10 907.60	33 488 520.24	111 742 067 878.50	393 992 469 156 547.00	2 339.23	6 736 131.00	21 497 121 417.10

 

Воспользуемся для расчетов Вспомогательной таблицей №6

 

 

 

Линейное уравнение регрессии имеет следующий вид

 

 0.403+0.355x+0.00005

 

Рассчитаем среднюю квадратическую ошибку

 

 = где,

 

 – искомое значение средней квадратической ошибки

 – значение результативного признака (прибыли (убытков) до налогов)

- значение результативного признака, рассчитанное по уравнению регрессии

 – количество, изучаемых единиц  совокупности

- количество параметров уравнения  регрессии (3)

 

Сформируем Вспомогательную таблицу №7

 

Вспомогательная таблица №7

 

Собственный капитал (млн. руб)	Прибыль (убытки) до налогов (млн. руб)			(
1 428.80	469.63	413.78	55.85	3 119.65
2 294.20	493.60	572.27	-78.67	6 188.21
3 159.60	699.90	661.43	38.47	1 479.59
4 025.00	676.10	681.28	-5.18	26.87
ИТОГО:				10 814.33

 

Воспользуемся для расчетов Вспомогательной таблицей №7

 

 = = 20.01

 

Рассчитаем оценку существенности ошибки

 

= = 3,82

 

Полученное отношение не превышает 10  – 15%, поэтому уравнение достаточно хорошо отображает взаимосвязь двух признаков и может быть использовано в практической работе. По результатам исследования можно сделать вывод о том, что между собственным капиталом банков и их прибылями существует связь с переменчивым характером, которую можно уследить на следующем графике:

 

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЛИНИЙ РЕГРЕССИИ

 

 

Вывод: исходя из данных, полученных в результате исследования,

 

МОСКВА 
2014