Контрольная работа по статистике

 -0,901

Поскольку Ех <0, то распределение плосковершинное.

 

4. Проверка соответствия эмпирического распределения нормальному закону

Теоретические частоты для нормального распределения  вычисляются по формуле

 13,187

Таблица 5.

Вычисление  теоретических частот

№ Инт.	Середина интервала
1	1,5	-1,322	0,267	3,515
2	4,5	-0,466	0,628	8,277
3	7,5	-0,046	0,955	12,591
4	10,5	-0,064	0,938	12,373
5	13,5	-0,518	0,596	7,854
6	16,5	-1,410	0,244	3,221

 

По  результатам вычислений строим график (рис. 5).

 

Рис. 5. Эмпирическое и теоретическое  распределения

 

Для проверки соответствия эмпирического  и теоретического распределений  будем использовать критерий согласия Пирсона («хи-квадрат»)

.

Применение  критерия Пирсона требует выполнения следующих условий:

1)  число наблюдений должно быть  достаточно большим (n≥50). Данное условие в нашем случае выполняется;

2) теоретические частоты в интервалах  должны быть больше 5. Это условие  в нашем случае выполняется  

Таблица 6.

Расчет  критерия Пирсона

№ Инт.	fi
1	5	3,515	0,627
2	10	8,277	0,359
3	11	12,591	0,201
4	12	12,373	0,011
5	5	7,854	1,037
6	7	3,221	4,434
χ2=			6,669

Применение критерия согласия Пирсона  требует использования специальных  таблиц. Что бы избежать этого, произведем вычисления по критерию Романовского, основанного на критерии Пирсона

,

где γ=m^*-l-1 – число степеней свободы;

m^* - число интервалов (в нашем случае m^* =6);

l – число параметров распределения (для нормального распределения l=2).

γ=6-2-1=3;

.

В соответствии с критерием Романовского, если С<3, то эмпирическое распределение соответствует теоретическому.

В нашем случае С = 1,498 < 3, следовательно эмпирическое распределение соответствует нормальному закону (закону Гаусса).

                                                      

                                                      Задача 12.

Имеются данные обследования бюджетов домашних хозяйств района:

Группы домашних хозяйств	Среднедушевой доход	Число домохозяйств
1	до 500	5
2	500 - 1 000	10
3	1 000 - 1 500	30
4	1 500 - 2 000	40
5	свыше 2 000	15

Определить:

а) среднедушевой доход;

б) моду и медиану;

в) показатели вариации.

 

Решение

Определим

а) среднедушевой доход по формуле  средней арифметической взвешенной:

где x_i – середина i-го интервала.

Для расчета используем таблицу:

Группы домашних хозяйств	Среднедушевой доход	xi	Число домохозяйств, fi	xi fi
1	до 500	250	5	1250
2	500 - 1 000	750	10	7500
3	1 000 - 1 500	1250	30	37500
4	1 500 - 2 000	1750	40	70000
5	свыше 2 000	2250	15	33750
Итого:			100	150000

 

б) моду и медиану;

Мода – значение признака наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности.

Для нахождения моды по интервальному ряду распределения в начале определяем модальный интервал, т.е. интервал с максимальной частотой. В нашем случае таким интервалом будет интервал от 1500 до 2 000 (4-й интервал).

Далее величину моды вычисляем по формуле  

,

где – нижняя граница модального интервала;

- размер модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего  модальному;

- частота интервала, следующего  за модальным. 

1642,857

Медиана – значение признака, которое лежит в середине ранжированного ряда и делит этот ряда на две равные по численности части.

Для нахождения медианы по интервальному  ряду распределения в начале определяем медианный интервал. Им будет первый сверху интервал, в котором накопленная частота больше или равна половине объема совокупности. В нашем случае половина объема совокупности n/2=100/2=50.

 

Группы домашних хозяйств	Среднедушевой доход	Число домохозяйств	Накопленная частота
1	до 500	5	5
2	500 - 1 000	10	15
3	1 000 - 1 500	30	45
4	1 500 - 2 000	40	85
5	свыше 2 000	15	100

Первый сверху интервал, в котором  накопленная частота больше чем 50 – это интервал от 1500 до 2 000 (в нем накопленная частота равна 85), поэтому этот интервал является медианным.

Далее величина медианы вычисляется по формуле

где – нижняя граница медианного интервала;

- размер медианного интервала;

- частота медианного интервала;

- накопленная частота интервала,  предшествующего медианному.

1562,5

в) показатели вариации.

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

 512,348

 

Относительные показатели вариации:

Коэффициент вариации

Поскольку коэффициент вариации больше 33%, то совокупность по изучаемому признаку является неоднородной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 21

Определить  среднюю арифметическую, моду и медиану, показатели вариации на основе следующих  данных:

Группы предприятий по числу рабочих, чел.	Число предприятий
100-200	3
200-300	5
300-400	7
400-500	15
500-600	25
600-700	10
700-800	8

 

Решение

Для  расчета средней арифметической, моды, медианы и показателей вариации, составим вспомогательную таблицу 

Группы предприятий по числу рабочих, чел.	Число предприятий	Середина интервала
100-200	3	150	358,9	1076,71	128812,16	386436,48	450
200-300	5	250	258,9	1294,52	67031,34	335156,69	1250
300-400	7	350	158,9	1112,33	25250,52	176753,61	2450
400-500	15	450	58,9	883,56	3469,69	52045,41	6750
500-600	25	550	41,1	1027,40	1688,87	42221,81	13750
600-700	10	650	141,1	1410,96	19908,05	199080,5	6500
700-800	8	750	241,1	1928,77	58127,23	465017,83	6000
Итого	73	3150	-	8734,25	-	1656712,33	37150

 

Рассчитаем  среднюю арифметическую для сгруппированных данных:

Мода  определяется по следующей формуле:

 

 

где - начальное значение интервала, содержащего моду;

- величина модального интервала; 

- частота модального интервала; 

- частота интервала, предшествующего  модальному;

- частота интервала, следующего  за модальным.

Получаем:

 чел.

Определим значение медианы по формуле:

 

где - начальное значение интервала, содержащего медиану;

- величина медианного интервала; 

- частота медианного интервала; 

- кумулятивная частота интервала,  предшествующего медианному;

- половина от общего числа  наблюдений.

Для определения медианы необходимо вначале найти номер медианы: .

Вычисляем накопленные частоты:

Группы предприятий по числу рабочих, чел.	Число предприятий	Накопленная частота
100-200	3	3
200-300	5	8
300-400	7	15
400-500	15	30
500-600	25	55
600-700	10	65
700-800	8	73

37 предприятий приходится на  интервал: 500-600.

Рассчитываем  медиану:

 чел.

Линейное  отклонение рассчитывается по принципу взвешенной средней по формуле:

Получаем:

 

Дисперсия рассчитывается по формуле:

Получаем:

Среднее квадратическое отклонение:

 

Получаем:

Относительные показатели вариации:

Линейный  коэффициент вариации

Коэффициент вариации

Коэффициент вариации менее 33%, следовательно, совокупность однородная.

 

 

Задача 31

Имеются следующие данные об объеме пассажирооборота по автобусным предприятиям города:

Год	пассажирооборот	Цепные показатели динамики
	Млрд. пасс.-км.
1992	127,0	-	-	-	-
1993			1,102
1994				7,1
1995	164,6
1996
1997				9,9	1,75