Контрольная работа по статистике

 

Задание для задачи №2:

По  исходным данным необходимо:

• построить интервальный вариационный ряд распределения, дать его графическое изображение;
• рассчитать показатели центра распределения: среднюю арифметическую, моду и медиану;
• определить абсолютные и относительные показатели вариации, сделать выводы об однородности совокупности;
• определить показатели формы распределения;
• проверить соответствие эмпирического распределения закону нормального распределения, используя критерий согласия Пирсона, изобразить эмпирическое и теоретическое распределения на одном и том же графике.

Задача 2.

11	9	2	8	11	5	10	8	4	9
7	6	11	5	18	6	10	7	11	4
12	14	13	8	9	12	5	17	13	17
11	9	1	10	1	5	8	8	0	3
17	3	8	7	4	15	16	3	16	1

1. Построение интервального вариационного ряда распределения

Ряд распределения – упорядоченное расположение единиц (элементов) изучаемой совокупности по группам в соответствии с выбранным группировочным признаком.

Ряд распределения представляет собой  таблицу, которая состоит из двух основных колонок. В первой указываются  значения, которые принимает признак  в изучаемой совокупности, а во второй – количество, того или иного  значения, т.е. частота. Для признака, имеющего непрерывное изменение, строится интервальный ряд распределения. При  его построении отдельные значения признака указываются в первой колонке  в виде интервалов «от - до».

В некоторых случаях, в зависимости  от целей исследования, ряд распределения, состоящий из двух граф, иногда дополняется  другими графами, необходимыми для  вычисления отдельных статистических показателей.

Для построения интервального ряда вначале  определяем размер интервала:

,

где x_max – максимальное значение признака в совокупности;

x_min - минимальное значение признака в совокупности;

m – число интервалов

Количество  интервалов определим с помощью  формулы Стерджесса:

,

где n – объем совокупности (количество исходных значений). В нашем случае n=50.

Количество  интервалов обязательно должно быть целым числом. Поскольку формула  Стерджесса дает лишь приблизительную оценку количества интервалов, то можно принять либо m=6, либо m=7. Для удобства дальнейших вычислений примем  m=6. Тогда размер интервала будет равен:

Определяем  границы интервалов. Нижняя граница  первого интервала равна минимальному значению признака в совокупности, т.е. в нашем случае равна 0. Верхняя  граница первого интервала равна  нижней границе плюс размер интервала, т.е. 0+3=3. Нижняя граница второго интервала  равна верхней границе первого, т.е. 3. Верхняя граница второго  интервала равна нижней границе  второго интервала плюс размер интервала, т.е. 3+3=6 и т.д. В итоге получаем границы для шести интервалов. Заносим границы интервалов в  таблицу (табл. 1, колонка 2).

Далее подсчитываем количество значений признака из заданной совокупности, попавших в  тот или иной интервал и заносим  это число в колонку «Частота». Если значение попадает на границу  между k-ым и (k+1)-ым интервалами, то его относят в (k+1)-ый интервал. Сумма всех частот обязательно должна совпадать с объемом совокупности (в нашем случае со значением 50).

Вычисляем частости, т.е. частоты, выраженные в процентах к общему объему совокупности:

;

;

;

и т. д.

 

Таблица 1.

Интервальный  ряд распределения

№ Инт.	Значение признака (х) от - до	Частота (f)	Частость (w), %	Накопленная частота (S)	Плотность распределения (ρ)
1	0-3	5	10	5	1,667
2	3-6	10	20	15	3,333
3	6-9	11	22	26	3,667
4	9-12	12	24	38	4
5	12-15	5	10	43	1,667
6	15-18	7	14	50	2,333
Итого:		50	100	-	-

   Накопленная частота показывает, сколько единиц изучаемой совокупности имеет значение признака не более чем некоторое заданное. Она вычисляется по формуле:

;

;

 и т. д.

Последнее значение накопленной частоты должно быть равно объему совокупности.

Плотность распределения показывает, сколько единиц совокупности приходятся на единицу длины интервала:

.

 и т.д.

Строим  графические изображения ряда распределения.

Рис. 1. Структурная диаграмма

 

Рис.2. Полигон распределения

Рис. 3. Гистограмма распределения

 

2. Определение показателей центра распределения

К показателям центра распределения  относятся: средняя арифметическая, мода и медиана.

  Средняя арифметическая

где x_i –середина i-го интервала.

Таблица 2.

№ Инт.	Значение признака (х) от - до	середина интервала xi	Частота (f)	xi fi	Накопленная частота (S)
1	0-3	1,5	5	7,5	5
2	3-6	4,5	10	45	15
3	6-9	7,5	11	82,5	26
4	9-12	10,5	12	126	38
5	12-15	13,5	5	67,5	43
6	15-18	16,5	7	115,5	50
Итого:			50	444

 

8,88

Мода – значение признака наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности.

Для нахождения моды по интервальному ряду распределения в начале определяем модальный интервал, т.е. интервал с максимальной частотой. В нашем случае таким интервалом будет интервал от 9 до 12 (4-й интервал).

Далее величину моды вычисляем по формуле  

,

где – нижняя граница модального интервала;

- размер модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего  модальному;

- частота интервала, следующего  за модальным. 

9,375

Медиана – значение признака, которое лежит в середине ранжированного ряда и делит этот ряда на две равные по численности части.

Для нахождения медианы по интервальному  ряду распределения в начале определяем медианный интервал. Им будет первый сверху интервал, в котором накопленная частота больше или равна половине объема совокупности. В нашем случае половина объема совокупности n/2=50/2=25. Первый сверху интервал, в котором накопленная частота больше чем 25 – это интервал от 6 до 9 (в нем накопленная частота равна 26), поэтому этот интервал является медианным.

Далее величина медианы вычисляется по формуле

где – нижняя граница медианного интервала;

- размер медианного интервала;

- частота медианного интервала;

- накопленная частота интервала,  предшествующего медианному.

8,727

3. Определение абсолютных и относительных показателей вариации

Вариация – различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности.

Для характеристики изменчивости отдельных  значений признака в статистике используют абсолютные и относительные показатели вариации. 

Абсолютные  показатели вариации:

Размах

Среднее линейное отклонение

,

где - средняя арифметическая найденная ранее

Для расчета  заполним таблицу:

 

Таблица 3.

Интервал	xi	fi
0-3	1,5	5	36,9	272,322
3-6	4,5	10	43,8	191,844
6-9	7,5	11	15,18	20,948
9-12	10,5	12	19,44	31,493
12-15	13,5	5	23,1	106,722
15-18	16,5	7	53,34	406,451
	∑	50	191,760	1029,780

 

Дисперсия рассчитывается по формуле:

Получаем:

Среднее квадратическое отклонение:

Получаем:

 

Относительные показатели вариации:

Коэффициент осцилляции

Относительное линейное отклонение

Коэффициент вариации

Поскольку коэффициент вариации больше 33%, то совокупность по изучаемому признаку является неоднородной.

 

 

4. Определение  показателей формы распределения

Показатель  асимметрии

-0,109

На  основе показателя асимметрии могут  быть сделаны следующие выводы.

Если  As < 0, то асимметрия левосторонняя, а если As > 0 – то правосторонняя.

Чем ближе по модулю As к 1, тем асимметрия существеннее:

• если |As|<0,25, то асимметрия  считается незначительной;
• если 0.25 <½As½<0,5 то асимметрия  считается умеренной;
• если |As|>0,5 – асимметрия значительна.

В нашем случае асимметрия правосторонняя и незначительная, так как <0.25.

В нашем случае асимметрия правосторонняя, незначительная.

Эксцесс является  показателем островершинности распределения. Он рассчитывается для симметричных распределений на основе центрального момента 4-ого порядка . При симметричных распределениях Ех=0. Если Ех>0, то распределение относится к островершинным, если Ех<0 – к плосковершинным.

Показатель  эксцесса (островершинности)

,

где μ₄ – центральный момент 4-го порядка

Таблица 4.

Интервал	xi	fi
0-3	1,5	5	14831,854
3-6	4,5	10	3680,412
6-9	7,5	11	39,894
9-12	10,5	12	82,650
12-15	13,5	5	2277,917
15-18	16,5	7	23600,322
	∑	50	44513,049