Контрольная работа по "Статистике "

e

Российский государственный  гидрометеорологический университет Факультет заочного обучения                       КОНТРОЛЬНАЯ      РАБОТА   По статистике Вариант № 5                                                                                       Студента II курса                                                                      Евсеева А.С.                                           Специальность: «экономика и                                                                         управление на                                                                       предприятии                                                                                     природопользования»                                           Санкт-Петербург   2012 г.

 

Задание 1

Построить ряд распределения регионов страны по числу предприятий, используя равные, закрытые интервалы (пять интервалов). Результаты группировки оформить в виде таблицы и изобразить графически.

 

Решение:

Регионы	Число предприятий  и организаций, тыс.ед.	Регионы	Число предприятий и организаций, тыс.ед.	Регионы	Число предприятий  и организаций, тыс.ед.
1	3	12	7,5	23	11,85
2	3	13	7,5	24	12
3	4,5	14	8,25	25	12,3
4	5,25	15	7,5	26	12,75
5	5,55	16	7,95	27	13,65
6	5,7	17	8,85	28	15
7	5,7	18	10,8	29	16,8
8	6,6	19	10,5	30	17,25
9	8,25	20	10,5	31	17,55
10	6,75	21	11,25	32	18
11	8,25	22	10,5	33	18

 

Рассчитаем величину интервала.

 

i = ,

 

где  X_max и X_min – максимальное и минимальное значения стоимости основных фондов,

 n- число групп.

 

i = = 3

 

Теперь образуем группы регионов, которые отличаются друг от друга по числу предприятий и организаций на эту величину.

3,0 – 6,0 – 7 регионов (3,0 + 3 = 6,0)

6,0 – 9,0 – 10 регионов (6,0 + 3 = 9,0)

9,0 – 12,0 – 7 регионов (9,0 + 3 = 12,0)

12,0 – 15,0 – 4 региона  (12,0 + 3 = 15,0)

15,0 – 18,0 – 5 регионов (15,0 + 3 = 18,0)

 

 

Статистический ряд  распределения регионов страны по числу  предприятий основного вида деятельности.

Группы	Число предприятий  и  организаций, тыс.ед.	Количество  регионов	Уделный  вес, %	Кумулятивная  частота
1	3-6	7	21,2	7
2	6-9	10	30,3	17
3	9-12	7	21,2	24
4	12-15	4	12,1	28
5	15-18	5	15,2	33
Итого		33	100	-

 

Гистограмма распределения:

 

 

Рис.1 Гистограмма распределения  регионов страны по числу предприятий  основного вида деятельности.

 

Задание 2

 

На основе вариационного ряда распределения, постороенного в задании 1 определить:

1. Средний по совокупности регионов уровень числа предприятий;
2. Структурные средние;
3. Показатели размера и интенсивности вариации.

Решение:

Рассчитаем характеристики полученного  вариационного ряда распределения.

 

1. Средний по совокупности регионов уровень числа предприятий.

 

Так как данные представлены в вариационном ряде, используем формулу взвешенной средней арифметической:

 

X=

,

где:

 

x_i – середина интервала,

– число регионов.

 

Вариационный ряд распределения

 

Группы	Число предприятий и  организаций, тыс.ед.	Кол-во регионов,	Середина интервала,	xi fi	|xi - X|	|xi -X|*f	(xi - X)2 * fi
		fi	xi
1	3,0 - 6,0	7	4,5	31,5	5,09	35,63	181.36
2	6,0 - 9,0	10	7,5	75	2,09	20,9	43.68
3	9,0 - 12,0	7	10,5	73,5	0.91	6,37	5.8
4	12,0 - 15,0	4	13,5	54	3,91	15,64	61,15
5	15,0 - 18,0	5	16,5	82,5	6,91	34,55	238,74
Итого	—	33	—	316,5	18,91	113,09	530,73

 

 

X = = 9,59 тыс. ед.

 

2. Структурные средние (мода, медиана).

 

Мода - наиболее часто  встречающееся значение признака. В  интервальном ряду определяется модальный  интервал (имеет ниабольшую частоту).

 

 

 

 

Значение моды определяется по формуле:

 

M_o = x_mo + i

,

 

где:

 

x_mo – нижняя граница модального интервала,

i     − величина равного интервала,

f_mo   − частота модального интервала,

f_(mo-1) – частота интервала, предшествующего модальному,

f_(mo+1) – частота интервала, следующего за модальным.

 

Модальный интервал –  второй (6,0-9,0), т.к. он имеет наибольшую частоту (10)

 

Найдем моду по формуле:

 

M_o = 6+3

= 7,28

 

Медиана- это варианта, которая  находится в середине вариационного  ряда. Чтобы найти медиану необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда.

 

Значение медиану находим по формуле:

 

Me = X_Me +i_Me

,

 

где:

 

X_Me – нижняя граница медианного интервала,

S_Me-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному,

i_Me  − величина интервала,

f_Me − частота медианного интервала,

  − половина от общего числа наблюдений.

 

Найдем медианный интервал. Медианным является интервал ,в котором  сумма накопленных частностей превысит половину общего числа наблюдений.

Таким интервалом будет  второй интервал (6,0-9,0), поскольку его  накопленная частота равна 17 (7+10), что превышает половину суммы всех частот (33/2=16,5).

Подставив данные в формулу  получим:

 

Me = 6 +3

= 7,68

 

3. Показатели размера и интенсивности вариации.

Размах вариации:

R = x_max – x_min = 18-3 = 15

 

Среднее квадратическое отклонение:

= = 16.08

 

= = = 4

 

Коэффициент вариации:

К_в =

*100 = *100 = 41.71%

 

Модальным (наиболее часто встречающимся) значением численности предприятий в регионах является 7,28 тыс. ед.

Медианное значение 7,68 говорит  о том, что из 33 регионов 15 имеют  численность предприятий менее 7,68 тыс.ед., а 15 регионов- более 7,68 тыс.ед.

Среднее значение численности  предприятий равно 9,59 тыс. ед.

Среднее квадратическое отклонение показывает ,что значения численности предприятий в совокупности отклоняются от средней величины в ту или иную сторону в среднем  на 20,36 тыс.ед.

Коэффициент вариации свидетельствует  о неоднородности совокупности (т.к. >33,3%) и ненадежности средней.

 

Задание 3

 

Используя результаты расчетов, выполненных в задании 1и 2 и полагая, что данные задания 1 получены при  помощи случайного 10%-го бесповторного отбора, определить:

 

Решение:

1. Пределы, за которые с доверительной вероятностью 0,954 не выйдет среднее значение числа предприятий региона, рассчитанное по генеральной совокупности;
2. Как нужно изменить объем выборки, чтобы снизить предельную ошибку средней величины числа предприятий на 20%?
3. Пределы, за которые в генеральной совокупности не выйдет значение доли предприятий, у которых индивидуальные значения признака превышают моду (уровень доверительной вероятности 0,997);

 

4. Как измениться объем выборки, если снизить предельную ошибку доли регионов на 20%?

Вычисления выполнить  отдельно по формулы повторного и бесповторного отбора.

 

Решение:

 

1. При заданной вероятности (0,954) коэффициент доверия t, согласно таблице значений интегральной функции Лапласа, равен 2, n (численность совокупности) равно 33, а так как выборка 10%- ая, то N (объем генеральной совокупности) равен 330 регионов.

 

Ошибка выборки для бесповторного отбора определяется по формуле:

 

Δ_X = t * M_X

 

Δ_X = t× = 2× =2× = 1.324 1.3

 

Пределы, за которые с доверительной вероятностью 0,954 не выйдет среднее значение числа предприятий региона, рассчитанное по генеральной совокупности:

 

X – Δ ≤ x ≤ X + Δ

 

X = 9.59 – 1.3 ≤ x ≤ 9.59 + 1.3

 

X = 8.29 ≤ x ≤ 10.89

 

Ошибка выборки для повторного отбора определяется по формуле:

 

Δ_X = t*M_X

Δ_X = t = 2× = 1.396

 

9.59 – 1.4 ≤ X ≤ 9.59+1.4

 

8.19 ≤ X ≤ 10.99

 

2. Для бесповторного отбора предельная ошибка средней величины числа предприятий регионов после снижения на 20%  составит:

 

Δ = 1,4– 20% = 1.12

 

Численность выборки находится по формуле:

 

n = = = 24.45 региона.

 

 

 

3. Выборочная доля w, или частность, определяется отношением числа единиц, обладающих изучаемым признаком m, к общему числу единиц выборочной совокупности n:

 

w = .

 

Доля регионов, у которых  индивидуальные значения признака (число  предприятий) превышает моду:

 

w =

 

w = = 0.485.

 

 

M_x = = = 0,082

 

или  w = = 0,303

 

M_x = = = 0.436

 

Пределы, за которые в  генеральной совокупности не выйдет доля регионов у которых индивидуальные значения признака (число предприятий) превышает моду:

 

w- M_x ≤ p ≤ w+ M_x

 

0.485-0.082 ≤ p ≤ 0.485+0.082

 

0.403 ≤ p ≤ 0.567

 

То есть доля регионов с заданным признаком в генеральной совокупности с доверительной вероятностью 0,997 составляет от 40.3% до 56.7%.

 

Предельная ошибка для доли при  повторном отборе рассчитывают по следующей  формуле:

 

Δ_w = t =3 = 0.209

 

Пределы, за которые в  генеральной совокупности не выйдет доля регионов, у которых индивидуальные значения признака (число предприятий) превышает моду:

 

w- Δ_w ≤ w ≤ w+Δ_w

0.485- 0.209 ≤ w ≤ 0.485+0.209

 

0.276 ≤ w ≤ 0.694

 

4. Для бесповторного отбора предельная ошибка доли предприятий после снижения на 20% составит: