Определим   максимальное   значение   модуля   разности   между эмпирической функцией распределения F*(t) и теоретической функцией для нормального закона распределения F(t) (значения F(t) представлены в табл.3.2): 
 
 
 

        
 

и определяем величину:                                                           

  

       Для признака x: 

                                                               

       Для признака y:

                                                                             
 

        Затем по таблице определяем  в зависимости от l вероятность Р(l), того что за счёт чисто случайных причин расхождение между F*(t) и F(t) будет не больше, чем фактически наблюдаемое.

      При сравнительно больших Р(l) теоретический закон распределения можно считать совместимым с опытными данными.                                                                       

РАЗДЕЛ 2.Исследование взаимосвязи двух количественных признаков

1. Оценка тесноты корреляционной  связи

    Из  логических соображений выдвинем предположение, что признак (названный нами y) зависит от второго исследуемого признака x.

    Используя проведенное в первом разделе разбиение значений x на интервалы, построим аналитическую таблицу:  

Аналитическая таблица исследования зависимости признака y от признака x

 
 
 

      Далее рассчитываем общую дисперсию:

        
 

где - среднее значение признака для всей выборки, и межгрупповую дисперсию: 
 
 
 

где - среднее значение признака в j-й группе; m_j- численность j-й группы; k - число групп.

      

       Для оценки тесноты  связи между признаками y и x рассчитываем корреляционное отношение: 
 

      Оценку  тесноты связи признаков y и x проводим по шкале Чеддока:

-если 0,3<h£0,5, то теснота связи заметная;

-если 0,5<h£0,7, то теснота связи умеренная;

-если 0,7<h£0,9, то теснота связи высокая;

-если 0,9<h£0,9(9), то теснота связи весьма высокая.

2. Определение формы связи двух  признаков

      Примерное представление о виде зависимости  y от x даёт линия, проведённая через точки, соответствующие групповым средним и полученные на основе аналитической таблицы следующим образом: среднему значению признака в j-ой группе ставится в соответствие не середина интервала группирования по признаку x, а среднее значение , полученное из соответствующих интервалу значений признака x. Можно воспользоваться следующим приемом: построим все точки, соответствующие парам (х_i;у_i), в декартовой системе координат и провести линию через середины скоплений точек (График № 1).

       Затем по справочнику плоских кривых и виду линии подбираем соответствующее уравнение регрессии. Однако не следует брать слишком сложное уравнение. В нашем случае берём линейную функцию:

                                                                                       
 

      Вычислив  частные производные и приравняв  их к нулю, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов а и b. В нашем случае система уравнений имеет вид:

 
 
 

Решая эту систему  уравнений относительно b, получим:

        
 

      Решая первое уравнение относительно а, получим:

                                      

                                                                           

                                    Т.о.:          

       Линейный коэффициент  корреляции равен:

где s_x и s_y - средние квадратические отклонения признаков x и y.

                                                                                    

       Рассчитаем общую  дисперсию: 

       и остаточную дисперсию: 

где y_x(х_i) - значение величины y, рассчитанное по уравнению регрессии при подстановке в него значения x_i; y_i- значение величины y в исходной таблице, соответствующее значению x_i.

 

      Определим индекс корреляции:

        

      Индекс  корреляции принимает значения 0£ i £1.

                                                                                           

     Т.к. i близок к единице, то связь между признаками хорошо описана выбранным   уравнением   регрессии.   Для   линейной   зависимости дополнительным условием для такого заключения является близость значений r и i.                                                           

      Можно выбрать несколько  видов уравнения регрессии. Наилучшим  из них будет то уравнение, которому соответствует меньшая средняя  квадратическая ошибка уравнения регрессии:

где m - число коэффициентов в уравнении регрессии.

                                                                                            

     Принимая  во внимание то, что мы имеем дело с малой выборкой, необходимо оценить  значимость коэффициентов уравнения  регрессии, а также индекса корреляции i и линейного коэффициента корреляции r. Значимость линейного коэффициента корреляции r оцениваем с помощью критерия Стьюдента. Фактическое значение критерия Стьюдента равно:

     

           
 

                                  

                                                                            

     Критическое (предельное) значение критерия Стьюдента  t_k, берем из табл.4 приложения, задаваясь уровнем значимости a=5,0 и имея число степеней свободы равное:

      k=n-2

     Если  t_r>t_k, то величину линейного коэффициента корреляции считаем значимой и можем использовать в расчетах.

      Значимость коэффициентов  уравнения регрессии а и b также оцениваем с помощью критерия Стьюдента. Расчетные значения критерия Стьюдента равны: 

       
 
 

     Учитывая, что число степеней свободы также равно k=n-2, сравнение фактических значений критерия Стьюдента ведем с уже найденным критическим значением t_k.

     Если  t_a>t_k, t_b>t_k, то соответствующий коэффициент уравнения регрессии значим, и мы можем им пользоваться. Значимость индекса корреляции определяем с помощью критерия Фишера. Фактическое значение критерия Фишера равно: 

где m - число коэффициентов в уравнении регрессии.

      Табличное значение критерия Фишера F_k; определяется по табл.5 приложения, задаваясь уравнением значимости a и числом степеней свободы k₁=m-l; k₂=n-m.

        

      Если  Fi>Fk, то величину индекса корреляции считаем значимой и можем ее использовать в расчетах.

     Если  коэффициенты а и b, а также линейный коэффициент корреляции r и индекс корреляции i значимы, то все наши расчеты и выводы, опирающиеся на эти величины, правомерны и мы можем использовать полученное уравнение  регрессии для прогноза. Ошибка прогноза будет зависеть, в частности, от остаточной дисперсии s²_e.

РАЗДЕЛ 3. ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ РЯДОВ

1.Изучение сезонных явлений

      Исследуем сезонные процессы в наших двух динамических рядах. При изучении сезонных явлений из уровней динамического ряда целесообразно вычесть значения, получаемые по уравнению тренда, которые отражают основную тенденцию развития.

       При изучении периодических процессов в качестве аналитической модели используем ряд Фурье: 
 

где k=1; j=1.

      Для нахождения коэффициентов a₀, a_j, b_j применяем метод наименьших квадратов.

       Получаем: 
 
 
 
 
 
 
 

      Для признака x:                                                        Для признака y:

        
 
 
 
 
 
 
 
 

      Обычно  для расчётов используют ежемесячные  данные за один год или несколько лет. В этом случае интервал между двумя соседними месяцами принимают равным: 

                                                                             

      Построив  модель сезонных колебаний, положим  для уточнённого изучения основной тенденции a₀ =0. Исключим сезонные колебания из уровней динамического ряда (табл.3.1.1).

Таблица 3.1.1