Исследование взаимосвязи социально-экономических явлений на основе рядов динамики

Основная сложность состоит в том, что, при наличии тренда за достаточно длительный период большая часть суммы квадратов отклонений связана с трендом. Если два признака имеют тренды с одинаковым направлением изменения уровней, то между уровнями этих признаков будет наблюдаться положительная ковариация. И в одном, и в другом ряду уровни более поздних лет будут либо больше, либо меньше уровней более ранних периодов. Коэффициент корреляции уровней окажется положительным. При разной направленности трендов ковариация уровней и коэффициент их корреляции окажутся отрицательными.¹⁰

Но ведь одинаковая направленность трендов вовсе не означает причинной зависимости. Например, рост производства ракет не причина происходившего в тот же период роста производства мяса. Гораздо вероятнее, что при отсутствии гонки производства ракетного оружия производство мяса росло бы значительно быстрее. А коэффициенты корреляции уровней высоки. Таким образом, не только, возникает масса «ложных корреляций», за которыми нет причинной зависимости, но искажаются (преувеличиваются или преуменьшаются) и те показатели корреляции, за которыми стоят реальные причинные зависимости.

 

 

Таблица 2

Корреляция  урожайности картофеля с себестоимостью

Годы	Урожайность, ц/га хi	Себестоимость, pyб/ц, yi	Отклонения от средних		D2 хi	D2 yi	D хiD yi	Тренды		Отклонения от трендов
			D хi	D yi
1977	108	11,8	-12	-7,2	144	51,84	+86,4	97	+11,7	+11	+0,1	121	0,01	+1,1
1978	81	15,4	-39	-3,6	1521	12,96	+140,4	101	12,9	-20	+2,5	400	6,25	-50,0
1979	106	13,0	-14	-6,0	196	36,00	+84,0	105	14,1	+1	-1,1	1	1,21	-1,1
1980	124	13,9	+4	-5,1	16	26,01	-20,4	108	15,3	+16	-1,4	256	1,96	-22,4
1981	103	15,1	-17	-3,9	289	15,21	+66,3	112	16,6	-9	-1,5	81	2,25	+13,5
1982	106	19,6	-14	+0,6	196	0,36	-8,4	116	17,8	-10	+1,8	100	3,24	-18,0
1983	149	16,2	+29	-2,8	841	7,84	-81,2	120	19,0	+29	-2,8	841	7,84	—81,2
1984	148	17,2	+28	-1,8	784	3,24	50,4	124	20Д	+24	-3,0	576	9,00	-72,0
1985	102	24,0	-18	+5,0	324	25,0	-90,00	128	21,4	-26	+2,6	676	6,76	-67,6
1986	130	22,4	+10	+3,4	100	11,56	+34,0	131	22,7	-1	-0,3	1	0,09	+0,3
1987	80	32,3	-40	+13,3	1600	176,89	-532,0	135	23,9	-55	+8,4	3025	70,56	-462,0
1988	139	24,7	+19	+5,7	361	32,49	+108,3	139	25,1	0	-0,4	0	0,16	0
1989	183	21,4	+63	+2,4	3969	5,76	+151,2	143	26,3	+40	-4,9	1600	24,01	-196,0
S	1559	247,0	-	-	10341	405,16	-111,8	1559	247,0	-	-	7678	133,34	-952,7

 

 

Рассмотрим таблицу 2. Корреляция уровней урожайности с уровнями себестоимости картофеля отсутствует: коэффициент корреляции равен -0,055, т. е. незначимо отличен от нуля. Но ведь на самом деле по законам экономики, при пространственной корреляции в совокупности хозяйств связь урожайности и себестоимости сильная, обратная.

Среднее значение урожайности по данным таблицы 2 составило х? = 119,92 ц/га, себестоимость у? = 19,0 руб./ц. Уравнения трендов урожайности х? = 119,9 + 3,81t, себестоимости у? = 19,0 + 1,22t, t = 0 в 1983 г.

Всесторонний экономический и статистико-математический анализ ситуации показывает, что причина отсутствия корреляции уровней в том, что оба признака имеют одинаково направленные тренды - возрастание урожайности происходило параллельно с возрастанием себестоимости, вовсе не являясь причиной последнего. Себестоимость росла из-за инфляции в стране, влияние которой оказалось сильнее, чем направленное на снижение себестоимости влияние роста урожайности. ¹¹

Если же рассматривать уровни признаков год за годом, легко заметить, что без исключений снижению урожайности в сравнении с предыдущим годом соответствовал рост себестоимости, а повышению урожайности - ее снижение, т.е. связь обратная, которая и должна быть. Следовательно, чтобы получить реальные показатели корреляции, необходимо абстрагироваться, от искажающего влияния трендов: вычислить отклонения уровней урожайности и себестоимости от трендов и измерить корреляцию не уровней, а колебаний двух признаков. Подставляя в формулу парного коэффициента корреляции вместо уровней признаков их отклонения от трендов и получаем:

   ₍₁₂₎

Однако среднее отклонение от тренда равно нулю (для прямой и параболы всегда, а для других типов тренда лишь в том случае, если правильно отражают тенденцию), = =0. Получим:

     ₍₁₃₎

Коэффициент регрессии для линейной зависимости принимает вид:

     (14)

Свободный член линейного уравнения регрессии

а = u?y = bu?x = 0.      (15)

Регрессионное уравнение отклонений от тренда имеет вид:

u?y = bu?x      (16)

По данным таблицы 2 коэффициент корреляции уровней урожайности и себестоимости

Прямая связь одинаково направленных трендов почти полностью компенсировала обратную связь между колебаниями признаков. Из 13 произведений D_xiD_yi семь положительны. Прежде всего, в начале и в конце ряда, где сильнее всего сказались тренды. Если бы не страшный неурожай в 1987 г., вызвавший огромные отклонения уровней, коэффициент корреляции был бы даже положителен.

Напротив, корреляция отклонений от трендов дает результат, соответствующий экономическому содержанию связи урожайности с себестоимостью. Коэффициент корреляции отклонений от трендов составил:

Коэффициент детерминации равен 0,88, или 88% колебаний себестоимости картофеля связаны с колебаниями урожайности. Положительны лишь три произведения отклонения , притом наименьшие.

Коэффициент регрессии:

Уравнение регрессии:

Это означает, что в среднем за период отклонение себестоимости от тренда было противоположно по знаку и составляло 0,124 отклонения урожайности от своего тренда. Если, например, урожайность в 1993 г. окажется на 20 ц/га ниже уровня тренда для этого года, составляющего 119,9 +3,81·10 = 158 ц/га, то себестоимость надо ожидать на -20(- 0,124) = 2,48 руб. за 1 ц выше уровня тренда, который для 1993 г. равен 31,2 руб. за 1 ц, т.е., учитывая и тренды, и предполагаемый плохой урожай в 1993 г., себестоимость картофеля составила бы 31,2 + 2,48 = 33,66 руб./ц. Естественно, что этот прогноз всего лишь пример, как пользоваться уравнением регрессии отклонений от тренда.

Данные таблицы 2 позволяют сделать интересное заключение о различии характера динамики признаков. Если из общей дисперсии (суммы квадратов отклонений от среднего уровня) урожайности 10341 большую часть составляет дисперсия за счет колеблемости 7678, то для себестоимости преобладающим моментом общей дисперсии, равной 405,16, является не колеблемость, дающая только 133,34, а тренд; это эффект скрытой инфляции до 1989 г.

Другим приемом измерения корреляции в рядах динамики может служить корреляция между теми из цепных показателей рядов, которые являются константами их трендов. При линейных трендах - это цепные абсолютные приросты. Вычислив их по исходным рядам динамики, находим коэффициент корреляции между абсолютными изменениями по формуле (9.52) или, что более точно, по формуле (9.51), так как средние изменения не равны нулю в отличие от средних отклонений от трендов. Допустимость данного способа основана на том, что разность между соседними уровнями в основном состоит из колебаний, а доля тренда в них невелика, следовательно, искажение корреляции от тренда очень большое при кумулятивном эффекте на протяжении длительного периода, весьма мало - за каждый год в отдельности. Однако нужно помнить, что это справедливо лишь для рядов с с-показателем, существенно меньшим единицы. В нашем примере для ряда урожайности показатель равен 0,144, для себестоимости он равен 0,350. Коэффициент корреляции цепных абсолютных изменений составил 0,928, что очень близко к коэффициенту корреляции отклонений от трендов.¹²

Для рядов с тенденцией, близкой к экспоненте, следует рекомендовать корреляцию цепных темпов роста. Вычисление корреляции рядов динамики по цепным показателям не требует предварительного вычисления трендов, но все же желательно иметь о характере тенденции приближенное представление. Для параболических трендов с не очень большими ускорениями можно коррелировать цепные абсолютные изменения; при больших ускорениях лучше их не коррелировать. Если коррелируемые ряды имеют разные типы тенденций, вполне допустимо коррелировать соответствующие разные цепные показатели: абсолютные изменения в одном ряду с темпами изменений в другом и т. д.¹³

К сожалению, все вышеизложенные приемы по существу решают только задачу измерения связи между колебаниями признаков, а не между тенденциями их изменений. Насколько допустимо переносить выводы о тесноте связи между колебаниями на связь динамических рядов в целом, зависит от материального, качественного содержания процесса и причинного механизма связи. Это проблема, выходящая далеко за пределы статистической науки. Если колебания урожайности являются на самом деле следствиями колебания суммы осадков за лето, т. е. корреляция именно колебаний отвечает сущности причинной связи, то, например, причинную связь между дозой удобрений и урожайностью нельзя свести к зависимости только между колебаниями. Здесь главное - причинная связь тенденций, а ее измерять мы так и не научились.

 

3. Оценка автокорреляции  в уровнях ряда динамики.

 

В значительной части рядов динамики экономических  процессов между уровнями, особенно близко расположенными, существует взаимосвязь. Ее удобно представить в виде корреляционной зависимости между рядами у₁, у₂, у₃,..., y_n и этим же рядом, сдвинутым относительно первоначального положения на h моментов времени y_1+h, y_2+h, y_3+h,…, y_h+h Временное смещение называется сдвигом, а само явление взаимосвязи — автокорреляцией.

Автокорреляционная  зависимость особенно существенна  между соседними уровнями ряда динамики. Поскольку классические методы математической статистики применимы лишь в случае независимости отдельных членов ряда друг от друга, то при анализе взаимосвязанных рядов динамики важно установить наличие и степень их автокорреляции.¹⁴

Различаются два вида автокорреляции:

• автокорреляция в наблюдениях за одной или более переменными;
• автокорреляция ошибок или автокорреляция в отклонениях от тренда.

Наличие последней приводит к искажению  величин среднеквадратических ошибок коэффициентов регрессии, что затрудняет построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии, а  также проверку их значимости.

Автокорреляцию  измеряют при помощи нециклического коэффициента автокорреляции, который может рассчитываться не только между соседними уровнями, т.е. сдвинутыми на один период, но и между сдвинутыми на любое число единиц времени (L). Этот сдвиг, именуемый временным лагом, определяет и порядок коэффициентов автокорреляции. Различают коэффициенты автокорреляции первого порядка (при L= 1), второго порядка (при L = 2) и т.д. Однако наибольший интерес для исследования представляет вычисление нециклического коэффициента первого порядка, так как наиболее сильные искажения результатов анализа возникают при корреляции между исходными уровнями ряда (у_t) и теми же уровнями, сдвинутыми на одну единицу времени, т.е. у_t-1 (или у_t+1).

Тогда формулу  коэффициента автокорреляции можно  записать следующим образом:

_{,    (17)}

где и — среднеквадратические отклонения рядов у_t, и у_t+1 соответственно.

Для суждения о наличии или отсутствии автокорреляции в исследуемом ряду фактическое значение коэффициентов автокорреляции сопоставляется с табличным (критическим) для 5%-ного или 1%-ного уровня значимости (вероятности допустить ошибку при принятии нулевой гипотезы о независимости уровней ряда).¹⁵

Одна  из специальных таблиц, в которой  определена критическая область проверяемой гипотезы (об отсутствии автокорреляции), составленная Р. Андерсеном в 1942 г., приводится таблице 3.

Если  фактическое значение коэффициента автокорреляции меньше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду может быть принята. Когда фактическое значение больше табличного, можно сделать вывод о наличии автокорреляции в ряду динамики.

Для уменьшения автокорреляции применяют различные методы. Почти все они преследуют цель исключения основной тенденции (тренда) из первоначальных данных.

 

 

Таблица 3.

Объем выборки	Положительные значения		Отрицательные значения
	5%-ный уровень	1%-ный уровень	5%-ный уровень	1%-ный уровень
5	0,253	0,297	-0,753	-0,798
6	0,345	0,447	- 0,708	- 0,863
7	0,370	0,510	- 0,674	- 0,799
8	0,371	0,531	- 0,625	-0,764
9	0,366	0,533	- 0,593	- 0,737
10	0,360	0,525	-0,564	- 0,705
11	0,353	0,125	- 0,539	- 0,679
12	0,348	0,505	-0,516	-0,655
13	0,341	0,495	- 0,497	- 0,634
14	0,335	0,485	-0,479	-0,615
15	0,328	0,475	- 0,462	- 0,597
20	0,299	0,432	- 0,399	-0,524