Разработка квазиоптимальной по критерию минимума вероятности ошибки системы связи

 

   Код Хэмминга, как и все линейные коды, обладает следующими свойствами:

   1. Произведение любого кодового  слова  на транспонированную проверочную матрицу дает нулевой вектор размерности (n-k):  

   2. Произведение некоторого кодового  слова  , т.е. с ошибкой, на транспонированную проверочную матрицу называется синдромом и обозначается S_i(x):  

   3. Между порождающей и проверочной  матрицами в систематическом  виде существует однозначное  соответствие, а именно:  

   4. Произведение информационного слова  на порождающую матрицу дает  кодовое слово кода.

   Если  столбцы проверочной матрицы  представляют упорядоченную запись десятичных чисел, т.е. 1,2,3... в двоичной форме, то вычисленный синдром  
однозначно указывает на номер позиции искаженного символа. Например, для (7,4)-кода Хэмминга проверочная матрица в упорядоченном виде имеет вид:  
 
Пусть переданное кодовое слово ,а принятое слово - .  
Синдром, соответствующий принятому слову будет равен  
 
Вычисленный синдром указывает на ошибку в пятой позиции.

   Элементы  синдрома определяются из выражений: 

    . 

   Проверочные уравнения служат основой построения алгоритма работы кодера, а синдромные – декодера кода Хэмминга. 
 

     

   Рисунок 7.1 - Структурная схема кодирующего устройства для (7,4) кода. 

   Кодирующее  устройство для получения (7,4) кода состоит  из 7-разрядного регистра сдвига и 3 сумматоров по модулю 2. Регистр содержит две  части: информационную и проверочную. Каждый сумматор служит для формирования проверочного символа, находящегося на определённой позиции. Подключение  информационных ячеек регистра к  соответствующим сумматорам выполняется  по правилам построения данного кода. После формирования вывод кодовой  комбинации осуществляется подачей  тактовых импульсов (импульсов сдвига) от генератора тактовых импульсов (ГТИ). После 7 тактовых импульсов кодовая  комбинация окажется выведенной из регистра.

   Декодирующее  устройство состоит из 7 триггерных ячеек, 3 сумматоров по модулю 2 и анализатора ошибок. Если в принятой кодовой комбинации ошибок нет, то на выходе всех сумматоров формируются символы, соответствующие нулю. Если в принятой комбинации имеются ошибочные символы, то на выходе некоторых сумматоров появятся символы, соответствующие единице. В этом случае анализатор ошибок выработает сигнал «ошибка». 

   

   Рисунок 7.2 - Структурная схема декодирующего устройства для (7,4) кода 

   В данном случае мы повысили помехоустойчивость системы за счёт увеличения избыточности кода.

   

   и

   

,

   где - вероятность ошибочного приёма символа в кодированной последовательности.

   Для нашего случая k=8, n=14. 

   0,058306

. 

   Для ФМн .

   Таблица 12.2 – Зависимость p_ош от h линейного группового кода Хэмминга

 

   

   Рисунок 7.3 – Сравнение зависимости вероятности ошибки от h кода с проверкой на чётность и линейного группового кода Хэмминга  
 

   8. Провести анализ (аналитически, структурно- графически)  качественных показателей разрабатываемой системы передачи информации Р_ош=f(с/ш) ( в том числе модулятора-демодулятора, кодера-декодера). 

   Пусть по гауссовскому каналу передаётся цифровая информация с помощью безызбыточного кода, содержащего k информационных разрядов с длительностью символов, равной τ₀. Вероятность ошибочного приёма символов в этом случае определяется выражением: 

   

. 

   Применение  корректирующего кода означает увеличение избыточности в используемых комбинациях. Допустим, что теперь каждая кодовая  комбинация состоит из n символов. Здесь, в свою очередь, возможны два случая:1)увеличение n производится при сохранении прежней длительности кодовой комбинации (τ = kτ₀=const); 2) увеличение n производится при сохранении прежней длительности (τ₀=const). При этом: 

   

   и

   

,

   где - вероятность ошибочного приёма символа в кодированной последовательности.

   Для нашего случая k=8, n=9. 

   0,058306

. 

   Для ФМн .

   Таблица 8.1 – Зависимость p_ош от параметра h

 
 

   

   Рисунок 8.1 – Зависимость p_ош от h при оптимальном когерентном приёме сигналов с постоянными параметрами

   (кодер  – модулятор – демодулятор  - декодер) 

   На  рисунке представлены графики вероятности  ошибочного приёма сигнала с постоянными  параметрами в системе  модулятор  – демодулятор (пунктирная линия) и  в системе кодер – модулятор  – демодулятор – декодер (сплошная линия). Как видно по графикам применения кодирования улучают качественные показатели, в частности помехоустойчивость системы.  
 
 

   9 Анализ  качественных показателей разработанной системы передачи информации (модулятора – демодулятора)

   Как видно из рис. 6.5, приемное устройство состоит из двух частей, первая из которых (обведена пунктиром) по существу представляет собой устройство оптимального приема противоположных сигналов. Тогда вероятность ошибочного приема может быть легко определена из следующих соображений. Ошибочная регистрация сигнала в схеме рис. 4.5 будет происходить в любом из двух возможных случаев: а) ошибочно определена начальная фаза предыдущего элементарного сигнала (ошибочно принят сигнал в системе с ФМ), в то время как начальная фаза последующего определена верно; б) ошибка происходит при приеме второго элементарного сигнала, а первый принят верно. Вероятность каждого из этих несовместимых событий равна где - вероятность ошибочного приема сигналов с ФМ. Тогда искомая вероятность ошибочного приема сигналов с ОФМ равна:

   

   _{При относительно фазовой  модуляции это  выражение принимает  вид:}

    .

   Вероятность ошибки приёма отдельных посылок  сигнала для разных видов манипуляции  определяется выражением:

   

,

   где γ_с – постоянный коэффициент, который для амплитудной манипуляции равен , для частотной - , для фазовой - .

   Соответственно  вероятность ошибки для разных видах манипуляции и оптимальном приёме определяется выражениями:

   

 для АМн,

   

 для ЧМн,

   

 для ФМн.

   Таблица 9.1 – Зависимость вероятности ошибки от h

   Из  полученной таблице видно, что при  ОФМ сигнала процесс передачи-приёма отличается высокой помехоустойчивостью  по сравнению с другими видами модуляции. Но при этом ширина спектра  у фазоманипулированного сигнала  будет шире. Поэтому реализация такого приёма отличается повышенными требованиями к демодулятору с точки зрения технической реализации, что, свою очередь, влечёт повышенные материальные затраты.   

    

   Рисунок 9.1 – Зависимость вероятности ошибки от h при амплитудной, частотной и фазовой манипуляции на участке модулятор – демодулятор при оптимальном когерентном приёме сигнала с постоянными параметрами

   9.1 Информационные параметры 

   Важнейшим показателем работы системы связи  является скорость передачи информации.

   Ru=log₂m/Tu

   Fg=2∆F

   Fg=2∙20∙10³=40∙10³            Fg>2F- подбирает кратную частоту.

   Tu=1/Fg log₂m

   

   

   Пропускная  способность:

   С=(1/τ_u) [log₂m+p log₂ p/(m-1)+(1-p)log₂(1-p)]

   Где:  m-количество дискретных сигналов

            Р- вероятность ошибки сигналов канала

            τ_u- длительность единичного импульса.

   С=(1/0.72∙10^-5) [log₂128+0.251log₂0.251/128-1+(1-0.251)log₂(1-0.251)]=6.16∙10³(бит/сек)

   Информационная  эффективность:

   n= Ru/C

   n= 97·10³/6.16∙10³

   n=15.75 
 
 

      10 Расчет энергетического баланса системы 

      Проанализируем  прохождение передаваемого сообщения  от источника к получателю.

Для этого  рассмотрим прохождение сигнала  на различных этапах в разрабатываемой  системе связи.

      Произведем  необходимый расчет. Определим мощность сигнала на входе. 

   

 

   

Вт 

   Определим мощность сигнала на выходе модулятора. При этом необходимо учесть, что  коэффициент передачи на резонансной  частоте - коэффициент усиления. Определим  коэффициент усиления : 

   

 

   Мощность  сигнала на выходе модулятора:

   

   Определим минимальную чувствительность демодулятора, при которой обеспечивается заданная вероятность ошибки приема.

   

   Определим ослабление в канале связи, учитывая минимальную чувствительность демодулятора и мощность сигнала на выходе модулятора.