Разработка квазиоптимальной по критерию минимума вероятности ошибки системы связи

Длительность единичного элемента  кодовой  комбинации  ИКМ  равна  сумме длительностей информационных элементов кодовой комбинации,

следовательно, (с)

 

  4.2 Характеристики источника  независимых двоичных сообщений

 

Вероятность появления символа «1»  p(1)=0,001+0,01=0,011. Следовательно,  вероятность появления символа «0»  p(0)=1-p(1)=0,989

Среднее значения (математическое ожидание) количества информации, приходящееся на одно элементарное сообщение, называется энтропией источника сообщений.

Энтропия источника определяется распределением вероятностей выбора элементарных сообщений из общей совокупности. Обычно отмечают, что энтропия характеризует  источник с точки зрения неопределённости выбора того или иного сообщения. Энтропия всегда величина вещественная, ограниченная и не отрицательная:

Найдём энтропию источника сообщений:

Определённые элементы сообщения  на входе источника появляются через  некоторые интервалы времени, что  позволяет говорить о длительности элементов сообщения и, следовательно, о производительности источника сообщений. Если средняя длительность одного элемента сообщения равна то производительность источника, равная среднему количеству информации, передаваемой в единицу времени, определяется выражением:

Воспользуемся одной формулой для  вычисления производительности источника.

(бит/с)

Энтропия источника максимальна, когда все символы источника 

равновероятны, т.е. .

Производительность источника  сообщений:

,

где U_u- скорость источника;

Т_ср- средняя длительность одного символа.

 

(бит/с)

Избыточность источника сообщений  оценивается коэффициентом избыточности:

Количество информации, содержащееся в кодовой комбинации:

где количество информации в одном символе кодовой комбинации, следовательно:

Количество информации, содержащееся в кодовой комбинации :

(бит),

Количество информации, содержащееся в кодовой комбинации :

(бит),

Способы повышения  энтропии источника с использованием неравномерного кода позволяет снизить  избыточность, вызванной не равной вероятностью сообщений, тогда как  укрупнения алфавита источника снижает  избыточность, вызванную зависимостью между сообщениями

 

4.3 Определение  величины параметра h²

 

Необходимо  определить величину параметра  h² - отношение сигнал/шум на входе детектора, при которой достигается вероятность ошибки Р_ош=2·10^-5, если помеху воздействующую на сигнал, считать «белым шумом» со спектральной плотностью мощности G₀=10^-6B²/Гц.

 

В общем  случае вероятность ошибки для АМ определяется следующим выражением:

Тогда

Go – спектральная плотность мощности помехи, В² с

Для получения вероятности ошибки P_ОШ = 10^-6 , необходимо, чтобы величина h² =31,8096

h² = E/Go;

 

E – энергия сигналов S₁(t) и S₀(t), B²c;

 

4.4 Теорема  Шеннона для пропускной способности  канала связи

 

Если канал  связи с шумами обладает пропускной способностью С, а производительность источника определяется величиной H’ такой, что H’ меньше или равно C, то возможно такое кодирование, которое обеспечивает передачу сообщений по этому каналу со сколь угодно малыми ошибками и со скоростью, сколь угодно близкой к величине С.

Важность  теоремы состоит в том, что  она утверждает принципиальную возможность безошибочной передачи сообщений по каналам, в которых действуют аддитивные помехи. Это означает, что ошибки, вызванные действием таких помех в канале, могут быть устранены с помощью кодирования.

Одну и  ту же пропускную способность можно  получить при разных значениях полосы пропускания канала ∆f_c и отношения сигнала к шуму в канале h²=Рс/Рш, т. е. возможен обмен между полосой пропускания канала и отношением сигнала к шуму в нем. Такая возможность означает, что одно и то же количество информации можно передавать по разным каналам с одинаковой скоростью.

 Если  производительность источника Н_ист(А), меньше пропускной способности канала С‚ т.е.

                                                      Н_ист(А)<С‚          

 

то существует способ кодирования (преобразования сообщения  в сигнал на входе) и декодирования (преобразования сигнала в сообщение на выходе канала)‚ при котором вероятность ошибочного декодирования может быть сколь угодно мала. Если же  Н_ист(А)≥С‚ то таких способов не существует.

Пропускная  способность для непрерывного, без  памяти, канала связи с аддитивным белым шумом:

 

где F_k — ширина полосы частот, занимаемой каналом (ширина спектра сигнала); P_ш=No∆fc,—средняя мощность шума в полосе частот F_k; No—спектральная плотность белого шума.

F_k=(2…3)/T_такт

F_k==128205,13

Рш=G₀·Fк=128205,13·10^-6=0,128

Р_с=31,8096·10^-6/15,6·10^-6=2,039

 

Подставляя  исходные данные в формулу пропускной способности канала связи‚ получаем:

С=128205,13·log₂(1+ )=285640.339=0.285·10⁶ бит/с

 

Так как выполняется  условие Н_ист(А)<C, то можно утверждать, что существует способ кодирования (преобразования сообщения в сигнал на входе) и декодирования (преобразования сигнала в сообщение на выходе канала), при котором вероятность ошибочного декодирования может быть сколь угодно мала.

При увеличении полосы частот канала ΔFк‚ пропускная способность канала стремится к пределу:

 

 

 

тогда:

из этой формулы  следует‚ что потенциальная пропускная способность равна

 

Таким образом, столь большая разница между производительностью источника Н_ист(А) в целом предопределяет низкую эффективность системы связи и подтверждает неравенство Шеннона: Н_ист(А)<C, это мы доказали, рассчитав пропускную способность канала связи и сравнив ее с рассчитанной в предыдущих пунктах с производительностью  источника информации.

 

 

 

 

 

 

 

Задание 5. Разработать алгоритм (аналитически) и соответствующую структурную схему дискретно-аналогового модулятора.

 

Модуляция –  это процесс изменения каких-либо параметров несущего колебания: амплитуды, частоты или фазы. Значения модуляции  параметров на интервале времени, равном периоду несущего колебания, при  этом практически не изменяются.

При амплитудной  модуляции амплитуда несущего колебания  А₀ изменяется пропорционально мгновенным значениям амплитуды модулирующего сигнала U_м(t). Для математического описания АМ сигнала вводится понятие коэффициента модуляции M, означающее относительное значение приращения амплитуды несущей. M может изменяться в пределах 0≤M≤1.

Таким образом, аналитическое выражение АМ сигнала  записывается в виде:

Из аналитического выражения АМ сигнала следует, что  для его формирования необходимо перемножить несущее U_H(t) и исходное колебания b(t). Практически перемножение сигналов осуществляется путём подачи напряжения несущей и модулирующего напряжения на электрод активного нелинейного элемента в схеме амплитудного модулятора. Составляющие АМ сигнала выделяются избирательной цепью.

Рисунок 5.1 – Структурная схема амплитудного модулятора

В нашем случае амплитудный модулятор  следует выполнить на транзисторе, напряжение несущего колебания и  модулирующего сигнала подать на базу. Амплитуда несущего колебания  должна намного превышать амплитуду  модулирующего сигнала. Контур схемы, выполняющий роль фильтра, следует  настроить на частоту несущего колебания  ω₀. Полоса пропускания фильтра соответствует ширине спектра АМ сигнала. Схемная реализация амплитудного модулятора с транзистором в качестве нелинейного элемента показана на рисунке 5.2.

Для оценки качества работы модулятора с точки зрения вносимых искажений, используют статическую модуляционную  характеристику (рисунок 5.3). Для исключения нелинейных искажений необходимо использовать только линейный участок модуляционной характеристики на отрезке от Umin до Umax, но желательно обеспечить запас линейности. В этом случае не будет превышена заданная вероятность ошибки. Если линейность на заданном участке не будет обеспечена, то будет превышена допустимая вероятность ошибки P_ош.

 

Рисунок 5.2 – Принципиальная схема модулятора

Рисунок 5.3 – Статическая модуляционная характеристика модулятора

 

Дискретная модуляция является частным случаем модуляции гармонической несущей, когда модулирующий сигнал дискретный. Таким дискретным модулирующим сигналом обычно является первичный сигнал, отображающий символы кодовых комбинаций дискретных сообщений. В этом случае имеет место амплитудная манипуляция.

В модуляторе синхронная двоичная последовательность биполярных импульсов b(t) осуществляет модуляцию гармонического переносчика U_mcos(2πf₀t), (U_m=1 В, f₀= 100V_n, где V_n – число двоичных символов, выдаваемых кодером в единицу времени).

V_n = 1/Т_такт = 1/0,25∙10^–6= 40000 бит/с.

f₀ = 100·V_n = 4·10⁶ Гц.

При АМ «0» соответствует сигнал U₀(t)=0, символу «1» – U₁(t)=U_mcos(2πf₀t).

Аналитическое выражение модулированного  сигнала U(t)=φ(b(t)).

 

 

 

 

 

 

Диаграммы сигналов при амплитудной модуляции.

 

Во временной области

В частотной области

 

В результате амплитудной модуляции во временной области цифровой сигнал заполняется высокочастотным колебанием, что в свою очередь повышает помехоустойчивость передаваемого сообщения.

 

Таким образом, спектр радиочастотного колебания  при амплитудной модуляции гармоническим  колебанием состоит из трех составляющих: нижней боковой, несущей и верхней  боковой гармоник. Видно, что амплитуды  боковых составляющих зависят от коэффициента модуляции М.

 

Главное преимущество балансной АМ — полное подавление несущей частоты. Вся мощность передатчика  идет на излучение информационных составляющих. Как и в случае с АМ, спектр радиосигнала с балансной АМ симметричен относительно несущей частоты. Ширина спектра радиосигнала с балансной АМ равна удвоенной верхней частоте модулирующего сигнала.

 

Задание 6.Разработать алгоритм (аналитически) и соответствующую структурную схему дискретно-аналогового демодулятора.

Оптимальный приём сигналов — область радиотехники (конкретнее - теории обнаружения и  обработки сигналов), в которой  обработка принимаемых сигналов осуществляется на основе методов математической статистики. Применение статистических подходов оправдано тем, что в  реальной жизни принимаемый полезный сигнал (например, радиолокационный импульс, отраженный от цели) как правило, искажен  случайным шумом (помехой), а также  влиянием среды распространения. Причем зачастую мощность полезного сигнала  оказывается существенно меньше мощности мешающих шумов. Оптимальный  приемник позволяет обнаруживать подобные сигналы, различать сигналы, а также  измерять их параметры, исходя из каких-либо заранее выбранных критериев  оптимальности и моделей сигналов и шумов. Классический пример оптимального приемника - приемник точно известного (детерминированного) сигнала на фоне белого гауссовского шума.

           Сущность оптимального приема  состоит в том, что в приемнике  необходимо применить такую обработку  смеси сигнала с помехой, чтобы  обеспечить выполнение заданного  критерия. Эта совокупность правил  обработки в приемнике носит  название алгоритма оптимального  приема заданного сигнала на  фоне помех. Алгоритм находят  статистическими методами, зная  параметры передаваемых сигналов  и вероятностные характеристики  помех.

Постановка  задачи:

1. Заданными  считаются: характеристики источников  сообщений при необходимости  всех предварительных преобразующих  и кодирующих устройств.

2. Процедуры  формирования модулированных сигналов, спектральные, временные характеристики  сигналов.

3. Характеристики  линии связи.