Разработка квазиоптимальной по критерию минимума вероятности ошибки системы связи

Рисунок 1.7 Структурная схема приемника дискретных сообщений

 

На основании уравнений записывается система уравнений системы связи  в аналитической форме:

На основании полученного математического  описания строится структурная схема  системы передачи сообщений.

 

Рисунок 1.8 Структурная схема системы цифровой передачи непрерывных сообщений с АМ

 

Источник  сигнала включает в себя источник сообщений и преобразователь  сообщения s (t) в первичный сигнал b(t). Первичный сигнал подвергается кодированию (экономному и/или помехоустойчивому) в кодере, после чего сигнал b_ц(t), называемый цифровым, поступает в модулятор (передатчик), вырабатывающий сигнал u(t), приспособленный по своим характеристикам для передачи по линии связи ЛС. В линии связи происходит искажение сигнала и его взаимодействие с помехой h(t), в результате чего на вход демодулятора (приемника) поступает наблюдаемое колебание z(t). Демодулятор выполняет функцию, обратную модуляции, поэтому на его выходе должен быть выбран в идеальном случае сигнал b_ц(t). Однако вследствие воздействия помех результат демодуляции b’_ц(t) будет отличаться в общем случае от сигнала b_ц(t), поэтому результат декодирования b’(t) также не совпадает с первичным сигналом b(t).

 

 

      Задание 2 Предполагая, что передаваемый информационный сигнал является аналоговым с шириной спектра ΔF=3,4кГц,необходимо провести аналитическое, структурное и графическое описание преобразования, которым он подвергается в АЦП при переходе к первичному цифровому сигналу ИКМ.

В ИКМ аналоговый первичный сигнал подвергается преобразованию в цифровую форму с помощью трёх операций: дискретизации во времени (выборка значений аналогового сигнала с интервалом )‚ квантования по амплитуде (выборочное значение аналогового сигнала заменяется ближайшим значением уровня квантования) и кодирования (значение уровня квантования преобразуется в двоичное число).

Таким образом‚ АЦП ИКМ должен содержать дискретизатор‚ квантователь и кодирующее устройство:

 

Рисунок 2.1 Аналогово-цифровой преобразователь ИКМ.

 

Математическое описание процессов, которым подвергается сигнал в АЦП может быть представлено в виде следующей системы уравнений:

 

 

где b_Д(t) – дискретизированный сигнал; k – отсчет аналогового сигнала;  f_m – верхняя частота спектра сигнала; Δt – интервал дискретизации; b_k(t) – квантованный сигнал; N(t_k) – число квантов; t_k – шаг квантования; σ(t– t_k) – единичная функция; b_ц(t) – цифровой сигнал; n – значение амплитуды квантованного сигнала данного кванта.

 

Преобразование  сигналов в АЦП будет рассмотрено на примере 2 отсчетов: U_отсч.п = 50; U_отсч.о = –25; квантование равномерное; шаг квантования Δ = 2 у.е.; ∆F=10 кГц; N=128 – уровня квантования.

Необходимо определить форму исходного  сигнала. Так как сигнал представляется случайной функцией, определим плотность вероятности мгновенных значений сообщения s(t). Проведя замену s(t)= а(t), определяется аналитическое выражение одномерной плотности вероятности мгновенных значений сообщения а(t).

 

где a_max=U_отсч.п = 50; a_min=U_отсч.о = –25.

 

Так как функция р(а) имеет смысл для случайных а непрерывного типа, могущих принимать любое значение в некотором интервале, при любом характере функции р(а) должно выполняться равенство:

 

 

Из условия нормировки функции  плотности вероятности получаем:

 

 

В результате

 

Строим график одномерной плотности  вероятности мгновенных значений сообщения  а(t):

 

Рисунок 2.2 Одномерная плотность вероятности

мгновенных значений сообщения а(t)

 

Математическое ожидание

Дисперсия

Среднеквадратичное отклонение

 

График аналогового сигнала  с обозначенными максимальным значением сигнала, математическим ожиданием и среднеквадратичным отклонением:

Рисунок 2.3 Первичный аналоговый сигнал

Далее проводится дискретизация  сигнала с интервалом дискретизации:

T=1/2∆F=1/2*3,4=0,147мс.

 

Рисунок 2.4 Дискретизированный во времени сигнал

 

Далее используя выражение (2.1) проводится квантование сигнала с шагом  квантования Δ = 2у.е.

Рисунок 2.5 Квантованный во времени сигнал

 

Следующим этапом является кодирование  сигнала. Требуемое число символов (импульсов и пауз) n в одной кодовой группе зависит от общего числа квантовых уровней (ступеней) N=128.

Так как каждая ячейка в группе может быть использована для передачи либо импульса, либо паузы, то при числе  ячеек n число различных комбинаций равно 2ⁿ. Таким образом, получается условие N=2ⁿ, откуда:

n = log₂N

В нашем случае получаем:

n = log₂128=7

То есть кодовые группы содержат по семь ячеек. Заполнение каждой ячейки импульсом или паузой может быть определено путем перевода числа, выражающего  величину выборки в десятичной системе  счисления, в число, выраженное в  двоичной системе счисления, с помощью  нулей (паузы) и единиц (импульсы).

Рисунок 2.6 Цифровой сигнал на выходе АЦП

 

На рис. 2.6 изображены кодовые комбинации заданных отсчетов в цифровом ИКМ сигнале, что соответствует 7 – разрядному коду, плюс еще один разряд, обозначающий знак отчета (1-положительный, 0-отрицатеьный). На временной оси восьмиразрядный код b(t) представляется различными комбинациями из восьми импульсов и пауз. Каждый из этих импульсов на одном интервале дискретизации в соответствии с занимаемой позицией, отвечающей разряду имеет множитель 1 или 0. Наличие на данном интервале дискретизации импульсов с тем или иным множителем определяет уровень квантования. При кодировании значений напряжения получаем двоичные коды. Для построения кодов с проверкой на чётность необходимо добавить к кодовым комбинациям по одной позиции и заполнить её символом 0 или 1 по правилу чётности числа единиц.

 

Рисунок 2.7 Дискретизация простейшего однополярного сигнала на 2⁷=128 уровня в частотной области.

 

 

С учётом использования кода с проверкой  на чётность кодовые комбинации примут вид:

		Двоичный код, соответствующий
	11	10100010
	7	10010010
	11	10101000
	6	10001000
	10	10010010
	18	10010100
	22	10010000
	26	10000110

 

Таблица, представляющая результат  оцифровки исходного аналогового  сообщения, учитывая полярность напряжения и проверку на чётность.

 

Задание 3. Описать аналитически, структурно, в расчетно-графическом виде процесс  помехоустойчивого кодирования, если используется код с проверкой  на четность и составить структурную  схему кодера.

Код с проверкой на четность –  это систематический код, в котором  операция кодирования и декодирования  проводятся как проверка на чётность.

 

Рисунок 3.1 Схема контроля четности

 

Кодовое расстояние для этого слова d₀=2. При этом код всегда обнаруживает однократные ошибки. Разрешенная комбинация этого кода при любом числе информационных символов имеет всего один проверочный. Обычно его ставят в конце после информационных.

Значение проверочного символа  в разряде выбирается из условия, что общее число единиц в образованной таким образом разрешенной кодовой  комбинацией было бы четным, т.е. сумма  по модулю для всех символов кодовой  комбинации равнялась нулю.

Если разряды кодовых комбинаций пронумеровать справа налево и символы в этих разрядах обозначить для безызбыточного кода a₁, а₂, а_k, а для корректирующего b₁, b₂, … b_k+1, то описанная выше процедура формирования кодовой последовательности запишется в виде:

 

 

Первое равенство означает, что  информационные символы при кодировании  не изменяются, второе описывает правило  формирования проверочного символа  и определяет контрольную сумму  этого кода как результат проверки кодовой комбинации на четность.

При любой однократной ошибке передачи последнее условие нарушается и  тем самым выявляется ошибка.

Простейшим примером кода с проверкой  на четность является код Бодо, в  котором к пятизначным комбинациям  информационных символов добавляется  шестой контрольный символ: 110011; 100010. Правило вычисления контрольного символа  находится как:

,

откуда вытекает, что  для любой комбинации сумма всех символов по модулю два будет равна нулю.

Для нашего случая:

		Двоичный код, соответствующий	с проверкой на чётность
	11	10100010	101000101
	7	10010010	100100101
	11	10101000	101010001
	6	10001000	100010000
	10	10010010	100100101
	18	10010100	100101001
	22	10010000	100100000
	26	10000110	100001101

Информационные символы  u поступают на вход регистра сдвига, имеющего k разрядов. На выходах сумматоров образуется кодовые символы a_i(1)  и a_i(2)  соответственно. Процесс кодирования описывается уравнением: a_i(1) = u_k(t) ∙ F

Рисунок 3.2 Структурная схема кодера с проверкой на четность (код Бодо)

 

Декодер линейного кода

 

Декодер линейного кода (рис. 3.3) состоит из k – разрядного сдвигающего регистра, (n-k) блоков сумматоров по модулю 2, схемы сравнения, анализатора ошибок и корректора. Регистр служит для запоминания информационных символов принятой кодовой последовательности, из которых в блоках сумматоров формируются проверочные символы. Анализатор ошибок по конкретному виду синдрома, получаемого в результате сравнения формируемых на приемной стороне и принятых проверочных символов, определяет места ошибочных символов. Исправление информационных символов производится в корректоре. Заметим, что в общем случае при декодировании линейного кода с исправлением ошибок в памяти декодера должна храниться таблица соответствий между синдромами и векторами ошибок. С приходом каждой кодовой комбинации декодер должен перебрать всю таблицу. При небольших значениях (n-k) эта операция не вызывает затруднений. Однако для высокоэффективных кодов длиной п, равной нескольким десяткам, разность (n-k) принимает такие значения, что перебор таблицы оказывается практически невозможным.

Рисунок 3.3 Структурная схема декодера

 

 

 

Задание 4

4.1 Расчет длительности единичного  элемента кодовой комбинации  цифрового ИКМ сигнала с проверкой  на чётность.

 

Для определения  длительности единичного элемента кодовой

комбинации  ИКМ сигнала (тактового интервала  Т_такт ) с проверкой на чётность необходимо определить:

а) количество информационных элементов к  кодовой  комбинации к=7

б) Число разрядов в коде с проверкой на четность составляет n+1, следовательно при n=7 количество разрядов в сигнале на выходе кодера будет n=8.

Общая длительность кодовой комбинации равна интервалу дискретизации Т_д, определяемому по теореме Котельникова с учётом необходимого частотного интервала в спектре дискретного АИМ сигнала (F_Д>2ΔF) и кратности частоты дискретизации 3,4кГц. Здесь F_Д - частота дискретизации.

Так как частота дискретизации F_Д>2ΔF, то F_д>6,8кГц, F_Д=8кГц Следовательно, минимальный интервал дискретизации Т_д=1/(2ΔF)=1/(2·3,4·10³)=0,147 мс.