Расчет электрических фильтров

       Таблица 3.1

       

        
 

       Полюсы  нормированной передаточной функции  лежат в левой полуплоскости  комплексной переменной p.

       Формируем нормированную передаточную функцию  НЧ – прототипа в виде 

где v(p) – полином Гурвица, который можно записать через полюсы: 

       Производя вычисления, получим

         
 
 
 
 
 
 

1.4. Реализация LC - прототипа

        Для получения схемы НЧ – прототипа  воспользуемся методом Дарлингтона, когда для двусторонне нагруженного фильтра (рис. 1.4) составляется выражение для входного сопротивления Z_вх.1(p): 
 
 
 
 

       Рисунок 1.4 – Схема подключения фильтра к источнику сигнала 

       Подставляя  в (4.1) значение v(p) из (3.4) и значение h(p) из  

после преобразований получим 

       Формула (1.11) описывает входное сопротивление двухполюсника (согласно схеме на рис. 1.4, фильтр, нагруженный на сопротивление R_н, это действительно двухполюсник). А если известно выражение для входного сопротивления, то можно построить схему двухполюсника, воспользовавшись, например, методом Кауэра. По этому методу формула для Z_вх(p) разлагается в непрерывную дробь путем деления полинома числителя на полином знаменателя. При этом степень числителя должна быть больше степени знаменателя. Исходя из последнего, (1.11) преобразуется к виду 

после чего производится ряд последовательных делений. Вначале числитель делим  на знаменатель: 
 

 
 
 

       Затем первый делитель делим на первый остаток:

 

       Второй  делитель делим на второй остаток:

 

       Третий  делитель делим на третий остаток:

         
 

       Получили  четыре результата деления, которые  отражают четыре нормированных по частоте и по сопротивлению элемента схемы в виде значений их проводимостей: pC, 1/pL, 1/R. Из анализа первого результата деления следует, что он отражает емкостную проводимость, поэтому все выражение (1.12) можно записать в виде цепной дроби: 

       По  формуле (1.13) составляем схему (рис.1.5), на которой С_1н = 3,349; L_2н = 0,712; C_3н = 3,349; R_г = R_н.н. = R_нор. 
 

         
 
 
 

                  Рисунок 1.5 – Схема НЧ – прототипа

       Денормируем элементы схемы НЧ – прототипа, используя соотношения: 

где ω_н = ω_п.нч – нормирующая частота;

       R_г – нормирующее сопротивление, равное внутреннему сопротивлению источника сигнала.

       Используя соотношения (1.14) и значения ω_н и R_г получаем реальные значения элементов схемы НЧ – прототипа: 
 
 
 

          
 
 
 

  1.5. Реализация пассивного полосового фильтра

       Из  теории фильтров известно, что между  частотами НЧ – прототипа и  частотами ω_пф полосового фильтра существует соотношение 

где ω₀ находится по (1.2).

       На  основании (1.15) индуктивное сопротивление НЧ – прототипа заменяется сопротивлением последовательного контура с элементами 

а емкостное  сопротивление НЧ – прототипа  заменяется сопротивлением параллельного  контура с элементами 

       Тогда, на основании схемы ФНЧ, изображенной на рис. 4.2 может быть построена схема  полосового фильтра так, как это  показано на рисунке 1.6.

         

         
 
 

                   Рисунок 1.6 – Схема полосового фильтра 
 
 
 

Элементы  этой схемы рассчитываются по формулам (1.16) и (1.17). 
 
 
 

       На  этом расчет полосового LC – фильтра заканчивается. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       2. Расчет активного полосового фильтра

       ARC – фильтры представляют собой комбинацию пассивной RC – цепи и активного элемента. В качестве последнего чаще всего используются операционные усилители часто с двумя входами – инвертирующим и неинвертирующим. В схемах ARC – фильтров обязательно имеется обратная связь. Известно, что передаточная функция любой активной цепи с обратнй связью записывается как 

где  Н_ус (р) и Н_ос (р) передаточные функции цепи прямого усиления и цепи обратной связи соответственно. Знаменатель Н(р) – это полином, его корни могут быть в том числе и комплексно – сопряженными. Последнее означает, что ARC – цепь эквивалентна пассивной LC – цепи, а т.к. LC – цепь обладает избирательными свойствами, то и ARC – цепь тоже может обладать избирательными свойствами, т.е. является фильтром.

       Синтез  2.1. Расчет полюсов ARC – фильтра

       Требования  остаются теми же:

       f_п2 = 70,98 кГц, f_п1 = 54,02 кГц,

       f_з2 = 75,22 кГц, f_з1 = 50,97 кГц,

       А_min = 20 дБ, A_max = ∆А = 3дБ,

       R_г = R_н = 600 Ом. 

       Вначале находим:

       ∆ω = 2π(f_п2 - f_п1) = 6,28·16,96⋅10³ = 106500 рад/с;

       ∆ω/2 = 53250 рад/с; 
 

       Затем сами полюсы.  Вместо трех полюсов нормированной передаточной функции НЧ – прототипа получается шесть полюсов передаточной функции ARC – полосового фильтра, причем денормированный. Их значения удобно представить в виде таблицы (2.1)

       Таблица 2.1 – Полюсы передаточной функции

        

       Следует отметить, что чередование пар  полюсов в таблице значения не имеет.

       2.2. Формирование передаточной функции

       Учитывая, что ARC – фильтры обычно строятся из каскадно-соединенных звеньев второго порядка, целесообразно передаточную функцию таких фильтров формировать из произведения сомножителей тоже второго порядка:

       Они имеют вид: 

       Тогда вся передаточная функция рассчитываемого  фильтра будет: 

       Коэффициенты  в числителе могут иметь одинаковую величину и рассчитываются по формуле: 

       Коэффициенты  в знаменателе находятся по формулам: 

где d_i ± jω_i = p_i – значение полюсов.

       Значения  всех рассчитанных коэффициентов сведены  в таблицу 2.2.

       Таблица 2.2 – Значения коэффициентов

 

       Подставляя  найденные коэффициенты в (2.1), получим 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       2.3. Расчет элементов схемы фильтра

        В качестве типовой выбираем простейшую схему полосового фильтра на одном  операционном усилителе (ОУ)(рисунок 2.1).   

 

 

       Рисунок 2.1 – Простейшая схема полосового фильтра на ОУ

       Если  составить эквивалентную схему, заменив операционный усилитель  ИНУНом, то, используя любой из методов анализа цепей, можно получить передаточную функцию, описывающую работу схемы на рисунке 2.1 в виде: 

       Из (2.5) видно, что рассмотренная схема  является схемой второго порядка. Следовательно, для реализации функции (2.4) потребуется  три подобных схемы или три  звена, соединенных каскадно. Расчет элементов этих схем R₁, R₂, C₃, C₄, R₅ ведется путем сравнения идентичных коэффициентов в формулах (2.4) и (2.5). 
 
 
 

       Для первого звена полосового фильтра  берутся коэффициенты из первого  сомножителя (2.4): 

       В системе (2.6) пять неизвестных и только три уравнения. Система нерешаема. Поэтому рекомендуется задаваться значениями, например емкостей конденсаторов  С₃ и С₄ (в ходе настройки фильтра при его изготовлении принято использовать переменные сопротивления, т.к. переменных конденсаторов с большой емкостью нет вообще).

       Если  принять С₃ = С₄ = 2 нФ, то решая (2.4), получим:

       R₁ = 7, 455 кОм;

       R₅ = 31, 48 кОм;

       R₂ = 52, 08 Ом.

       Составляя аналогичную схему для второго  звена при тех же С₃ = С₄ = 2 нФ, получим:

       R₁ =7, 455 кОм;

       R₅ = 71,761 кОм;

       R₂ = 29, 54 Ом

       Аналогично  для третьего звена:

       R₁ = 7, 455 кОм;