Получение математической модели методом ОЦКП

 

 

Найдём дисперсию в каждой серии опытов :

 

                                                                            (5)

Дисперсия первой серии опытов согласно формуле (5) будет равна:

 

Аналогично рассчитываются остальные дисперсии. Результаты расчета приведены в таблице 3.

 

Таблица 3 – Дисперсии серии опытов

Номер опыта	yL1	yL2	yL3	MẎL	Dl
L=1	12.9	12.5	12.3	12.6	0.095
L=2	12.7	12.2	11.9	12.3	0.165
L=3	12.5	12.1	12.2	12.3	0.045
L=4	12.4	12.3	12.5	12.4	0.01
L=5	12.8	12.5	12.8	12.7	0.03
L=6	12.7	12.2	12.1	12.3	0.105
L=7	12.5	12.2	12.4	12.4	0.045
L=8	12.4	12.3	12.7	12.5	0.03
L=9	12.9	12.5	12.7	12.7	0.04
L=10	12.7	12.2	12.4	12.4	0.065
L=11	12.5	12.4	12.0	12.3	0.7
L=12	12.4	12.3	12.3	12.3	0.005
L=13	12.9	12.5	12.6	12.7	0.045
L=14	12.7	12.2	12.9	12.6	0.13
L=15	12.5	11.9	12.2	12.2	0,09

 

 

2.2.1 Проверка воспроизводимости опытов.

Проверим условие воспроизводимости опытов (однородность дисперсий) по G-критерию Кохрена

 

(6)

 

Рассчитаем Gрасч по формуле (6)

 

 

 

 

Gкрит находим по таблице, приведённой в приложении А, при условиях:

- число степеней свободы m=3;

- число факторов k=n=3;

- доверительная вероятность p=0.95.

Gкрит = 0,871. Получается что Gрасч<Gкрит, а значит условие воспроизводимости выполнено, следовательно метод ОЦКП применим к данной модели.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3.  Расчёт коэффициентов регрессии

2.3.1  Уравнение нормированной модели

 

Уравнение (7) является уравнение нормированной модели

Y = β0 + β1X1 + β2X2 + β3X3 + β12X1X2 + β13X1X3 + β23X2X3 + β11X21 + β22X22 + +β33X23,                                                                                                                          (7)

где Х1 =

Х2 =

Х3 =.

 

2.3.2 Линейные коэффициенты

 

Коэффициенты b1, b2, b3 находят по формуле

 

                             (8)

 

где Zl,j - элементы матрицы планирования экспериментов, при этом j-й столбец матрицы планирования скалярно умножается на столбец средних значений MYl;

       С1 = 0,0913. (табличное значение)

 

Коэффициенты b2,b3 рассчитываются аналогично, но вместо первого столбца берутся соответственно второй и третий.

β2 = -0,0169;

β3=  -0,053;

 

2.3.3 Смешанные коэффициенты

 

Коэффициенты b12, b13, b23 находят по формуле

 

(9)

 

где С2 = 0,125. (табличное значение)

При этом перемножаются два столбца (i-ый и j-ый) из матрицы планирования и столбец средних значений MYl

 

Аналогично находятся коэффициенты β13 и β23:

β13 = 0,0125

β23 = -0,0125

 

 

2.3.4 Квадратичные коэффициенты

 

Коэффициенты β11, β22 и β33 рассчитывают по формуле

 

, j = 1 … 3,

(10)

 

где С3 = 0,2298 (табличные значения)

       γ = 0,73

Рассчитаем β11 по формуле (10)

Аналогично рассчитываются коэффициенты β22 и β33:

β22 = 0,025;

β33 = -0,043.

 

 

2.3.5 Свободный член

 

β0 рассчитывается по формуле

(11)

 

Рассчитаем по формуле (11)  β0

 

 

 

 

 

 

 

2.4. Проверка значимости коэффициентов по t-критерию Стьюдента.

 

Найдём дисперсию воспроизводимости опытов по формуле

 

(12)

Dв=(0.095 + 0.165 + 0.045 + 0.01 + 0.03 + 0.105 + 0.045 + 0.03 + 0.04 + 0.065 +  +0.7 + 0.005 + 0.045 + 0.13 + 0.09)/15 =0.107

 

Дисперсию линейных коэффициентов находят по формуле

 

(13)

 

Рассчитаем дисперсию линейных коэффициентов по формуле (13)

 

 

Для проверки значимости коэффициентов  находим расчётные значения t-критерия Стьюдента по формуле

 

(14)

 

Найдём расчётные значения t-критерия Стьюдента по формуле (14) для линейных коэффициентов

 

 

 

 

tкрит выбираем по таблице приведённой в приложении Б, при

f=N(m-1)=15(3-1)=30,

р = 0,95

tкрит = 2,0423.

При условии tрасч< tкрит коэффициенты не значимы. Сравнивая tрасч всех линейных коэффициентов с tкрит, можно сказать что коэффициенты β1 , β2 и β3 не значимы в данной модели.

Дисперсию смешанных коэффициентов находят по формуле

 

(15)

 

Рассчитаем дисперсию смешанных коэффициентов по формуле (15)

 

 

 

Найдём расчётные значения t-критерия Стьюдента по формуле (14) для смешанных коэффициентов

 

 

 

 

 

Сравнивая tрасч всех смешанных коэффициентов с tкрит, можно сказать что коэффициенты β1,2 , β1,3 и β2,3 не значимы в данной модели.

Дисперсию квадратичных коэффициентов находят по формуле

 

((16)

 

Рассчитаем дисперсию квадратичных коэффициентов по формуле (16)

 

 

 

Найдём расчётные значения t-критерия Стьюдента по формуле (14) для квадратичных коэффициентов

 

 

 

 

 

Сравнивая tрасч всех квадратичных коэффициентов с tкрит, можно сказать что коэффициенты β1,1 , β2,2 и β3,3 не значимы в данной модели.

 

 

Для проверки значимости  свободного члена используют формулу

 

(17)

Рассчитаем дисперсию квадратичных коэффициентов по формуле (17)

 

 

 

Найдём расчётное значение t-критерия Стьюдента по формуле (14) для свободного члена

 

 

Т. к. tрасч(β0) >tкрит, значит свободный член значим в модели.

Таким образом нормированная модель принимает вид:

Y = 12,516.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.5. Проверка адекватности полученной модели

 

Проверим адекватность полученной математической модели по критерию Фишера, то есть сравним значения Y, полученные при расчёте по нормированной модели с средними значениями по каждой серии опытов. При расчете по нормированной модели  в качестве значений X1, X2, X3 выбирают L-ую строку матрицы планирования и находят при L = 1..15.

 

Yl = β0 + β1 ˟ Zl1 + β2 ˟ Zl2 +β3 ˟ Zl3 + β12 ˟ Zl1 ˟ Zl2 + β13 ˟Zl1 ˟Zl3 + β23 ˟Zl2 ˟Zl3 + + β11 ˟ Zl12 + β22 ˟ Zl22 + β33 ˟ Zl32

(18)

 

Т.к. коэффициенты β1, β2, β3, β12, β13, β23, β11, β22 и β33 оказались не значимыми, то нормированная модель принимает вид

 

Y = 12,516.

 

Дисперсию адекватности находят по формуле

 

(19)

 

где N =15

d - количество незначимых коэффициентов, которые мы исключили из модели(приравняли к нулю). 

В данной модели d=9

Найдём дисперсию адекватности по формуле (19)

 

 

Расчётное значение критерия  Фишера находят по формуле

 

,

(20)

 

где Dв – дисперсия воспроизводимости.

 

Найдём расчётное значение критерия Фишера по формуле (20)

 

0,78.

 

Fкрит выбираем по таблице приведённой в приложении В. Т.к. DA<Dв, то

f1 = N – d =15 - 9 = 6

f2 = N ˟ (m - 1) =15 ˟ (3 – 1 ) = 30

Fкрит = 2,42.

 

Fрасч<Fкрит , следовательно получена  адекватная нормированная модель.

Т. к в модели линейные, смешанные и квадратичные коэффициенты не значимы, а значим только коэффициент β0, то факторы Х1, Х2 и Х3 равны 0, тогда  нормированная адекватная модель имеет вид:

Y = 12,516

 

Заключение

 

          Для получения математический моделей в основном используются два метода:  метод полного факторного эксперимента (ПФЭ) и метод ортогонального центрального композиционного планирования (ОЦКП). В начале используется метод ПФЭ, если выясняется, что полученная модель не адекватна, то используется метод ОЦКП. Данный метод сложнее, но полученная модель более точна.

Так, в ходе выполнения курсовой работы мной была получена адекватная нормированная модель в реальных величинах с помощью метода ортогонального центрального композиционного планирования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы

 

1. Ташлинский А.Г., Минкина Г.Л. Ортогональные и рототабельные центральные композиционные планы эксперимента: Методические указания к выполнению лабораторных работ. - Ульяновск: УлГТУ, 2005. - 39 с.

    2. Красовский Г.И., Филаретов Г.Ф. Планирование эксперимента. — Минск: изд-во БГУ, 1982. — 302 с.

     3. Самойленко Н.Э. Методы факторного анализа в задачах конструкторско-технологического проектирования РЭС: учеб. пособие / Н.Э. Самойленко. -Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2008.- 150 с.

    4. Самойленко Н.Э. Основы САПР: учебно-методический комплекс: учеб. пособие /Н.Э. Самойленко, М.Ю. Чепелев. - Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2008.Ч. 3. - 250 с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Критические значения для критерия Кохрена

 

n=k	m=2		m=3		m=4
	1%	5%	1%	5%	1%	5%
2	-	-	0,995	0,975	0,979	0,939
3	0,993	0,967	0,942	0,871	0,883	0,798
4	0,968	0,906	0,864	0,768	0,781	0,684
5	0,928	0,841	0,788	0,684	0,696	0,598
6	0,883	0,781	0,722	0,616	0,626	0,532
7	0,838	0,727	0,664	0,561	0,568	0,480
8	0,794	0,680	0,615	0,516	0,521	0,438
9	0,754	0,638	0,573	0,478	0,481	0,403
10	0,718	0,602	0,536	0,445	0,447	0,373
11	0,684	0,570	0,504	0,417	0,418	0,348
12	0,653	0,541	0,475	0,392	0,392	0,326
13	0,624	0,515	0,450	0,371	0,369	0,307
14	0,599	0,492	0,427	0,352	0,349	0,291
15	0,575	0,471	0,407	0,335	0,332	0,276
16	0,553	0,452	0,388	0,319	0,316	0,262
17	0,532	0,434	0,372	0,305	0,301	0,250
18	0,514	0,418	0,356	0,293	0,288	0,240
19	0,496	0,403	0,343	0,281	0,276	0,230
20	0,480	0,389	0,330	0,270	0,265	0,220
21	0,465	0,377	0,318	0,261	0,255	0,212
22	0,450	0,365	0,307	0,252	0,246	0,204
23	0,437	0,354	0,297	0,243	0,238	0,197
24	0,425	0,343	0,287	0,235	0,230	0,191
25	0,413	0,334	0,278	0,228	0,222	0,185