Получение математической модели методом ОЦКП

Замечания руководителя

 

Содержание

 

Введение  5

1. Теоретическая часть                                                                                       6

     1.1 Планирование  эксперимента 6

1.2 Композиционные планы                                                                         6

1.3 Ортогональные центральные композиционные планы                       8 2. Практическая часть                                                                                       9

     2.1 Исходные данные варианта №1 9

     2.2. Проверка условий применимости регрессионного анализа 11

           2.2.1 Проверка воспроизводимости опытов. 13

     2.3 Расчёт коэффициентов регрессии 15

         2.3.1 Уравнение нормированной модели 15

          2.3.2 Линейные коэффициенты 15

          2.3.3 Смешанные коэффициенты 16

          2.3.4 Квадратичные коэффициенты 16

         2.3.5 Свободный член 17

    2.4. Проверка значимости коэффициентов  18

    2.5. Проверка адекватности полученной модели 22

Заключение 24

Список использованной литературы 25

Приложения 26

       Приложение  А   26

       Приложение  Б 27

       Приложение  В             29 
Введение

 

Моделирование относится к достаточно сложным методам. Но сложность окупается получаемыми с помощью моделей результатами. С помощью моделей (особенно в процессах со многими входными параметрами, когда нельзя представить зависимости показателя качества от этих параметров графически) можно легко проигнорировать значение получающегося качества процесса или продукта при тех или иных условиях, можно организовать поиск наилучших (оптимальных) условий проведения процесса чтобы снизить затраты, повысить потребительские свойства продукта или полуфабриката, повысить производительность и решить ряд других задач по улучшению качества процессов. Математическое моделирование как инструмент познания завоевывает все новые и новые позиции в различных областях деятельности человека. Оно становится главенствующим направлением в проектировании и исследовании новых систем, анализе свойств существующих систем, выборе и обосновании оптимальных условий их функционирования и т.п. Математическое моделирование широко проникло в различные области знаний и их приложения: технические, экономические, социальные, биологические и многие другие на первый взгляд далекие от математики. Поэтому специалистам необходимо владеть концепциями и методами математического моделирования, иметь представление об инструментарии, применяемом при моделировании [1].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Теоретическая часть

1.1 Планирование эксперимента

         Планирование эксперимента — комплекс мероприятий, направленных на эффективную постановку опытов. Основная цель планирования эксперимента — достижение максимальной точности измерений при минимальном количестве проведенных опытов и сохранении статистической достоверности результатов.

          Планирование эксперимента применяется при поиске оптимальных условий, построении интерполяционных формул, выборе значимых факторов, оценке и уточнении констант теоретических моделей и др.

Методы планирования эксперимента позволяют минимизировать число необходимых испытаний, установить рациональный порядок и условия проведения исследований в зависимости от их вида и требуемой точности результатов.

         При проведении опытных исследований различают пассивный и активный эксперимент. Методология пассивного экспериментирования предполагает проведение большой серии опытных исследований с поочередным варьированием значений входных переменных и анализом результатов измерений выходной переменному (лабораторный эксперимент или эксперимент на пилотной установке). К пассивному эксперименту принято относить также и сбор опытных данных в режиме эксплуатации промышленной установки - так называемый промышленный эксперимент. Обработка результатов пассивного эксперимента проводится методами регрессионного и корреляционного анализа, и выбор вида эмпирической модели (уравнения регрессии), т.е. решение задачи структурной идентификации является достаточно сложной задачей [2].

 

1.1 Композиционные планы

Применение линейных планов совместно с методом градиентного поиска оптимума позволяет достичь окрестностей точки оптимума. Поиск оптимального решения в этой области требует перехода от линейных моделей к моделям более высокого порядка – как минимум к полиномам второй степени. Полиномы второго порядка содержит

 

.

(1)

 

эффектов:

 

(2)

 

Построение такой модели требует применения плана, в котором каждая переменная принимает хотя бы три различных значения. Существуют различные подходы к построению планов второго порядка. Можно воспользоваться ПФЭ типа 3k, но такие планы обладают большой избыточностью. Например, для трех переменных количество точек плана составит 27, а количество оцениваемых коэффициентов в функции отклика равно 10. В соответствии с идеей пошагового эксперимента планирование рационально осуществлять путем добавления специально подобранных точек к “ядру”, образованному планированием для линейного приближения. Такие планы называют композиционными(последовательными), они позволяют использовать информацию, полученную в результате реализации линейного плана.

Композиционные планы используются обычно на заключительном этапе исследования, когда модель приходится подбирать последовательно, начиная с простейшего линейного уравнения, которое потом достраивается до полной квадратичной формулы. В этом случае композиционные планы дают выигрыш по числу опытов по сравнению с другими планами. Эти планы можно применять и при непосредственном построении функции отклика в виде полинома (2).

Решение подобных задач основано на применении ортогональных центральных композиционных планов(ЦКП). Эти планы используют в качестве ядра полный факторный эксперимент.

На практике широкое распространение получили два типа ЦКП, известные как планы Бокса и Хартли. Понятие “центральный” означает, что факторы принимают значения, симметричные относительно центра плана.

Центральный композиционный план второго порядка называют планом Бокса, если его ядром является ПФЭ 2k или регулярная реплика типа 2k – p [3].

 

1.2  Ортогональные центральные композиционные планы

 

В планах Бокса к ядру, построенному на основе ПФЭ или ДФЭ, добавляется одна точка в центре плана с координатами (0, 0, ..., 0) и 2k "звездных" точек с координатами(±γ, 0, ..., 0), ..., (0, 0, ..., ±γ).

Построенный таким образом план будет ЦКП второго порядка. Общее точек плана при использовании композиционного планирования составит N=N0+2k+1, где N0 – количество точек ядра плана.

В матрице плана второго порядка не у всех столбцов соблюдается условие симметрии и не все пары столбцов ортогональны [3].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Практическая часть

2.1 Исходные данные варианта № 1

 

Исходными  данными являются базовые значения факторов (число факторов k=n=3) и шаги варьирования. Задана матрица планирования эксперимента и результаты трёх дублирующих экспериментов (для каждого эксперимента проведено 3 дублирующих опыта, n=3 – количество факторов, m=3 – количество дублирующих опытов). Общее количество экспериментов в  методе ортогонального центрального композиционного планирования рассчитывается по формуле (3)

(3)

Обозначим L–  порядковый номер эксперимента, L = 1,…,N .

В случае трёхфакторного эксперимента N=15 (15 экспериментов). Результаты всех опытов запишем в виде матрицы размерности 15х3, обозначим её элементыYlj, где   l-номер эксперимента, а j-номер дублирующего опыта.

Исходные данные для моего варианта приведены  в таблице 1.

Базовые значения факторов х1б, х2б, х3б выбрать в диапазоне от 0 до 5, а шаги варьирования D х1б, D х2б, D х3б должны быть не больше 0,5.

 

Таблица 1 – Матрица планирования и результаты экспериментов

Номер опыта	X1	X2	X3	yL1	yL2	yL3
L=1	+1	+1	+1	12.9	12.5	12.3
L=2	+1	-1	-1	12.7	12.2	11.9
L=3	-1	+1	-1	12.5	12.1	12.2
L=4	-1	-1	+1	12.4	12.3	12.5
L=5	+1	+1	-1	12.8	12.5	12.8
L=6	-1	+1	+1	12.7	12.2	12.1
L=7	+1	-1	+1	12.5	12.2	12.4
L=8	-1	-1	-1	12.4	12.3	12.7
L=9	0	0	0	12.9	12.5	12.7
L=10	+1.215	0	0	12.7	12.2	12.4
L=11	-1.215	0	0	12.5	12.4	12.0
L=12	0	+1.215	0	12.4	12.3	12.3
L=13	0	-1.215	0	12.9	12.5	12.6
L=14	0	0	-1.215	12.7	12.2	12.9
L=15	0	0	+1.215	12.5	11.9	12.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2. Проверка условий применимости регрессионного анализа

 

Найдём среднее значение в каждой серии опытов по формуле

 

                     (4)

 

Среднее значение первой серии опытов, согласно (4) будет равно:

 

 

 

Аналогично рассчитываются остальные средние значения серий опытов. Они приведены в таблице 2.

Таблица 2 – Средние значения серии опытов

 

Номер опыта	yL1	yL2	yL3	MYL
L=1	12.9	12.5	12.3	12.6
L=2	12.7	12.2	11.9	12.3
L=3	12.5	12.1	12.2	12.3
L=4	12.4	12.3	12.5	12.4
L=5	12.8	12.5	12.8	12.7
L=6	12.7	12.2	12.1	12.3
L=7	12.5	12.2	12.4	12.4
L=8	12.4	12.3	12.7	12.5
L=9	12.9	12.5	12.7	12.7
L=10	12.7	12.2	12.4	12.4
L=11	12.5	12.4	12.0	12.3
L=12	12.4	12.3	12.3	12.3
L=13	12.9	12.5	12.6	12.7
L=14	12.7	12.2	12.9	12.6
L=15	12.5	11.9	12.2	12.2