Частотна модуляція

p align="justify">  Введемо сукупність парціальних (часткових) коефіцієнтів модуляції

  

  і запишемо аналітичний вираз складномодульованого (багатотонального) АМ сигналу у  формі, яка узагальнює вираз:

  

  Спектральне розкладання проводиться так  само, як і для однотонального АМ сигналу:

  

  На  мал., а зображена спектральна  діаграма модулюючого сигналу, Мал. би відтворює спектральну діаграму багатотонального АМ сигналу, що відповідає цьому модулюючому коливанню.

  

  Рис. - Спектральні діаграми:

  а — модулюючого сигналу; б —  АМ - сигналу при багатотональній  модуляції

  Отже, в спектрі складномодульованого АМ-сигналу, крім несучого коливання  містяться групи верхніх і  нижніх бічних коливань. Спектр верхніх  бічних коливань є масштабною копією спектру модулюючого сигналу, зсунутою в область високих частот на величину Спектр нижніх бічних коливань також  повторює спектральну діаграму сигналу  s(t), ио розташовується дзеркально відносно несучої частоти ω₀.

  Із  Зв'язаного виходить важливий висновок: ширина спектру АМ-сигналу рівна  подвоєному значенню щонайвищої частоти  в спектрі модулюючого низькочастотного сигналу. 

  Задача

    Оцінити число мовних радіоканалів, які можна розмістити в діапазоні  частот від 0.5 до 1,5 Мгц (приблизні  межі середньохвильового мовного  діапазону).

  Для задовільного відтворення сигналів радіомовлення необхідно відтворювати звукові частоти від 100 Гц до 12 кГц. Таким чином, смуга частот, що відводиться  одному АМ-каналу, рівна 24 кГц. Щоб уникнути перехресних перешкод між каналами, слід передбачити захисний інтервал завширшки в 1 кГц. Тому допустиме  число каналів 

  N = (1,5-0,5)·10^-6/(25∙10^-3)=40

    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  8. Проходження АМ  сигнала через  одно резонансний  підсилювач 

  Однотональне  АМ коливання

  U_вх(t) = U₀ (1+McosΩt)cosω₀t    (6.1)

  Здійснемо вплив на однокаскадний резонансний  підсилювач з частотним коефіцієнтом передачі

        (6.2)

  де  τ_к – постійна часу контуру       (6.3)

  для спрощення будемо вважати, що резонансна частота ω_рез і частота несучого коливання ω₀ співпадають.

  Вихідна комплексна обвідна запишеться таким  чином

   ,    (6.4)

  де  υ=arctgΩτ_к      (6.5)

  Вихідний  сигнал дорівнює

     (6.6)

          (6.7)

  ξ_Ω – узагальнене розкладання контура підсилювача на частоті верхнього бокового коливання.

  На  виході підсилювача спостерігається  коливання яке є підсиленим за амплітудою і в той же час же час залишається АМ сигналом.

    Відмінність від вхідного сигнала полягає у меншому коефіцієнті модуляції.

      (6.8)

  Обвідна вихідного сигнала затримана  відносно обвідної сигнала на вході  на інтервал

       (6.9) 

  Задача

  Припустимо, що АМ сигнал з параметрами  , , проходить через підсилювач налаштований на несучу частоту . Контур підсилювача має еквівалентну добротність . Знайти величину коефіцієнта модуляції у вихідному сигналі і величину затримки обвідної.

  Знайдемо  за формулою (7) величину узагальненого  розкладання контура підсилювача  на частоті верхнього бокового коливання :

   ;

  Тоді  за формулою (8) знаходимо коефіцієнт модуляції вихідного сигнала:

   ;

  Тобто спостерігається відчутне зниження глибини модуляції. Знайдемо згідно співвідношенню (3) постійного часу контуру:

  

  Знайдемо  згідно формули (5) величину:

   ;

  Тоді  величина затримки обвідної складатиме:

   ; 
 

  9. Взаємний енергетичний  спектр двох сигналів.

  Припустимо, що ми маємо два сигнали  та . Будемо вважати що ці сигнали описуються дійсними  функціями часу.

  Дійсну  функцію  називають взаємним енергетичним спектром.

   ;

  Скалярний добуток сигналів та можна записати таким чином:

   ;

  Спектральна щільність експоненційного відеоімпулсу:

   ;

  U – амплітуда імпульсу ;

  Якщо  то спектр сигнала зсунутого у неї:

   ; 

  Задача

  Припустимо, що ми маємо два експоненційних відеоіпульси однакової форми з одиночною  амплітудою, що поступають один за одним  з інтервалом часу . Записати аналітичний вираз для взаємного енергетичного спектра сигналів і розрахувати його максимальне значення при заданих і .

   ;

    Визначимо спектральні щільності  імпульсу: 

   ;

  Спектральні щільності імпульсу можна записати таким чином: 

   ;

   ;

  Тоді  буде рівною:

   ;

  Знайдемо  чому дорівнює добуток:

   Тоді взаємний енергетичний спектр враховуючи співвідношення: 

   :

   ; (1)

  Якщо  зафіксувати параметри  , що визначає формула сигнала то частинні властивості взаємного енергетичного спектра буде увс’якому залежати від часового зсуву між сигналами. На рис.1 зображенні два характерних графіка функції :   

  

                                                                                   
 
 

  

                                                                                         

  

                       Рис.1.а.  Рис.1.б.

                   при             при

  Рис.1 взаємний енергетичний спектр двох експоненційних відеоімпульсів.

  Основний  інтерес викликає випадок коли добуток  імпульсів дуже перекриванних у часі.

  Формула (1) і графік 1.б мають виражений  низькочастотний характер. Звідки випливає, що для того, щоб зменшити величину скалярного добутку таких сигналів і зробити так, що їх було легше  розрізняти, слід скористатися фільтром верхніх частот (ФВЧ) який подавляє усі коливання з частотами  меншими за деякої граничної частоти  .

  Фронт імпульса який швидко змінюється, утворюється  за рахунок додавання високо частотних  компонентів спектра які без  перешкод переходять на вихід ФВЧ. У  той час при фільтрації низькочастотних  складових спектра тривалість імпульса на виході буде суттєво скорочена. Як наслідок цього ефект перекриття імпульсів може бути доведений до будь-якої прийнятної малої величини, так що імпульси не виході ФВЧ виявляються  досить близькими до ортогональних.       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  10. Зв'язок між енергетичним  спектром сигнала,  та його автокориляційною функцією.

  Величина  має назву спектральної щільності енергії сигнала або енергетичного спектра:

        (1)

    Автокориляційна функція: 

        (2)

  Квадрат модуля спектральної щільності являє  собою енергетичний спектр сигнала, отже енергетичний спектр та функція  автокореляції зв’язані перетворенням  Фур’є :

      (3)

  Задача  знайти функцію автокореляції сигнала  з рівномірним та обмеженим за частотою енергетичним спектром   

    
 
 
 

  Припустимо, що сигнал характеризується енергетичним спектром виду

   ;

  Таким чином автокориляційна функція  розглянутого сигнала має пелюстковий  вигляд    
 

    
 
 
 
 
 

  Автокориляційну функцію можемо  знайти  за формулою (2)

   ;

  Часто вводять зручний числовий параметр інтервал кореляції  ,який являє собою оцінку ширини основної пелюстки авто кореляційної функції.

  Легко бачити, що у розглянутому випадку  величина повинна знаходитись з співвідношення .Звідки випливає, що 

   ;

   - виявляється меншим, чим вище  встановлена гранична частота  енергетичного спектра сигнала.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  11. Діодний детектор.

  

  Вольт-амперна  характеристика діода має кусково-лінійний вигляд з нульовою напругою початку:

  

  На  вході:  Uвх(t)=UмахCOSω₀t

  Для нормального функціонування схеми  необхідно, щоб Rн значно переважало опір діода у прямому напряку, тобто  S*Rн>>1.

  Коефіцієнт  детектування в даній схемі:

  Кут відсічки знаходиться співвідношенням:

  -U₀=I₀*R_н=SU_maxγ₀(U)R_н.

  Напруга U_вих, прикладена до діода у зворотній полярності і служить для нього напругою зміщення U₀=-U_вих.

  При S*R_н>>1, Кут відсічки близький до нуля, тоді розрахункове співвідношення:

  К_дет=сos . 

  Задача

  У схемі діодного детектора R_н=18кОм, крутизна характеристики діода S=10мА/В. Визначити коефіцієнт детектування.

  Добуток SR=10*18=180, тобто SR_н>>1.

  Тоді  коефіцієнт детектування дорівнює:

  К_дет=сos = =180.