Частотна модуляція

  Зміст

1. Частотна модуляція
2. Амплітудний модулятор
3. Однотональна АМ
4. Комбінаційні частоти
5. Степенева апроксимація
6. Кусково-лінійна апроксимація
7. Амплітудна модуляція при складному модулюючому сигналі
8. Проходження АМ сигналу через одно резонансний підсилювач
9. Взаємний енергетичний спектр двох сигналів
10. Зв'язок між енергетичним спектром сигнала, та його автокориляційною функцією
11. Діодний детектор
12. Частотні характеристики паралельного коливального контуру
13. Спектральний склад струму у без інерційному нелінійному елементі при гармонійному зовнішньому впливі у випадку кусково-лінійної апроксимації
14. Резонансний підсилювач малих коливань

Література 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  1.Частотна модуляція.

  При частотній модуляції сигналу (ЧМ) між величинами s(t) і ω(t) є зв'язок вигляду

  

  Тому

  

  Природними  параметрами ЧМ-сигналу загального вигляду відповідно до формули є  девіація частоти вгору ∆ω=ks_max девіація  частоти вниз  ∆ω=ks_min

  Якщо  s(t) — достатньо гладка функція, то зовнішні осцилограми ФМ- і ЧМ-сигналів не відрізняються. Проте є принципова різниця: фазовий зсув між ФМ-сигналом і немодульований коливанням пропорційний s(t), тоді як для ЧМ-сигналу цей зсув пропорційний інтегралу від передаваного повідомлення 

  Задача

   Радіостанція, що працює в УКВ-діапазоні з несучою частотою f₀ = 80 Мгц, випромінює ФМ сигнал, промодульований частотою F=15 кГц. Індекс модуляції m = 12, Знайти межі в яких змінюється миттєва частота сигналу.

  

  Девіація  частоти складе ∆f = m·F = 1,8·103 = 180 кГц, Таким чином, при модуляції миттєва частота сигналу змінюється в межах від f_min = 80 – 0,18 = 79,82 МГц   до f_max = 80 + 0,18 = 80,18 МГц 
 
 
 
 
 
 
 

  2. Амплітудний модулятор

  Найпростіший  амплітудний модулятор служить  однокаскадний підсилювальний пристрій, нелінійного типу з резонансним  навантаженням.

   

    

  Коливний  контур фільтрує колекторний струм  виділяючи на виході АМ

  Робоча  точка переміщується в такт з  НЧ модулюючим коливанням. Відбувається неперервна зміна кута відсічки несучого сигнала.

  Амплітуда першої гармоніки послідовності  імпульсів Ік виявляється не постійною  у часі. Коливний контур фільтрує Ік, виділяючи на виході АМ сигнал, тобто  коливання з амплітудою, що змінюється пропорційно корисному модулюючому  сигналу.

  Задача

  Транзистор, що викорстовується в схемі модулятора має злам характеристики у точці  U_H= 1,5 B.

  Амплітуда коливань несучої частоти на вході  U_{m нес}= 0,3  В.

  Амплітуда модулюючого сигнала U_{m мод}= 0,2   В.

  Початкове зміщення U₀= 0,5  B.

  Визначити коефіцієнт амплітудної модуляції  у даній схемі, коли косинусоїдальні  імпульси немодульовані, тобто U_{m мод}=0, кут відсічки дорівнює

  

  У випадку коли U_{m мод} ≠ 0 положення робочої точки коливається у межах від U₀+U_{m мод}= 0,7 В до U₀ -U_{m мод}= 0,3 В.

  Тоді  кут відсічки буде змінюватися таким  чином

  

  Амплітуда першої гармоніки колекторного струму рівна

  

  Тобто амплітуда першої гармоніки колекторного струму пропорційна функції γ₁(θ), яке залежить від кута відсічки, а тому змінюється у межах

    

  Звідси  знаходимо коефіцієнт модуляції  вихідного сигнала

    

  3. Однотональна АМ

  У випадку одно тональної АМ:

U_AM(t₀)=U₀cos(ω₀t+Ψ₀)+(U₀M/2)cosА[(ω₀+λ)t+ Ψ₀+Ф₀]+(U₀M/2)cos[(ω₀-λ)t+ Ψ₀--Ф₀].

Спектральний  склад  одно тонального АМ сигнала:

  ω₀-несуча частота;

  ω₀+λ-верхня бокова частота;

  ω₀-λ-нижня бокова частота;

Обвідна U(t) і модулюючий корисний сигнал S(t) зв’язані таким чином:

  U(t)=U₀[1+MS(t)]

  U₀-амплітуда несучого коливання.

  S-коефіцієнт модуляції. 

  Задача

  Амплітуда несучого коливання 4В. Амплітуда модульованого  сигнала 1В. Коефіцієнт модуляції 70℅. Знайти максимальне і мінімальне значення АМ сигнала.

  У випадку однотональної АМ: S_max(t)=1В; S_min(t)=-1В.

  Тоді: U_max(t)=U[1+MS_max(t)]=4(1+0.7*1)=6.8В

     U_min(t)=U*[1-MS_min(t)]=4*(1-0.7)=1.2В 

  Задача

  Амплітуда несучого коливання U₀=4В. Коефіцієнт модуляції М=0.65.Визначити амплітуду верхньої бокової складової.

  Uв.б=U₀M/r=4*0.6/r=1.3В.  
 
 
 
 

  4.Комбінаційні частоти.

  Всілякі частоти гармонійних коливань, що входять у формулу 

   ,

  називають комбінаційними частотами:

  

  де  n1,n2…nm— будь-які цілі числа, позитивні і негативні, включаючи нуль.

  Таким чином, показано, що спектр струму в  безінерційному нелінійному двополюснику, що знаходиться під впливом декількох  гармонійних сигналів з різними  частотами, утворений в загальному випадку нескінченною сукупністю комбінаційних  частот вигляду 

  Комбінаційні  частоти прийнято групувати, об'єднуючи  разом всі частоти, для яких

  

  Число N називають порядком комбінаційної частоти.

  Розглянутий раніше приватний приклад показує, що в спектрі струму, що проходить  через нелінійний елемент з характеристикою, ступеню, що містить, не вище 3-й, при  збудженні системи сумою двох гармонійних сигналів спостерігаються  комбінаційні наступні частоти:

  

  Можна помітити закономірність: доданок із ступенем N у вольт-амперної характеристиці елемента дає комбінаційні складові з граничним порядком, рівним ступеню  цього доданку. При цьому якщо N - парне число, то виникають комбінаційні частоти парних порядків: N, N — 2, N - 4 . аж до N = 0 (постійна складова). Якщо ж N непарний, то порядки комбінаційних частот також непарні: N, N - 2, N - 4 ... аж до N =1 

  Задача

  Нелінійний  двополюсник має кубічну ВАХ  , вхідна напруга є сумою трьох гармонічних коливань

  

  Знайти  частоти всіх комбінаційних складових  струму.

  Оскільки  ступінь ВАХ рівний трьом, спостерігатимуться комбінаційні частоти зN=1іN = 3.

   Комбінаційні  частоти 1-го порядку: ω₁, ω₂, ω₃. 
 
 
 
 
 
 

  Комбінаційні  частоти 3-го порядку: 3ω₁, 3ω₂, 3ω₃

  

  Фактично  необхідно враховувати частоти, що лише розрізняються. Так, виразам 2ω₁+ ω₂ і -2ω₁- 2ω₂ відповідає одна і та ж частота. 
 
 
 
 
 
 

  5.Степенева апроксимація

  Цей прийом апроксимації ґрунтується на розкладанні нелінійної вольт-амперної  характеристики I(U) в ряд Тейлора, що сходиться у деякому околі робочої точки U₀.

  I(u)=a₀+a₁(u-U₀)+a₂(u-U₀)²+…..

  Коефіцієнти а₀, а₁, а₂,…..-дійсні числа. Кількість членів розкладання визначається заданою точністю розрахунків. Степенева апроксимація використана у випадку відносно молих зовнішніх впливів.

  Задача

  Задана  характеристика транзистора Iб=f(Uб-е). Необхідно знайти коефіцієнти а₀, а₁, а₂ для степеневої апроксимації цієї характеристики в околі робочої точки U₀=0.7В.

  

  У якості вузлів апроксимації вибираємо  точки 0.5; 0.7; 0.9 В. Щоб знайти невідомі коефіцієнти, слід розв’язати систему  рівнянь, що враховують вид апроксимації: і_б=а₀+а₁ (U_б-е-U₀)=a₂(U_б-е –U₀)² і величини напруг.

  а₀=а₁+0.04а₂=0.05

  а₂=0.15

  а₀=0.2а₀+0.04а₂=0.5

     В результаті будемо мати:

  а₀=0.15мА

  а₁=1.25мА/В

  а₂=3.125мА/В² 

  6.Кусково-лінійна апроксимація

  Вольт-амперні  характеристики нелінійних елементів, одержані експериментально, необхідно  відтворити у математичній формі, придатній  для розрахунків.

  Кусково-лінійна  апроксимація ґрунтується на наближеній заміні реальної характеристики відрізками прямих ліній з різними нахилами. Як правило застосовується при розрахунках  процесів у нелінійних елементах  при великих амплітудних зовнішніх  впливів.

  Задача

  На  графіку представлена вхідна характеристика транзистора. За допомогою кусково-лінійної апроксимації записати у аналітичному вигляді залежність струму бази від  напруги база-емітер.

  

  Апроксимація  визначається двома параметрами  – напругою початку характеристики Uп і крутизною S, що має розмірність провідності. Математична форма запису така:

  I(u)=  

  Як  видно з рисунка, Un=0.6В. Розглянемо точку і=1.5мА, Uб-е=0.9В. Тоді: 0.5=(0.9-0.6)=0.3S.

  В результаті: S=0.5/0.3=5/3=1.67mA/B.

  Тоді  маємо:

  І(u)=     

  7.Амплітудна модуляція при складному модулюючому сигналі.

    На практиці однотональні АМ  сигнали використовуються рідко.  Набагато більш реальний випадок,  коли модулюючий низькочастотний  сигнал має складний спектральний  склад. Математичною моделлю такого  сигналу може бути, наприклад,  тригонометрична сума

  

  Тут частоти Ω_i утворюють впорядковану зростаючу послідовність Ω₁ < Ω₂<…< Ω_N тоді як амплітуди α_і початкові фази Ф_i, - довільні.

  Підставивши формулу, одержимо

  

<