Анализ и синтез радиотехнических сигналов и устройств

 

б) рассчитывается ослабление звена ( ) в децибелах на граничной частоте полосы задерживания ( ) по заданному значению коэффициента прямоугольности ( ). Для ФНЧ:

.                                   (29)

Для фильтра  верхних частот:

                                  .                                  (30)

В расчетах по формулам (29), (30) применяется натуральный логарифм;

в) рассчитывается  количество звеньев ( ) по заданному значению гарантированного ослабления на границе полосы задерживания, в соответствии с формулой (26):                                     

   .

Значение    округляется до  ближайшего большего целого значения;

г) рассчитывается  ослабление фильтра в децибелах для нескольких значений частот в полосе задерживания (расчетное ослабление в полосе пропускания, без учета тепловых потерь,  в этом методе считается равным нулю). Для фильтра нижних частот:

                           .                                   (31)

Для фильтра  верхних частот:      

;                                   (32)

 

д) анализируются тепловые потери ( ). Для приближенного расчета тепловых потерь по низкочастотному прототипу вначале определяются  на частоте резистивные сопротивления реальных катушек индуктивности ( ) при самостоятельно выбранных значениях добротности ( ). Катушки индуктивности, в дальнейшем, в схеме электрической принципиальной, будут введены вместо идеальных индуктивностей (конденсаторы считаются более высокодобротными и их резистивные потери не учитываются). Расчетные формулы:

                                  ,                                                 (33)

                                .                                  (34)

Ослабление  фильтра в децибелах, с учетом тепловых потерь, определяется:

                                    ,                                                  (35)

а   модуль коэффициента передачи по напряжению ( ) определяется из соотношения, связывающего его с ослаблением фильтра:

                                    ;                                              (36)

е) по результатам расчетов по формулам (35), (36) строятся  графики ослабления и модуля коэффициента передачи по напряжению для ФНЧ или ФВЧ;

ж) по справочникам радиоэлементов выбираются ближайшие  по номиналу к идеальным элементам стандартные конденсаторы и катушки индуктивности для последующей разработки схемы электрической принципиальной и перечня элементов всей электрической цепи. В случае  отсутствия стандартных катушек индуктивностей нужного номинала необходимо их разработать самостоятельно. На рисунке 6 показаны основные размеры простой цилиндрической катушки с однослойной намоткой, необходимые для ее расчета.

Число витков такой катушки с ферромагнитным сердечником (феррит, карбонильное железо) определяется из выражения

                               ,                                              (37)

где – число витков, – абсолютная магнитная проницаемость, – относительная магнитная проницаемость материала сердечника,  
– длина катушки, , где – радиус основания катушки.

 

2.2.3. Последовательность синтеза ПФ (РФ)  
по характеристическим параметрам

На рисунках 7 а, б и 8 а, б приведены графики требований к ослаблению и простейшие Г-образные звенья, соответственно, для полосового и режекторного фильтров.

 

 

       Синтез ПФ и РФ рекомендуется  проводить, используя расчеты  фильтров-прототипов с такой же  полосой пропускания и задерживания.

Для ПФ прототипом является фильтр нижних частот, а для РФ – фильтр верхних частот. Методика синтеза следующая:

а) на первом этапе синтеза применяется частотное  преобразование, при котором графические  требования к ослаблению ПФ пересчитываются  в требования к ослаблению ФНЧ, а графические требования к ослаблению РФ  пересчитываются в  требования к ослаблению ФВЧ:

                                 ,                                      (38)

                                 ;                                      (39)

б)  по рассмотренной ранее методике синтеза  ФНЧ и ФВЧ (пункты а–е  
п. 2.2.2)  разрабатывается схема электрическая, эквивалентная ФНЧ, для синтеза ПФ,  или ФВЧ – для синтеза РФ. Для ФНЧ или ФВЧ строятся графики ослабления и коэффициента передачи по напряжению;

в) схема  ФНЧ преобразуется в схему  полосового фильтра преобразованием продольных ветвей в последовательные колебательные контуры и поперечных ветвей в параллельные колебательные контуры за счет подключения добавочных реактивных элементов. Схема ФВЧ преобразуется в схему режекторного фильтра преобразованием продольных ветвей в параллельные  колебательные контуры и поперечных ветвей в последовательные колебательные контуры за счет подключения добавочных реактивных элементов. Добавочные реактивные элементы  для каждой ветви ФНЧ (ФВЧ) определяют по значению заданной средней частоты полосового или режекторного фильтра ( ) и рассчитанным значениям реактивных элементов ветвей ФНЧ (ФВЧ), используя известное выражение для резонансных контуров:

                                              ;                                                   (40)

г) для схем ПФ или РФ разрабатываются или  выбираются  по справочникам радиоэлементов  конденсаторы и катушки индуктивности по той же методике, которая рассматривалась ранее в п. 2.2.2 (пункт ж) данных методических указаний;

д) графики  ослабления и коэффициента передачи по напряжению ФНЧ (ФВЧ) пересчитываются  в графики ПФ (РФ) в соответствии с соотношениями между частотами этих фильтров. Например, для преобразования графиков ФНЧ к ПФ:

                                             ,                                   (41)

                                              ,                                                        (42)

где – частоты, соответственно, выше и ниже средней частоты полосового фильтра. По этим же формулам пересчитываются графики фильтра верхних частот в графики режекторного фильтра.

2.3. Методика синтеза фильтров по рабочим параметрам

2.3.1. Основные принципы синтеза по рабочим параметрам  
(полиномиального синтеза)

В данном методе синтеза так же, как и при синтезе по характеристическим параметрам, задаются требования к типу проектируемого фильтра, активному сопротивлению нагрузки, ослаблению или коэффициенту передачи мощности в полосе пропускания и задерживания. Однако учитывается, что входное и выходное сопротивления фильтра изменяются в полосе пропускания. В этой связи, фильтр синтезируется в несогласованном режиме, то есть по рабочим параметрам, что в исходных данных отражается требованием . Метод основан на обязательном расчете для любых типов фильтров низкочастотного фильтра – прототипа (фильтра нижних частот). В расчетах используется нормирование ( ) и частотные преобразования.

Эквивалентная схема фильтра разрабатывается  не из отдельных одинаковых звеньев, а сразу полностью, обычно в виде схемы цепочной структуры. На рисунке 9 показан вид П-образной цепочной схемы фильтра нижних частот, а на рисунке 10 – вид  Т-образной схемы такого же фильтра с ненормированными элементами.

 

 

 

Основные  этапы расчетов, на которых основан данный синтез, следующие:

а) аппроксимация – замена графических требований к коэффициенту передачи мощности аналитическим выражением, например отношением полиномов по степеням , что соответствует формулам частотных характеристик реальных реактивных фильтров;

б) переход к операторной форме записи частотных характеристик (замена переменной на переменную в аналитическом выражении, аппроксимирующем коэффициент передачи мощности);

в) переход к выражению для входного сопротивления фильтра, используя взаимосвязь коэффициента передачи мощности, коэффициента отражения и входного сопротивления фильтра:

,                                    (43)

.                                            (44)

В выражении (44) применяется лишь один коэффициент отражения , который соответствует устойчивой электрической цепи (полюса этого коэффициента не имеют положительной действительной части);

г) разложение аналитического выражения для входного сопротивления, полученного из (44), на сумму дробей или в цепную дробь для получения эквивалентной схемы и значений элементов.

Полиномиальный синтез в практических разработках обычно проводится с использованием справочников по фильтрам, в которых выполнены расчеты для данного метода синтеза. В справочниках приведены аппроксимирующие функции, эквивалентные схемы и нормированные элементы фильтров нижних частот. В большинстве случаев в качестве аппроксимирующих функций применяются полиномы Баттерворта и Чебышева.

Ослабление  фильтра нижних частот с аппроксимирующей функцией    Баттерворта описывается выражением:

                                                 ,                                     (45)

где – порядок фильтра (положительное целое число, численно равное количеству реактивных элементов в эквивалентной схеме фильтра).

Порядок фильтра определяется выражением                                  

.                                         (46)

В таблицах 1, 2 приведены значения нормированных реактивных элементов при аппроксимации Баттерворта, рассчитанные для разных порядков фильтра нижних частот (для схем, аналогичных схемам на рисунках 9, 10).

Таблица 1

Значения нормированных элементов ФНЧ Баттерворта П-образной схемы

1	2
2	1,414	1,414
3	1	2	1
4	0,765	1,848	1,848	0,765
5	0,618	1,618	2	1,618	0,618
6	0,518	1,414	1,932	1,932	1,414	0,518
7	0,445	1,242	1,802	2	1,802	1,242	0,445

 

 

Таблица 2

Значения нормированных элементов ФНЧ Баттерворта Т-образной схемы

1	2
2	1,414	1,414
3	1	2	1
4	0,765	1,848	1,848	0,765
5	0,618	1,618	2	1,618	0,618
6	0,518	1,414	1,932	1,932	1,414	0,518
7	0,445	1,242	1,802	2	1,802	1,242	0,445

 

При синтезе  следует учитывать, что для аппроксимации Баттерворта   ослабление на границе полосы пропускания обязательно равно 3 дБ.

Ослабление  фильтра нижних частот с аппроксимирующей функцией Чебышева описывается выражением

    ,                              (47)

где – коэффициент неравномерности, величина которого зависит от значения неравномерности ослабления в полосе пропускания

       .                                               (48)

Для полосы задерживания существуют более простые варианты записи ослабления ФНЧ с аппроксимацией Чебышева, например:

                                       .                                  (49)

По формуле (49)  проще определить требуемый порядок фильтра:

                                            .                                         (50)