Целостный педагогический процесс: структура, движущие силы, принципы и закономерности

Министерство  образования и науки Российской Федерации

ФГАОУ ВПО  «Уральский Федеральный Университет  
имени первого

Президента  России Б.Н. Ельцина»

Институт  радиоэлектроники и информационных технологий - РТФ

Кафедра «Автоматика и информационные технологии» 
 
 
 
 
 
 
 
 

Реферат

Тема: Целостный педагогический процесс:         структура, движущие силы, принципы и закономерности 
 

по дисциплине «Психология и педагогика» 
 
 
 
 
 
 
 

Группа:       

Студент:       

Преподаватель:       Баландина Т.Ю. 
 
 
 
 
 
 
 
 

Екатеринбург

2011

МЕТОДЫ  ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО  ИНТЕГРАЛА 

     Задача  численного интегрирования функций  заключается в вычислении приближенного  значения определенного интеграла

     

на основе ряда значений подынтегральной функции f(x):{ f(x_i) = y_i, i=0,n}.

     Формулы численного вычисления однократного интеграла  называются квадратурными формулами, двойного и более кратного – кубатурными.

     Обычный прием построения квадратурных формул состоит в замене подынтегральной  функции f(x) на отрезке [a,b] интерполирующей или аппроксимирующей функцией g(x) сравнительно простого вида, например полиномом, с последующим аналитическим интегрированием. Это приводит к следующему представлению интеграла:

     

Пренебрегая остаточным членом R[f], получаем приближенную формулу для вычисления интеграла:

Обозначим через y_i = f(x_i) значение подынтегральной функции в различных точках на [a,b]. Квадратурные формулы являются формулами замкнутого типа, если x₀ = a , x_n = b.

     В качестве приближенной функции g(x) рассмотрим интерполяционный полином на в форме полинома Лагранжа:

     

где , при этом , здесь – остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа.

Формула (1) дает

где

     В формуле (2) величины { } называются узлами, { } – весами, − погрешностью квадратурной формулы. Если веса { } квадратурной формулы вычислены по формуле (3), то соответствующую квадратурную формулу называют квадратурной формулой интерполяционного типа. 
 

     Подведем  итог:

1. Веса { } квадратурной формулы (2) при заданном расположении узлов не зависят от вида подынтегральной функции.
2. В квадратурных формулах интерполяционного типа остаточный член R_n[f] может быть представлен в виде значения конкретного дифференциального оператора на функции f(x). Для

  

.

3. Для полиномов до порядка n включительно квадратурная формула (2) точна, т.е. . Наивысшая степень полинома, для которого квадратурная формула точна, называется степенью квадратурной формулы.

  Рассмотрим  частные случаи формул (2) и (3): метод  прямоугольников, трапеций, парабол (метод  Симпсона). Названия этих методов обусловлены  геометрической интерпретацией соответствующих  формул.

    Метод прямоугольников

     Определенный  интеграл от функции f(x) численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривыми у = 0, x = a,

x = b, y = f(x) (рис. 1).

    Рис. 1. Площадь под кривой y = f(x) 

    Для вычисления этой площади весь отрезок  интегрирования [a,b] разбивается на n равных подынтервалов длины h=(b-a)/n. Площадь под подынтегральной кривой приближенно заменяется на сумму площадей прямоугольников, как это показано на рис. 2.

    Рис. 2. Площадь под кривой y = f(x), аппроксимирующаяся суммой площадей прямоугольников 

    Сумма площадей всех прямоугольников вычисляется  по формуле

      

    Метод, представленный формулой (4), называется методом левых прямоугольников, а метод, представленный формулой (5), – методом правых прямоугольников:

    

    Погрешность вычисления интеграла определяется величиной шага интегрирования h. Чем меньше шаг интегрирования, тем точнее интегральная сумма S аппроксимирует значение интеграла I. Исходя из этого строится алгоритм для вычисления интеграла с заданной точностью. Считается, что интегральная сумма S представляет значение интеграла I c точностью eps, если разница по абсолютной величине между интегральными суммами и , вычисленными с шагом h и h/2 соответственно, не превышает eps.  
 

     Метод средних прямоугольников 
 

     Для нахождения определенного интеграла  методом средних прямоугольников  площадь, ограниченная прямыми a и b, разбивается на n прямоугольников с одинаковыми основаниями h. Высотами прямоугольников будут точки пересечения функции f(x) с серединами прямоугольников (h/2). Интеграл будет численно равен сумме площадей n прямоугольников (рис. 3).

 

    Рис. 3. Площадь под кривой y=f(x), аппроксимирующаяся суммой площадей прямоугольников

 

где ;

       n – количество разбиений отрезка [a,b].

Метод трапеций

 

     Для нахождения определенного интеграла  методом трапеций площадь криволинейной  трапеции разбивается на n прямоугольных трапеций с высотами h и основаниями у₁, у₂, у₃, ..у_n, где n − номер прямоугольной трапеции. Интеграл будет численно равен сумме площадей прямоугольных трапеций (рис. 4).

 

    Рис. 4. Площадь под кривой y = f(x), аппроксимирующаяся суммой площадей прямоугольных трапеций 

Вычисление определенного  интеграла идет по формуле (6): 

где ; n – количество разбиений отрезка [a,b].

    Погрешность формулы трапеций оценивается числом

    

     Погрешность формулы трапеций с ростом уменьшается быстрее, чем погрешность формулы прямоугольников. Следовательно, формула трапеций позволяет получить большую точность вычисления определенного интеграла, чем метод прямоугольников.

Формула Симпсона

 

    Если  для каждой пары отрезков построить многочлен второй степени, затем проинтегрировать его на отрезке и воспользоваться свойством аддитивности интеграла, то получим формулу Симпсона.

    В методе Симпсона для вычисления определенного  интеграла весь интервал интегрирования [a,b]  разбивается на  подынтервалы  равной  длины h=(b−a)/n. Число отрезков разбиения является четным числом.  
 
 
 

    Затем на каждой паре соседних подынтервалов подынтегральная функция f(x) заменяется  многочленом Лагранжа второй степени (рис. 5).

 

    Рис. 5. Функция y = f(x) на отрезке , заменяемая многочленом 2-го порядка 

   Рассмотрим  подынтегральную функцию  на отрезке . Заменим эту подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, совпадающим с y= в точках : 

  

. 

  Проинтегрируем  на отрезке :

  

  

  Введем  замену переменных:

  

 
 
 

  Учитывая  формулы замены,

  

  

   Выполнив  интегрирование, получим формулу  Симпсона:

  

  Полученное  для интеграла  значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми , и параболой, проходящей через точки На отрезке формула Симпсона будет иметь вид

    

    В формуле параболы значение функции  f(x) в нечетных точках разбиения х₁, х₃, ..., х_2n-1 имеет коэффициент 4, в четных точках х₂, х₄, ..., х_2n-2 − коэффициент 2 и в двух граничных точках х₀ = а, х_n  = b − коэффициент 1. 

    Геометрический  смысл формулы Симпсона: площадь  криволинейной трапеции под графиком функции f(x) на отрезке [a, b] приближенно заменяется суммой площадей фигур, лежащих под параболами.

    Если  функция f(x) имеет на [a, b] непрерывную производную четвертого порядка, то абсолютная величина погрешности формулы Симпсона не больше, чем , где М − наибольшее значение на отрезке [a, b]. Так как n⁴ растет быстрее, чем n², то погрешность формулы Симпсона с ростом n уменьшается значительно быстрее, чем погрешность формулы трапеций.  

 

 

1. Программа вычисления определенного интеграла методами левых, средних прямоугольников, трапеции и методом Симпсона, приведена в приложении1. Проинтегрируем с помощью нее следующие функции:

 

1. f(x)=1

  f(x)=x

     f(x)=x²

     f(x)= x³

     f(x)= x⁴

     на  отрезке [0, 1] с шагом  , , ;