Преобразование числовых выражений

  Процесс  деятельности в целом, таким  образом, также оказывается не  полностью детерминированным, третье  указание обладает неопределённостью, так как может быть выполнено по–разному.

• что  означает «решить любую задачу из данного класса однотипных задач»?

 Каждый  алгоритм предназначен для решения  не одной единственной задачи, а любой задачи из некоторого  бесконечного класса однотипных  задач.  Алгоритм является единым методом, позволяющим по любому исходному объекту  из определённого бесконечного множества  объектов получить искомый результат.  В этом состоит свойство массовости. Так, например, алгоритм деления чисел, применяем не только к числам 243 и 3 или 150 и 5, а к любым натуральным числом.

- «решить  задачу» означает решить её  за конечное число шагов. Это  свойство называется  результативность. Оно заключается в том, что алгоритм всегда направлен на получение некоторого искомого результата, который при надлежащих исходных данных всегда получается.

- в любом  алгоритме для каждого шага (кроме  последнего) можно указать единственный (при данном выборе исходных объектов), непосредственно следующий за ним шаг, то есть такой, что между ними нет других шагов. Поэтому говорят, что алгоритм обладает свойством дискретности.

  Таким  образом, из характеристики основных  свойств алгоритма ясно, что алгоритм  всегда представляет собой предписание  о выполнении некоторой системы операций, но не всякое предписание о выполнении операций является алгоритмом. Алгоритм считается заданным, если однозначным образом указаны те действия, которые на каждом шаге должны быть произведены над объектом при всех его возможных состояниях, чтобы перевести его в требуемое состояние. При этом считается, что все возможные состояния объекта известны и предусматривают однозначные реакции решающего задачу на каждое из них.  

2. Особенности обучения преобразованиям числовых

выражений в начальной  школе с использованием

алгоритмического метода

При нахождении значений некоторых числовых выражений  приходится выполнять действия с  дробями разного вида: обыкновенными, десятичными, периодическими. В этом случае бывает необходимо обратить обыкновенную дробь в десятичную или выполнить обратное действие – заменить периодическую дробь обыкновенной.

Чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную, достаточно в числителе дроби записать число, стоящее после запятой, а в знаменателе – единицу с нулями, причем нулей должно быть столько, сколько цифр находится справа от запятой.

Например: ; .

Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, надо разделить ее числитель на знаменатель  по правилу деления десятичной дроби  на целое число.

Например: ;

                    ;

                    .

Чтобы обратить периодическую дробь в обыкновенную, надо:

1) из  числа, стоящего до второго  периода, вычесть число, стоящее  до первого периода;

2) записать  эту разность числителем;

3) в знаменателе  написать цифру 9 столько раз,  сколько цифр в периоде;

4) дописать в знаменателе столько  нулей, сколько цифр между запятой  и первым периодом.

Например: ; .

Рассмотрим  примеры формирования алгоритма преобразования числовых выражений.

Пример 1. Вычислите .

Алгоритм  решения. Так как нельзя преобразовать в конечную десятичную дробь, то в первой скобке целесообразно перейти к обыкновенным дробям:

1) .

2) .

3) .

4) .

Ответ. 0,235.

Пример 2. Вычислите .

Алгоритм  решения. Выполним вычисление по действиям.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) . Ответ. 32.

2.3. Система упражнений, обеспечивающая обучение 

преобразований числовых выражений в начальной школе 

алгоритмическим методом

В практике существует множество систем упражнений направленных на развитие навыков построения алгоритма преобразования числовых выражений, на развитие логического мышления, на отработку вычислительных навыков, что очень важно в младших классах.  Но не достаточно занимательности, игровой формы. И для повышения интереса у детей к математике можно использовать рассмотренные ниже задания.

1.Поставь, где нужно, скобки так, что бы получились верные равенства:            

76 – 20 + 5 = 51;

53 – 18 – 15 = 20.

Данное упражнение отрабатывает знания в построении алгоритмов преобразования числовых выражений.

2.     Вставь вместо рожиц одну и ту же цифру так, чтобы равенство стало верным:

1 J + 3 J + 5 J = 111;

J 0 + J 1 + J2 = 273.

3. Объясни решение:

30 – 4 · 7 = 30 – 28 = 2          

17 + 32 : 8 = 17 + 4 = 21                  

76     - (27 + 9) + 8 = 76 – 36 +8 = 48

49 + 9 · (20 – 17) = 43 +9 · 3 = 43 +27 = 70  

Данное задание направленно  как на отработку вычислительных навыков, так и на закрепление знаний построение алгоритма вычислительных действий.

4. Вычисли значения выражений:

26 + 24:4;

71 – 16: 2;

10 · (30 – 24); (22 + 14) : 4.

5.     Запиши выражения и вычисли их значения:

а) Из числа 82 вычесть произведение чисел 5 и 7.

б) Разность чисел 31 и 22 умножить на 4.

в) Сумму чисел 9 и 19 разделить на 7.

Данное упражнение хорошо использовать на математических диктантах. Оно направленно на развитие навыков построение алгоритма вычислительных действий, закрепление таких понятий как сумма, произведение, разность и частное.

5. Найди значение выражений удобным способом:

15 – (5 + 3);

46 + ( 4+2).

Данное задание направленно на развитие логического мышления.

6.  Составь алгоритм действий и найди значение выражения. Сделай вывод.

30 – 4 + 21 – 8 =        ;

24 : 3 : 2 · 5  =         ;

36 : 4 + ( 47 – 39) · 5 =       +         =         .

Данное упражнение направленно  не толь на отработку вычислительных навыков,  а так же оно учит детей  делать самостоятельные выводы, рассуждать, то есть  не автоматически выполнять задание, а обдуманно.

Как добиться твердого усвоения правил преобразования числовых выражений?

На доске записан пример: 96 – 28 : 4 + 36 · 2. Определить порядок действий только над действиями деления и умножения: 96 – 28 : 4 + 36 · 2. Выполняем их по порядку: 1) 28 : 4 = 7; 2) 36 · 2 = 72. Затем переписываем числовое выражение в  упрощенном виде: 96 – 7 + 72. Снова обозначаем порядок действий:  96 – 7 + 72. Заканчиваем его решение: 3) 96 – 7= 89; 4) 89 + 72 = 161.

Для выработки  твердых навыков, правильных и быстрых  устных вычислений на каждом уроке выделяется 5 – 10 минут для проведения тренеровочных упражнений. Но чтобы  не пропадал интерес к устному счету можно использовать игры.

На внутренней стороне доски вешаются кармашки с надписью «Устно», «Работай сам».

В первый кармашек кладутся карточки на которых  записаны примеры для устного  счета, в другой кармашек – примеры  для самостоятельной работы на уроке.

Детям очень  нравится игра «В полет на воздушном  шаре». Изображается воздушный шар, в нем герои из детских книг. Внизу прикреплен почтовый ящик – кармашек с прорезью. На уроке за отличный ответ ученик получает билет – карточку на обратной стороне которой пишет свою фамилию и на перемене опускает в почтовый ящик. Полет может длиться несколько дней, а когда будет окончен, учитель вместе с учащимися вскрывает почтовый ящик, подводит итоги и объявляет победителя. В качестве поощрения победитель может составить создания для устного счета и даже проводить его.

Для выявления характера ошибок учащихся в преобразовании числовых выражений в конце третьей и начале четвертой четверти, когда материал уже хорошо изучен, можно провести самостоятельные работы. Выражения составляются так, чтобы вычисления в них  можно было  производить как в правильном порядке, так и не в правильном: 60 : 6 · 2 ( правильный);           64 : 16 : 2 (неправильный).

На правильность применения правил построения алгоритма выполнения действий значительное влияние оказывает структура выражений и числовой материал.

В структуре выражений играет набор, количество и расположение действий в выражениях, наличие в них скобок. Ошибки состоят в том, что учащиеся выполняют сложение раньше деления, не обращая внимания на порядок записи.

Дети помнят начало формулировки, в которой сложение названо раньше вычитания, а умножение раньше деления, и не обращает внимания на конец правила, подчеркивающий, что эти действия надо выполнять в порядке их записи. Другая причина этих ошибок – ориентировка учащихся не на правило, а на возможность выполнения действий – делают то, что делается.

Так же большую роль играет количество действий. Если учащиеся умеют применять  правило порядка выполнения действий в выражениях в два действия, нельзя утверждать, что они могут применить  его столь же успешно в выражениях в три – четыре действия. Особенно ярко это проявляется в выражениях со скобками.

Теперь рассмотрим влияние числового  материала. Вполне понятно, что если числа в выражении не позволяют  производить вычисления в неверной последовательности, то ошибки встречаются  редко. Если числовой материал позволяет  в одном и том же выражении  использовать разный порядок выполнения действий, то в работах встречаются все возможные варианты.

Можно использовать следующие упражнения для формирования умений пользоваться правилами преобразования числовых выражений, предполагающие постепенные усложнения деятельности учащихся.

1.     а) Выберите значение выражения 96 – 24 + 12: 6 из чисел 90 , 74, 70, 14.

б) Выберите выражения, значения которых  равны:

1)80 : 20 + 20 · 2;             

2)84 – 12 + 48 : 6; 

3)95 – 10 + 5;

4)5 + 90 : 6 · 5.

2.     Из всех схем выражений выберите те, в которых умножение надо выполнять вторым действием:

1)o + o · o;

2)o · o + (o + o);

3)o + o · o + o;        

4)o + (o - o) · o.

3. Проверьте правильно вычислены значения выражений. Исправьте ошибки, если они есть: 100 –20 : (20 – 10) = 8; 70 : 14 · 5 = 1; 90 – 36 : 18 + 18= 70.
4. Расставьте знаки арифметических действий чтобы получились различные выражения, и вычислите их значения: 48 o 12 o 4.
5. Составьте выражения, подбирая вместо «окошек» такие числа над которыми можно выполнить указанные действия:

o - o · o;                      

o + o - o + o; 

o : o + o;

o - o · o + o.

Приведенные упражнения могут быть использованы как на уроках, так  и во внеклассной работе.

Сначала детям предлагаются различные  выражения и им необходимо определить количество действий в них, наличие  или отсутствие скобок, а так же те действия, которые необходимо выполнить  в данных выражениях: 72 – ( 9- 3) – 6;  72 – 9 – 3 – 6 + 12; 72 – 9 – 3 – ( 6+ 12).

Дети сравнивают первое и второе выражения, отмечают, что в первом есть действия (его нужно выполнить  первым), в первом выражении нужно  выполнить три действия, а во втором – 4. Некоторые отмечают, что во втором выражении добавляется число 12. Второе  выражение похоже на третье, только в третьем есть скобки.

Дети говорят, что в данных выражениях отсутствуют такие действия, как  умножение и деление.

А что можно сказать о таких  выражениях? 72 : 9 · 3 : 6 : 2; 72 : 9 · 3: ( 6 : 2 ) · 7; 72 : 9 · 3 : 6: 2 · 7.

Рассматриваются правила выполнения действий в числовых выражениях. Подчеркивают слова: по порядку слева на право, сложение или вычитание. Обращают внимание на слово или. Обсуждается, что оно означает. Делают вывод: если в выражении слева идет первым сложение, то выполняем сложение, а если вычитание, то выполняем вычитание.

Для закрепления правил, выполняют  задания. По какому признаку записаны выражения в каждом столбике?                            

29 – 8 + 24                          72 : 9 · 3                      

    32 + 9 – 7 + 14                      48 : 6 · 7 : 8                      

    64 – 7 + 16 – 8                      27 : 3 · 2 : 6 · 9

Только после этого ставится вычислительная задача.

На доске записывают выражение 68 – 7 · 8 + 63 : 9. Дети расставляют порядок  действий: 68 – 7 · 8 + 63 : 9. Вычисления выполняют  устно. Они решают первое действие 7 · 8 = 56. Учитель берет карточку с числом 56 и закрывает ею выражение 7 · 8, получается запись: 68 – 56 + 63 : 9. И так пока не получится запись: 12 + 7.

Следующее задание: по какому признаку можно разбить выражение на три  группы: 81 – 29 + 27; 400 + 200 + 30 – 100; 27 : 3 · 2: 6 · 9; 400 + 200 + 300 – 100:          48 : 6 · 7 : 8; 54 + 6 · 3 – 72 : 8; 72 : 9 · 3; 84 – 9 · 8.   

Задание третье. Можно ли утверждать, что значения выражений в каждом столбике одинаковы?       56 : 8                       54 : 9                                      

7 · 8 : (32 : 4)             9· 6 : ( 36 : 4)                                     

(65 – 9) : ( 24 : 3)          (72 – 18) : ( 27 : 3)

После того как учащиеся научатся соотносить то или иное выражение с соответствующим  правилам, предлагают такие задания: подумайте, какие знаки действий можно поставить вместо звездочек: o * o * o.

Дети  спрашивают «А какой порядок действий?»  Учитель выставляет порядок действий: o * o * o. Предлагают разные варианты: o * o * o