Преобразование числовых выражений

ВВЕДЕНИЕ

Перед учителем математики всегда стоит  вопрос: как учить детей, чтобы они не только получали знания, но и умели думать?

Школа должна подготовить учащихся к тому, чтобы  в будущем они умели решать разнообразные, практические и теоретические  задачи. Поэтому надо стараться формировать  у учащихся достаточно общие методы мышления и деятельности, общие способы подхода к любой задаче. Алгоритм является одним из видов общих методов деятельности вообще, а не только деятельности умственной.

Понятие алгоритма пронизывает все области  современной математики – от элементарной до высшей. И этот факт не может влиять на процесс обучения математики в школе. Привычка  пользоваться алгоритмическими приёмами в практической работе становится требованием эпохи, мимо которого школа пройти не может. Поэтому применение алгоритмического метода становится актуальной темой сегодняшнего дня.

Цель  курсовой работы: исследовать возможность применения алгоритмического метода при обучении преобразований числовых выражений в начальной школе.

Задачи  работы:

- изучить сущность алгоритмического метода;

- изучить  особенности обучения преобразованиям  числовых выражений в начальной школе с использованием алгоритмического метода;

- сформировать  систему упражнений, обеспечивающую  обучение  преобразованиям числовых выражений в начальной школе с помощью алгоритмического метода.

 

 

 

 

1. ОБУЧЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЮ ЧИСЛОВЫХ

ВЫРАЖЕНИЙ В НАЧАЛЬНОЙ  ШКОЛЕ

Числа, употребляемые  при счете предметов или для  указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов, называются натуральными. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такую запись чисел называют десятичной.

Например: 24; 3711; 40125.

Множество натуральных чисел принято обозначать N.

Два числа, отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными числами.

Например, числа 7 и – 7.

Числа натуральные, им противоположные, а также число  нуль составляют множество целых чисел. Его принято обозначать Z.

Например: – 37; 0; 2541.

Число вида , где m – целое число, n – натуральное число, называется обыкновенной дробью. Заметим, что любое натуральное число можно представить в виде дроби со знаменателем 1.

Например: , .

Объединение множеств целых и дробных чисел (положительных и отрицательных) составляет множество рациональных чисел. Его принято обозначать Q.  

Например: ; – 17,55; .

Пусть дана десятичная дробь. Ее значение не изменится, если справа приписать любое число  нулей.

Например: 3,47 = 3,470 = 3,4700 = 3,47000… .

Такая десятичная дробь называется бесконечной десятичной дробью.

Любую обыкновенную дробь можно  представить в виде бесконечной  десятичной дроби.

Последовательно повторяющаяся группа цифр после  запятой в записи числа называется периодом, а бесконечная десятичная дробь, имеющая такой период в своей записи, называется периодической. Для краткости принято период записывать один раз, заключая его в круглые скобки.

Например: 0,2142857142857142857… = 0,2(142857).

                   2,73000… = 2,73(0).

Бесконечные десятичные непериодические дроби  называются иррациональными числами.

Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел составляет множество действительных чисел. Его принято обозначать R. 

Например: ; 0,(23); 41,3574…

Число является иррациональным.

Для всех чисел определены действия трёх ступеней:

• действия I ступени: сложение и вычитание;
• действия II ступени: умножение и деление;
• действия III ступени: возведение в степень и извлечение корня.

Выражение, составленное из чисел, знаков арифметических действий и скобок, называется числовым.

Например: ; .

Число, полученное в результате выполнения действий, называется значением выражения.

Числовое  выражение не имеет смысла, если содержит деление на нуль.

При нахождении значения выражения выполняются  последовательно действия III ступени, II ступени и в конце действия I ступени. При этом необходимо учитывать размещение в числовом выражении скобок. 

Преобразование  числового выражения заключается  в последовательном выполнении арифметических действий над входящими в него числами с использованием соответствующих правил (правило сложения обыкновенных дробей с разными знаменателями, умножения десятичных дробей и др.). Задания на преобразование числовых выражений в учебных пособиях встречаются в следующих формулировках: «Найдите значение числового выражения», «Упростите числовое выражение», «Вычислите» и др.

Законы арифметических действий над  действительными числами

1. Переместительный (коммутативный) закон сложения: от перестановки слагаемых значение суммы не меняется:

.

2. Переместительный (коммутативный) закон умножения: от перестановки множителей значение произведения не меняется:

.

3. Сочетательный (ассоциативный) закон сложения: значение суммы не изменится, если какую-либо группу слагаемых заменить их суммой:

.

4. Сочетательный (ассоциативный) закон умножения: значение произведения не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением:

.

5. Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения: чтобы умножить сумму на число, достаточно умножить каждое слагаемое на это число и сложить полученные произведения:

.

6. .
7. .
8. .
9. , .
10. .

Свойства 6 – 10 называют законами поглощения 0 и 1.

Признаки делимости

Свойства, позволяющие в некоторых случаях, не производя деление, определить, делится ли одно число на другое, называются признаками делимости. 

Признак делимости на 2. Число делится на 2 тогда и только тогда, когда запись числа оканчивается на четную цифру. То есть на 0, 2, 4, 6, 8.

Например: 12834;  –2538;  39,42.

Признак делимости на 3. Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Например: 2742;  –17940.

Признак делимости на 4. Число, содержащее не менее трех цифр, делится на 4 тогда и только тогда, когда делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа.

Например: 15436;  –372516.

Признак делимости на 5. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра либо 0, либо 5.

Например: 754570;  –4125.

Признак делимости на 9. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Например: 846;  –76455.

 

 

 

 

 

 

 

 

2. ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМИЧЕСКОГО МЕТОДА ПРИ ОБУЧЕНИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМ ЧИСЛОВЫХ

ВЫРАЖЕНИЙ В НАЧАЛЬНОЙ  ШКОЛЕ

1. Сущность алгоритмического метода

Под алгоритмом обычно понимают точное общепринятое предписание о выполнении в определённой (в каждом конкретном случае) последовательности элементарных операций (из некоторой системы таких операций) для решения любой из задач, принадлежащих к некоторому классу (или типу). Элементарными считают те операции, которые может выполнить система в ответ на восприятие соответствующего указания.

Примером алгоритма может служить  алгоритм сложения  двух положительных и отрицательных чисел: чтобы сложить два числа.

1. Определите знак суммы по  следующему правилу: если числа  положительные или модуль положительного больше:  поставь знак плюс, если числа отрицательные или модуль отрицательного больше, то поставь знак минус;

2. Найдите  модуль  суммы по следующему  правилу: если числа одного  знака: то сложи их модули, если  нет, то вычти из большего  модуля меньший. 

Элементарные  операции в этом алгоритме: определение  знака числа, нахождение модуля числа, сравнение двух чисел, сложение и  вычитание двух чисел.

Следует отметить, что на каждой ступени  развития учащихся элементарные операции могут меняться. Например, извлечение квадратного корня сначала не являлось элементарной операцией.  Для того  чтобы операция стала элементарной, надо научить её выполнять так, чтобы при встрече учащихся со словами   „извлеките квадратный корень из числа” они смогли её выполнить не задумываясь.

Открытие и формулирование алгоритмов стало одной из важнейших задач  математики как науки. В процессе своего развития она стремилась искать общие алгоритмы решения задач, которые позволяли бы единым способом,  (то есть посредством одной и той же системы операций) решать всё более и более широкие классы задач.

Самым же первым алгоритмом, с которым  знакомится ребёнок, является, вероятнее всего, счёт на пальцах.

В начальной школе дети узнают алгоритмы  арифметических действий: сложение столбиком, деление углом и другое.

С реализацией алгоритма, непосредственно  связано умение, приложить его  к конкретным исходным данным решаемой задачи. Такое применение называется алгоритмическим процессом. Он расчленяется на ряд самостоятельных этапов, каждый из которых предназначен для перевода данных из одного состояния в другое. Выделим эти этапы.

Этапы алгоритмического процесса.

Постановка  задачи (устанавливается цель решения  задачи, раскрывается её содержания, выявляются её факторы, оказывающие существенное влияние на ход вычислений или конечный результат).

1. Построение модели задачи (до сих пор это остаётся в большей степени делом искусства, чем науки).
2. Разработка алгоритма.

• выделение автономных этапов вычислительного процесса,

• формальная запись содержания каждого из них,
• назначение порядка выполнения этапов,
• проверка правильности выбранного алгоритма.

Свойства  алгоритма.

Алгоритм  можно понимать  и следующим  образом, это точное предписание о том, какие действия и в каком порядке необходимо выполнять, чтобы решить любую задачу из данного класса однотипных задач.

Объясним  смысл этих слов

• что такое  «точное предписание»?

  Это  означает, что предписание, задающее  алгоритм, должно быть составлено так, чтобы его исполнение было однозначно осуществимо и не требовало никаких свободно принимаемых (исполнителем) решений, чтобы были однозначно определены последовательность действий, и результат. Кроме того, исполнителю должно быть ясно, какое из предписаний должно выполняться на следующем шаге. Это свойство называется определённостью или детерминированностью.

 Например: В предписании, которым  определяется ход некоторой игры, имеются такие указания:

1. Подойди к книжной полке, на которой стоят три книги.
2. Возьми книгу, стоящую в середине.
3. Открой её на странице, номер которой оканчивается цифрой 5.
4. Найди на этой странице первое слово.
5. Отметь в нём  первую букву.
6. Если эта буква принадлежит к первой половине алфавите, то выполни с книгой действие А и на этом закончи свои действия.
7. Если эта буква принадлежит второй половине алфавита, то выполни с книгой действие В и закончи свои действия.

  Если  допустить, что все операции, указанные  в этом предписании, являются достаточно элементарными и люди которым они адресованы, умеют эти операции производить, то это предписание всё–равно не будет алгоритмом, потому что в нём есть одно неопределённое условие  - „открой книгу на странице, номер которой оканчивается цифрой 5 ”.