Контрольная работа по "Менеджменту"

 

                     (26)

 

 

3.4. Уравнение статики и статическая  характеристика для выходного  сигнала

 

Уравнение статики  с учётом (21) и (25):

 

                                                         (27)

 

Статическая характеристика:

 

 

 

3.5. Передаточная функция  для ошибки управления

 

 

 

 

 

 

В структурной  схеме заменяется обратная цепь последовательно  соединённых звеньев одним звеном W₁:

 

 

 

 

 

 

 

 

                            (28)

 

Оставшееся  типовое соединение с отрицательной  обратной связью и «единичной» прямой цепью заменяется звеном W_D, являющимся общей математической моделью системы управления для ошибки управления «DV»:

 

 

 

 

 

                                                              (29)

 

С подстановкой (28) в (29) получим:

 

 

                                      (30)

 

С учетом формул (11) - (15):

 

   (31)

 

 

 

 

 

В общем виде:

 

                              (32)

 

Полиномиальные коэффициенты выражения (32) с учётом (31) и п. 1.4.:

 

                                                                                      (33)

                                                     (34)

                                                       (35)

                                                            (36)

                                                 (37)

 

3.6. Уравнение динамики  для ошибки управления

В соответствие с передаточной функцией (27) получается дифференциальное уравнение:

 

        (38)

 

3.7. Уравнение статики и статическая  характеристика для ошибки управления

Уравнение статики

                                                                   (39)

Статическая характеристика

 

 

4. Выбор  параметра системы управления

4.1. Диапазон параметра,  в котором система устойчива

 

Данная система  управления описывается уравнением динамики 3-го порядка. Условие устойчивости Гурвица для системы 3-го порядка:

 

                                                             (40)

С учетом выражений (21) – (25) получается:

                                                         (41)

 

                                                              (42)

Система управления будет устойчива при выполнении условия:

 

                                               (43)

 

 

 

 

 

 

4.2. Влияние параметра на качество  переходного процесса

 

Интегральная  квадратичная оценка для данной системы  управления, описываемой передаточной функцией (15), определяется такой формулой:

 

                                                 (44)

 

С учетом выражений (16) – (20) получается:

 

                                         (45)

                    (46)

   (47)

 

Тогда формула (44) принимает такой вид:

 

               (48)

 

Графически  зависимость (48) интегральной квадратичной оценки от параметра « » в диапазоне устойчивости (42) выглядит так:

 

 

Наилучшее значение параметра можно принять равным:

 

                                                                   (49)

 

 

4.3. Влияние параметра  на качество установившегося  режима

 

 

Установившаяся  ошибка:

 

                           (50)

 

Коэффициенты  ошибок:

 

                                                       (51)

 

С учётом (27) получается:

 

                                                                  (52)

 

 

Следующий коэффициент:

 

                                                        (53)

                              (54)

При р = 0 получается:

                                                                         (55)

С учётом (31) и (32):

                                                             (56)

 

 

Следовательно, система управления имеет астатизм 1-го порядка. Значит, система может  работать при равномерно растущем входном  сигнале:

 

                                              (57)

 

Тогда с учётом (52), (56) и (57) установившаяся ошибка получается по формуле (55):

                 (58)

 

Графически  зависимость (58) установившейся ошибки от параметра в диапазоне устойчивости (43) выглядит так:

 

 

Установившаяся ошибка при равномерно растущем входном сигнале (57) постоянна во времени и обратно пропорциональна параметру « ». То есть чем больше параметр « », тем меньше установившаяся ошибка и тем лучше качество установившегося режима.

 

4.4. Оптимальное значение параметра  системы управления

 

Суммарная оценка качества работы системы управления:

 

          (59)

 

Графически  зависимость (59) качества системы от параметра «k_У» в диапазоне устойчивости (43) выглядит так:

 

Оптимальное значение параметра для наилучшей  работы системы в обоих режимах  примерно:

 

 

                                                        (60)

 

При оптимальном  значении параметра (60) интегральная квадратичная оценка (53) равна:

 

                  (61)

 

А установившаяся ошибка (58) равна:

 

                                                     (62)

 

 

 

 

 

 

5. Частотный анализ системы управления

 

5.1. Частотная передаточная функция

 

Частотная передаточная функция получается из передаточной функции для выходного сигнала (17):

 

             (58)

 

После преобразований и с учетом выражений для коэффициентов (16) – (20) и оптимального значения параметра  системы (55) получаются вещественная и  мнимая составляющие комплексной частотной  передаточной функции:

 

                                     (59)

                                     (60)

 

 

5.2. Амплитудно-фазовая частотная характеристика

 

График АФЧХ для данной системы:

 

 

 

5.3. Амплитудно-частотная  характеристика

 

АЧХ определяется вещественной и мнимой составляющими  АФЧХ по формуле:

                                                           (61)

 

График АЧХ  построен в диапазоне частот от 0 до 1 рад/с.

 

По этому  графику примерно находятся следующие  показатели:

 

Резонансная частота:                                                    (62)

Частота среза:                                                              (63)

Полоса пропускания:                                                    (64)

Колебательность:                                                   (65)

5.4. Фазово-частотная характеристика

 

ФЧХ определяется вещественной и мнимой составляющими  АФЧХ по такой формуле:

                                                            (66)

 

 

График ФЧХ  строится в диапазоне частот от 0 до 1 рад/с.

 

 

5.5. Установившийся частотный режим  работы системы управления

 

Входной частотный  сигнал задается функцией вида

 

                                                       (67)

 

Примем такие  его параметры:

 

Амплитуда входного сигнала:                                           (68)

Фаза входного сигнала:                                                     (69)

 

Частота сигнала  соответствует резонансной частоте:

                                                                           (70)

 

С учётом принятых параметров:

                                                              (71)

 

Выходной  сигнал определяется функцией вида:

                                                        (72)

 

Его параметры  определяются частотными характеристиками системы:

 

АЧХ при резонансной  частоте  имеет максимум и примерно равна:

                                                                       (73)

 

Амплитуда выходного  сигнала:

                                                       (74)

 

ФЧХ при резонансной  частоте  имеет перегиб и примерно равна:

                                                        (75)

 

Фаза выходного  сигнала:

                                                (76)

 

С учётом вычисленных  параметров:

                                                  (77)

 

График установившегося  частотного режима имеет такой вид:

 

6. Моделирование  работы системы управления

 

6.1 Переходная характеристика системы управления

 

 

 

Переходная  характеристика получена при оптимальном  значении параметра  .

Время регулирования  системы управления примерно составляет .

Установившееся  значение управляемого сигнала  .

 

6.2 Проверка диапазона устойчивости

 

 

 

При моделировании  подтвердилось, что на расчётной  границе устойчивости (38) при    – система нейтральна.

 

6.3. Проверка влияния параметра на  качество переходного процесса

 

При моделировании  подтвердилось, что для оптимального значения параметра  интегральная квадратичная оценка накапливается до величины (62) примерно .

 

6.4. Проверка влияния параметра на  качество установившегося режима

 

При моделировании  подтвердилось, что для оптимального значения параметра  и при линейно растущем входном сигнале ошибка управления устанавливается на величине примерно .

 

6.5. Частотные режимы работы системы  управления

Время переходного  частотного режима составило примерно .

При моделировании  подтвердилось, что для оптимального значения параметра  при резонансной частоте установившееся усиление амплитуды выходного сигнала равно примерно .

Сдвиг фазы выходного сигнала относительно входного, как и усиление по амплитуде  подтверждают расчётный график установившегося  частотного режима из п. 5.5.