Высшая математика

4.2. Найдем  уравнение медианы BE проведенной  из точки B на сторону АC и  координаты точки E. (рис.11)

·  Как найти уравнение прямой (медианы) BE ?

Уравнение прямой проходящей через точки B (x _b, y _b) и E (x _e, y _e) в общем виде:

x - x _b

=

y - y _b

(8)

x _e - x _b

y _e - y _b

Мы не знаем координаты точки E, следовательно, нам необходимо найти направляющий вектор прямой BE.

Поступим следующим  образом.

Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCD, таким образом, чтобы сторона АC являлась диагональю.

Очевидный факт, что  диагонали в параллелограмме  делятся пополам, т.е.

AE = EC

Следовательно, точка E лежит на прямой BF.

В качестве направляющего  вектора прямой BE можно принять

вектор

, который несложно  найти.

BF

Координаты точек A, B и C мы знаем. (см. условие задачи)

A (x _a, y _a) = (8, -2)

B (x _b, y _b) = (-4, -5)

C (x _c, y _c) = (-3, 1)

=

+

BF

BC

BA

= ( x _c - x _b, y _c - y _b) = ( -3 - (-4), 1 - (-5) ) = ( 1, 6)

BC

= ( x _a - x _b, y _a - y _b) = ( 8 - (-4), -2 - (-5) ) = ( 12, 3)

BA

=

+

= ( 1 + 12, 6 + 3) = ( 13, 9)

BF

BC

BA

Подставим координаты вектора

= (13, 9) в уравнение  (8).

BF

x - x _b

=

y - y _b

13

9

Подставим координаты точки C (-3, 1).

x - (-3)

=

y - 1

13

9

x + 3

=

y - 1

13

9

9 ( x + 3 ) = 13 ( y - 1 )

9 x + 27 = 13 y - 13

9 x - 13 y + 40 = 0 - уравнение медианы BE.

·  Как найти координаты точки E (x _e, y _e) ?

Точка E является серединой AC.

x _e = (x _a + x _c) /2 = (8 + (-3) ) / 2 = 5/2

y _e = (y _a + y _c) /2 = (-2 + 1 ) / 2 = -1/2

Координаты  точки E (5/2, -1/2).

4.3. Найдем  уравнение медианы AP проведенной  из точки A на сторону BC и  координаты точки P. (рис.12)

·  Как найти уравнение прямой (медианы) AP ?

Уравнение прямой проходящей через точки A (x _a, y _a) и P (x _p, y _p) в общем виде:

x - x _a

=

y - y _a

(9)

x _p - x _a

y _p - y _a

Мы не знаем координаты точки P, следовательно, нам необходимо найти направляющий вектор прямой AP.

Поступим следующим  образом.

Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCD, таким образом, чтобы сторона BC являлась диагональю.

Очевидный факт, что  диагонали в параллелограмме  делятся пополам, т.е.

BP = PC

Следовательно, точка P лежит на прямой AZ.

В качестве направляющего  вектора прямой AP можно принять

вектор

, который несложно  найти.

AZ

Координаты точек A, B и C мы знаем. (см. условие задачи)

A (x _a, y _a) = (8, -2)

B (x _b, y _b) = (-4, -5)

C (x _c, y _c) = (-3, 1)

=

+

AZ

AB

AC

= ( x _b - x _a, y _b - y _a) = ( -4 - 8, -5 - (-2) ) = ( -12, -3)

AB

= ( x _c - x _a, y _c - y _a) = ( -3 - 8, 1 - (-2) ) = ( -11, 3)

AC

=

+

= ( -12 + (-11), -3 + 3) = ( -23, 0)

AZ

AB

AC

Если мы подставим  координаты вектора

в уравнение (9),

AZ

то один из знаменателей обратиться в ноль, что невозможно. Поступим следующим образом:

Вектор

параллелен оси X.

AZ

Очевидно, прямая AP параллельна оси X и проходит через  точку A (8, -2).

Если мы возьмем  абсолютно произвольную точку, принадлежащую  прямой AP, то ее координата по оси Y равна -2.

А если точка не принадлежит  прямой AP, то ее координата по оси Y не равна -2,

т.е. уравнение прямой AP имеет вид:

y = -2

или

y + 2 = 0 - уравнение  медианы AP.

·  Как найти координаты точки P (x _p, y _p) ?

Точка P является серединой BC.

x _p = (x _b + x _c) /2 = (-4 + (-3) ) / 2 = -7/2

y _p = (y _b + y _c) /2 = (-5 + 1 ) / 2 = -2

Координаты  точки P (-7/2, -2).