Высшая математика

2.3. Найдем  уравнение стороны CВ. (рис.6)

Уравнение прямой проходящей через точки C (x _c, y _c) и B (x _b, y _b) в общем виде:

x - x _c

=

y - y _c

     (3)       Что это за уравнение?

x _b - x _c

y _b - y _c

Подставим координаты точек C (-3, 1)  и  B (-4, -5) в уравнение прямой (3).

x - (-3)

=

y - 1

-4 - (-3)

-5 - 1

x + 3

=

y - 1

-1

-6

В знаменателях пропорции  стоят числа -1 и -6.

Вектор

_CB = (-1, -6) называется направляющим вектором прямой CB.

S

Вектор

_CB = (-1, -6) параллелен прямой CB.

S

-6 ( x + 3 ) = -1 ( y - 1 )

- 6 x - 18 = - y + 1

- 6 x + y - 19 = 0 - уравнение прямой CB.

Коэффициенты при  переменных х и y в уравнении прямой CB равны -6 и 1.

Вектор

_CB = (-6, 1) называется нормальным вектором прямой CB.

N

Вектор

_CB = (-6, 1) перпендикулярен прямой CB.

N

Замечание:   векторы  

_CB   и  

_CB   изображены не в масштабе.

S

N

3.1. Найдем  уравнение высоты CH проведенной  из вершины С на сторону  АВ и координаты точки H. (рис.7)

·  Как найти уравнение прямой (высоты) CH ?

Уравнение прямой проходящей через точки С (x _c, y _c) и H (x _h, y _h) в общем виде:

x - x _c

=

y - y _c

(4)

x _h - x _c

y _h - y _c

Мы не знаем координаты точки H, следовательно, нам необходимо найти направляющий вектор прямой CH.

Mы знаем, что  прямая CH перпендикулярна прямой AB, следовательно, направляющий вектор  прямой CH параллелен нормальному  вектору прямой AB.

_CH ||

_AB (см. рис.7)

S

N

T.е. в качестве  направляющего вектора прямой CH можно принять нормальный вектор  прямой AB.

Вектор

_AB (-1, 4), мы нашли в пункте 1.1.

N

Подставим координаты вектора

_AB = (-1, 4) в уравнение (4).

N

x - x _c

=

y - y _c

-1

4

Подставим координаты точки C (-3, 1).

x - (-3)

=

y - 1

-1

4

x + 3

=

y - 1

-1

4

4 ( x + 3 ) = -1 ( y - 1 )

4 x + 12 = - y + 1

4 x + y + 11 = 0 - уравнение высоты CH.

·  Как найти координаты точки H ?

Точка H принадлежит  прямой AB, следовательно, координаты точки H (x _h, y _h) должны удовлетворять уравнению прямой AB.

Точка H принадлежит  прямой CH, следовательно, координаты точки H (x _h, y _h) должны удовлетворять уравнению прямой CH.

Составим систему  из данных уравнений и решим ее.

Получим координаты точки H (x _h, y _h).

- x _h + 4 y _h + 16 = 0

4 x _h + y _h + 11 = 0

x _h = -28/17

y _h = -75/17

Координаты  точки H (-28/17, -75/17).

Подробное решение  данной системы уравнений...

Замечание:   векторы  

_AB   и  

_CH   изображены не в масштабе.

N

S

3.2. Найдем  уравнение высоты BK проведенной  из вершины B на сторону АC  и координаты точки K. (рис.8)

·  Как найти уравнение прямой (высоты) BK ?

Уравнение прямой проходящей через точки B (x _b, y _b) и K (x _k, y _k) в общем виде:

x - x _b

=

y - y _b

(5)

x _k - x _b

y _k - y _b

Мы не знаем координаты точки K, следовательно, нам необходимо найти направляющий вектор прямой BK

Mы знаем, что  прямая BK перпендикулярна прямой AC, следовательно, направляющий вектор  прямой BK параллелен нормальному  вектору прямой AC.

_BK ||

_AC (см. рис.8)

S

N

T.е. в качестве  направляющего вектора прямой BK можно принять нормальный вектор  прямой AC.

Вектор

_AC (3, 11), мы нашли в пункте 1.2.

N

Подставим координаты вектора

_AC = (3, 11) в уравнение (5).

N

x - x _b

=

y - y _b

3

11

Подставим координаты точки B (-4, -5).

x - (-4)

=

y - (-5)

3

11

x + 4

=

y + 5

3

11

11 ( x + 4 ) = 3 ( y + 5 )

11 x + 44 = 3 y + 15

11 x - 3 y + 29 = 0 - уравнение высоты BK.

·  Как найти координаты точки K ?

Точка K принадлежит  прямой AC, следовательно, координаты точки K (x _k, y _k) должны удовлетворять уравнению прямой AC.

Точка K принадлежит  прямой BK, следовательно, координаты точки K (x _k, y _k) должны удовлетворять уравнению прямой BK.

Составим систему  из данных уравнений и решим ее.

Получим координаты точки K (x _k, y _k).

3 x _k + 11 y _k - 2 = 0

11 x _k - 3 y _k + 29 = 0

x _k = -313/130

y _k = 109/130

Координаты  точки K (-313/130, 109/130).

Подробное решение  данной системы уравнений...

Замечание:   векторы  

_AC   и  

_BK   изображены не в масштабе.

N

S

3.3. Найдем  уравнение высоты AM проведенной  из вершины A на сторону CB и  координаты точки М. (рис.9)

·  Как найти уравнение прямой (высоты) AM ?

Уравнение прямой проходящей через точки A (x _a, y _a) и M (x _m, y _m) в общем виде:

x - x _a

=

y - y _a

(6)

x _m - x _a

y _m - y _a

Мы не знаем координаты точки M, следовательно, нам необходимо найти направляющий вектор прямой AM

Mы знаем, что  прямая AM перпендикулярна прямой CB, следовательно, направляющий вектор  прямой AM параллелен нормальному  вектору прямой CB.

_AM ||

_CB (см. рис.9)

S

N

T.е. в качестве  направляющего вектора прямой AM можно принять нормальный вектор  прямой CB.

Вектор

_CB (-6, 1), мы нашли в пункте 1.3.

N

Подставим координаты вектора

_CB = (-6, 1) в уравнение (6).

N

x - x _a

=

y - y _a

-6

1

Подставим координаты точки A (8, -2).

x - 8

=

y - (-2)

-6

1

x - 8

=

y + 2

-6

1

1 ( x - 8 ) = -6 ( y + 2 )

x - 8 = - 6 y - 12

x + 6 y + 4 = 0 - уравнение высоты AM.

·  Как найти координаты точки M ?

Точка M принадлежит  прямой BC, следовательно, координаты точки M (x _m, y _m) должны удовлетворять уравнению прямой BC.

Точка M принадлежит  прямой AM, следовательно, координаты точки M (x _m, y _m) должны удовлетворять уравнению прямой AM.

Составим систему  из данных уравнений и решим ее.

Получим координаты точки М (x _m, y _m).

- 6 x _m + y _m - 19 = 0

x _m + 6 y _m + 4 = 0

x _m = -118/37

y _m = -5/37

Координаты  точки M (-118/37, -5/37).

Подробное решение  данной системы уравнений...

Замечание:   векторы  

_CB   и  

_AM   изображены не в масштабе.

N

S

4.1. Найдем  уравнение медианы CN проведенной  из точки С на сторону АВ  и координаты точки N. (рис.10)

·  Как найти уравнение прямой (медианы) CN ?

Уравнение прямой проходящей через точки C (x _c, y _c) и N (x _n, y _n) в общем виде:

x - x _c

=

y - y _c

(7)

x _n - x _c

y _n - y _c

Мы не знаем координаты точки N, следовательно, нам необходимо найти направляющий вектор прямой CN.

Поступим следующим  образом.

Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCD, таким образом, чтобы сторона AB являлась диагональю.

Очевидный факт, что  диагонали в параллелограмме  делятся пополам, т.е.

AN = NB

Следовательно, точка N лежит на прямой CD.

В качестве направляющего  вектора прямой CN можно принять

вектор

, который несложно  найти.

CD

Координаты точек A, B и C мы знаем. (см. условие задачи)

A (x _a, y _a) = (8, -2)

B (x _b, y _b) = (-4, -5)

C (x _c, y _c) = (-3, 1)

=

+

CD

CA

CB

= ( x _a - x _c, y _a - y _c) = ( 8 - (-3), -2 - 1 ) = ( 11, -3)

CA

= ( x _b - x _c, y _b - y _c) = ( -4 - (-3), -5 - 1 ) = ( -1, -6)

CB

=

+

= ( 11 + (-1), -3 + (-6)) = ( 10, -9)

CD

CA

CB

Подставим координаты вектора

= (10, -9) в уравнение  (7).

CD

x - x _c

=

y - y _c

10

-9

Подставим координаты точки C (-3, 1).

x - (-3)

=

y - 1

10

-9

x + 3

=

y - 1

10

-9

-9 ( x + 3 ) = 10 ( y - 1 )

- 9 x - 27 = 10 y - 10

- 9 x - 10 y - 17 = 0 - уравнение медианы CN.

·  Как найти координаты точки N (x _n, y _n) ?

Точка N является серединой AB.

x _n = (x _a + x _b) /2 = (8 + (-4) ) / 2 = 2

y _n = (y _a + y _b) /2 = (-2 + (-5) ) / 2 = -7/2

Координаты  точки N (2, -7/2).