Вычисления определенных интегралов методом Монте-Карло

     КАЗАНСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 
 
 
 
 

     КУРСОВАЯ  РАБОТА 

     ВЫЧИСЛЕНИЕ  ОПРЕДЕЛЕННЫХ  ИНТЕГРАЛОВ МЕТОДОМ МОНТЕ - КАРЛО 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                         Преподаватель:

                                                         Александровская Ю. П.

                                                         Выполнила:

                                                         Лобанова Е.В.

                                                         Студентка 3-го курса

                                                         Гр. 3271-72 
 
 
 
 
 
 
 

     Казань, 2009

 

Содержание

Введение………………………………………………………………………….3

1. Метод Монте-Карло

1.1 Общая схема метода Монте-Карло…………………………………………4

1.2 Оценка погрешности метода Монте-Карло………………………………..4

2. Вычисление интегралов методом Монте-Карло.

2.1 Пример вычисления определенного интеграла методом Монте-Карло..6

2.2 Программа вычисления определенного интеграла методом Монте-Карло……………………………………………………………………………..8

Заключение……………………………………………………………………....9

Список использованной литературы…………………………………………..10

Приложение……………………………………………………………………...11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

       При изучении численных методов основной задачей являлось преобразование известной математической модели к виду, допускающему эффективное численное решение, т. е. сведение всех математических понятий ( таких, как производная, интеграл, дифференциальное уравнение и т. п.) к последовательности элементарных арифметических операций. Для дальнейшего существенно, что вместе с алгоритмом метода мы всегда получали так называемую гарантированную оценку погрешности метода. Алгоритм численного метода считался состоятельным лишь в том случае, если малые погрешности, содержащиеся в исходных данных и внесенные в в процессе преобразований или вычислений, не влияли приемлемым образом на результат вычислений. Процесс отыскания решения при таком подходе являлся строго детерминированным, т. е. при безошибочном повторении неизменно приводил к одному и тому же результату.

      Однако существует целый ряд задач, для которых разработка и использование детерминистских методов оказываются практически невозможными и нецелесообразными.

      Достаточно общим способом решения таких проблем являются методы статистических испытаний. С помощью методов статистических испытаний математические задачи и задачи исследования сложных систем решаются путем моделирования случайных реализаций имитации случайных процессов, с последующей оценкой их вероятностных характеристик. Принято различать два основных класса методов статистических испытаний: численные методы статистических испытаний (методы Монте-Карло) и методы имитационного моделирования.

       Датой рождения метода Монте - Карло признано считать 1949 год, когда американские ученые Джон фон Нейман¹ и С. Улам² опубликовали статью под названием «Метод Монте - Карло», в которой были изложены принципы этого метода. Название метода происходит от названия города Монте - Карло, славившегося своими игорными заведениями, непременным атрибутом которых являлась рулетка - одно из простейших средств получения случайных чисел с хорошим равномерным распределением, на использовании которых основан этот метод.

      Метод Монте - Карло это статистический метод. Его используют при вычислении сложных интегралов, решении систем алгебраических уравнений высокого порядка, моделировании поведения элементарных частиц, в теориях передачи информации, при исследовании сложных экономических систем.

       Возникновение идеи использования случайных явлений в области приближённых вычислений принято относить к 1878 году, когда появилась работа Холла об определении числа p с помощью случайных бросаний иглы на разграфлённую параллельными линиями бумагу. Существо дела заключается в том, чтобы экспериментально воспроизвести событие, вероятность которого выражается через число p, и приближённо оценить эту вероятность. Отечественные работы по методу Монте-Карло появились в 1955-1956 годах. С того времени накопилась обширная библиография по методу Монте-Карло. Даже беглый просмотр названий работ позволяет сделать вывод о применимости метода Монте-Карло для решения прикладных задач из большого числа областей науки и техники.

      Первоначально метод Монте-Карло использовался главным образом для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались мало пригодными. Далее его влияние распространилось на широкий класс задач статистической физики, очень разных по своему содержанию.

1. Метод Монте-Карло

1.1 Общая схема метода Монте-Карло.

       Метод Монте-Карло можно определить  как метод моделирования случайных величин с целью вычисления характеристик их распределений.

      Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а: М(Х)=а. Таким образом, искомая величина X определяется лишь теоретически. Чтобы найти ее численно необходимо воспользоваться статистическими методами.  Практически же поступают так: производят n испытаний, в результате которых получают n возможных значений Х; вычисляют их среднее арифметическое  и принимают x в качестве оценки (приближённого значения) a* искомого числа a:

.

       Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину Х, как найти её возможные значения. В частности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания а его оценкой а*.

     Метод Монте-Карло оказал и  продолжает оказывать существенное  влияние на развитие методов  вычислительной математики (например, развитие методов численного  интегрирования) и при решении  многих задач успешно сочетается  с другими вычислительными методами и дополняет их. Его применение оправдано в первую очередь в тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание. Это объясняется как естественностью получения ответа с некоторой заданной вероятностью в задачах с вероятностным содержанием, так и существенным упрощением процедуры решения. 

1.2 Оценка погрешности метода Монте-Карло.

      Пусть для получения оценки a* математического ожидания а случайной величины Х было произведено n независимых испытаний (разыграно n возможных значений Х) и по ним была найдена выборочная средняя , которая принята в качестве искомой оценки: . Ясно, что если повторить опыт, то будут получены другие возможные значения Х, следовательно, другая средняя, а значит, и другая оценка a*. Уже отсюда следует, что получить точную оценку математического ожидания невозможно. Естественно возникает вопрос о величине допускаемой ошибки. Ограничимся отысканием лишь верхней границы d допускаемой ошибки с заданной вероятностью (надёжностью) g: .

Интересующая  нас верхняя грань ошибки d есть не что иное, как «точность оценки»  математического ожидания по выборочной средней при помощи доверительных  интервалов. Рассмотрим следующие три  случая.

1) Случайная величина Х распределена нормально и её среднее  квадратичное отклонение d известно.

     В этом случае с надёжностью g верхняя граница ошибки 

, (*)

где n число  испытаний (разыгранных значений Х); t – значение аргумента функции Лапласа, при котором , s - известное среднее квадратичное отклонение Х.

2) Случайная величина Х распределена нормально, причём её среднее квадратическое отклонение s неизвестно.

    В этом случае с надёжностью g верхняя граница ошибки 

, (**)

где n –  число испытаний; s – «исправленное» среднее квадратическое отклонение,  находят по таблице приложения 3.

3) Случайная величина Х распределена по закону, отличному от нормального.

   В этом случае при достаточно большом числе испытаний (n>30) с надёжностью, приближённо равной g, верхняя граница ошибки может быть вычислена по формуле (*), если среднее квадратическое отклонение s случайной величины Х известно; если же s неизвестно, то можно подставить в формулу (*) его оценку s – «исправленное» среднее квадратическое отклонение либо воспользоваться формулой (**). Заметим, что чем больше n, тем меньше различие между результатами, которые дают обе формулы. Это объясняется тем, что при  распределение Стьюдента стремится к нормальному.

     Из изложенного следует, что метод Монте-Карло тесно связан с задачами теории вероятностей, математической статистики и вычислительной математики. В связи с задачей моделирования случайных величин (в особенности равномерно распределённых) существенную роль играют также методы теории чисел.

     Среди других вычислительных методов, метод Монте-Карло выделяется своей простотой и общностью. Медленная сходимость является существенным недостатком метода, однако, могут быть указаны его модификации, которые обеспечивают высокий порядок сходимости при определённых предположениях. Правда, вычислительная процедура при этом усложняется и приближается по своей сложности к другим процедурам вычислительной математики. Сходимость метода Монте-Карло является сходимостью по вероятности. Это обстоятельство вряд ли следует относить к числу его недостатков, ибо вероятностные методы в достаточной мере оправдывают себя в практических приложениях. Что же касается задач, имеющих вероятностное описание, то сходимостью по вероятности является даже в какой-то мере естественной при их исследовании. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                  2. Вычисление интегралов методом Монте-Карло

2.1  Пример вычисления определенного интеграла методом Монте-Карло

Задача: найти оценку определённого интеграла .

Решение. Используем формулу  . По условию, a=2, b=6, . Примем для простоты число испытаний n=10.Тогда оценка , где возможные значения  разыгрывается по формуле .

Случайные числа   взяты из таблицы приложения.