Тригонометрия

Тригонометрия

 

     ГС 1-1                                  Вишневской Марины

• Тригономе́трия (от греч. τρίγονο (треугольник) и греч. μετρειν (измерять), то есть измерение треугольников) — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии^[1]. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (Bartholomäus Pitiscus, 1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре.

 

• Определение тригонометрических функций

 

Тригонометрические функции угла θ внутри единичной окружности

 

 

• Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе
• Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.
• Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему.
• Секанс — отношение гипотенузы к прилежащему катету
• Косеканс — отношение гипотенузы к противолежащему катету

• Рациональная тригонометрия

 

• Рациона́льная тригономе́трия — оригинальный способ переопределения тригонометрических соотношений без использования тригонометрических функций. Вместо привычных расстояний и углов вводятся соответственно понятия quadrance (калька: квадранция — квадрат расстояния) и spread (раскрыв или апертура). Раскрыв угла в новой терминологии соответствует (и численно равен) квадрату синуса угла в обычной тригонометрии.
• Математически «квадранция» между точками A₁ и A₂ определяется как
• Q(A₁,A₂) = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
• Апертура угла между двумя прямыми l₁ и l₂ непосредственно определяется как отношение квадранций между точкой пересечения данных прямых O и произвольной точкой A на первой прямой и между точкой A и основанием перпендикуляра, опущенного из точки A на вторую прямую — B.
• s(l₁,l₂) = Q(O,A) / Q(O,B)

 

• Сферическая тригонометрия

 

Сферический треугольник

 

• Сторона сферического треугольника равна углу между двумя лучами исходящими из центра сферы в соответствующие концы стороны треугольника. Для радианной меры угла:
• Теоремы для прямоугольного сферического треугольника

     Пусть угол C — прямой. Тогда имеют место следующие соотношения

 

 

 

• Теоремы для произвольного сферического треугольника

 Сферические теоремы косинусов

 

Сферическая теорема синусов

 

 

Формула пяти элементов

 

 

 

• Тригонометрические тождества

 

Формула	Допустимые значения аргумента

 

• Тригонометрические тождества — математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента (из общей области определения).
• Основные тригонометрические формулы

 

• Формулы сложения аргументов

 

 

 

 

 

 

 

 

• Формулы двойного угла

 

 

Формулы сложения аргументов

 

Формулы двойного угла

• Формулы тройного угла

 

 

 

 

 

 

 

• Формулы понижения степени

 

 

Формулы тройного угла

 

Синус	Косинус	Произведение

• Формулы преобразования произведений функций

 

 

 

 

 

 

 

• Формулы преобразования суммы функций

 

Формулы преобразования произведений функций

 

Формулы преобразования суммы  функций

• Тригонометрические функции

 

• Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что эквивалентно, зависимость хорд и высот от центрального угла в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

 

• К тригонометрическим функциям относятся

 

• прямые тригонометрические функции синус (sin x),косинус (cos x);
• производные тригонометрические функции тангенс (tg x),котангенс (ctg x).
• другие тригонометрические функции секанс (sec x),косеканс (cosec x);

 

• Геометрическое определение

 

• Синусом называется отношение 
• Косинусом называется отношение
• Тангенс определяется как

 

• Котангенс определяется как

 

• Секанс определяется как

 

• Косеканс определяется как

 

Формулы преобразования суммы  функций

 

 

• Синусом называется отношение  
• Косинусом называется отношение  
• Тангенс определяется как  
• Котангенс определяется как  
• Секанс определяется как  
• Косеканс определяется как

 

 

• как  

 

 

1