История развития тригонометрии

1. История развития тригонометрии.

 

     Тригонометрия, как и любая другая научная  дисциплина, возникла из потребностей практической деятельности человека. Различные задачи астрономии, мореплавания, землемерия, архитектуры привели  к необходимости разработки способа вычисления элементов геометрических фигур по известным значениям других их элементов, найденных путем непосредственных измерений. Само название «тригонометрия» греческого происхождения, обозначающее «измерение треугольников»: (тригонон) – треугольник, (метрейн) – измерение.

     Зарождение  тригонометрии относится к глубокой древности. Еще задолго до новой  эры вавилонские ученые умели  предсказывать солнечные и лунные затмения. Это позволяет сделать  вывод о том, что им были известны некоторые простейшие сведения из тригонометрии. Постепенно в геометрии и астрономии установились понятия синуса, косинуса и тангенса угла. По существу, ими оперировали еще древние математики, рассматривая отношение отрезков в треугольниках и окружностях.

     Накопившийся  материал астрономических наблюдений потребовал математической обработки. Одним из основоположников тригонометрии  считается древнегреческий астроном Гиппарх, живший во II в. до н.э. Гиппарх  является автором первых тригонометрических таблиц. Эти таблицы до нас не дошли, но они вошли (в усовершенствованном виде) в сочинение «Великое построение» (Альмагест) знаменитого александрийского астронома Клавдия Птолемея, жившего во второй половине II в. н.э. В этих таблицах, в течение многих веков служивших средством для решения треугольников, давались значения хорд окружности для различных значений соответствующего центрального угла.

     Эти таблицы, говоря современным языком, являются таблицами значений удвоенного синуса половины соответствующего центрального угла. В них были даны значения хорд для всех углов (через каждые полградуса) от 00 до 1800. Однако надо иметь в виду, что в древней Греции тригонометрия не выделялась в самостоятельную науку, а считалась частью астрономии.

     Важный  вклад в развитие тригонометрии был внесен индийской математикой в период V – XII вв. н.э. Индийские математики стали вычислять не полную хорду, как это делали греки, а ее половину (то есть «линию синусов»). Линия синусов именовалась ими «архаджива», что буквально означало «половина тетивы лука». Индийцы составилди таблицу синусов, в которой были даны значения полухорд, измеренных частями (минутами) окружности для всех углов от 00 до 900 (через каждые ). Эти таблицы были точнее таблиц Птолемея. Об их высокой точности говорит тот факт, что для синуса и косинуса были вычислены значения и , отличающиеся от истинных менее чем на .

     Индийским математикам были известны соотношения, которые в современных обозначениях пишутся так: 

      . 

     В XI – XIII вв. в трудах математиков Средней  Азии, Закавказья, Ближнего Востока  и Индии началось формирование тригонометрии  как отдельной науки. И в дальнейшем потребности географии, геодезии, военного дела способствовали развитию тригонометрии как науки. Особенно усиленно тригонометрия развивалась в средние века, в первую очередь на юго-востоке: в Индии (Ариабхата, Брамагупта, Бхаскара), в Узбекистане, Азербайджане и Таджикистане (Насирад-Дин ат-Туси, ал-Каши, ал-Бируни), в Арабии (Ахмад, ибн-Абдаллах, ал-Баттани). Большая заслуга в формировании тригонометрии как отдельной науки принадлежит азербайджанскому ученому Насирад-Дину Муххамаду ат-Туси (1201 – 1274), написавшему «Трактат о полном четырехугольнике». Работы ученых этого периода привели к выделению тригонометрии как нового самостоятельного раздела математики. Однако в их трудах еще не было необходимой символики, и поэтому развитие тригонометрии происходило медленно.

     С XV в. и в Европе появляются работы, посвященные вопросам тригонометрии. Немецкий ученый Иоганн Мюллер (1436 – 1476), известный в науке под именем Региомонтан, издал труд «Пять книг о треугольниках всех видов», сыгравший важную роль в развитии тригонометрии. В нем дано систематическое изложение тригонометрии как самостоятельной научной дисциплины. Региомонтан составил таблицы синусов с точностью уже до . В его таблицах радиус круга принимался за вместо числа кратного 60, то есть по сути был совершен переход от шестидесятиричной системы измерения к десятичной. В 1595 г. появился труд Варфоломея Питискуса «Тригонометрия, или Краткий обзорный трактат о решении треугольников».

     В XV – XVII в. в Европе было составлено и  издано несколько тригонометрических таблиц. Над их составлением работали крупнейшие ученые: Н. Коперник (1473 – 1543), и. Кеплер (1571 – 1630), Ф. Виет (1540 – 1603) и др. В России первые тригонометрические таблицы были изданы в 1703 г. при участии Л.Ф. Магницкого.

     Таким образом, тригонометрия возникла на геометрической основе, имела геометрический язык и применялась к решению геометрических задач. Развитие алгебраической символики позволило записывать тригонометрические соотношения в виде формул; применение отрицательных чисел позволило рассматривать направленные углы и дуги и распространить понятие тригонометрических линий (определенных отрезков в круге) для любых углов. В этот период создалась база для изучения тригонометрических функций как функций числового аргумента, основа аналитической теории тригонометрических (круговых) функций. Аналитический аппарат, позволяющий вычислять значения тригонометрических функций с любой степенью точности, был разработан Ньютоном.

     Современный вид тригонометрия получила в  трудах великого ученого, члена Российской академии наук Л. Эйлера (1707 – 1783). Эйлер стал рассматривать значения тригонометрических функций как числа – величины тригонометрических линий в круге, радиус которого принят за единицу («тригонометрический круг» или «единичная окружность»). Эйлер дал окончательное решение о знаках тригонометрических функций в разных четвертях, вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, установил несколько неизвестных до него формул, ввел единообразные обозначения. Именно в его трудах впервые встречаются записи . Он также открыл связь между тригонометрическими и показательной функциями от комплексного аргумента. На основании работ Л. Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности.

     Аналитическое (не зависящее от геометрии) построение теории тригонометрических функций, начатое  Эйлером, получило завершение в трудах великого русского ученого Н.И. Лобачевского.

Современная точка зрения на тригонометрические функции как на функции числового аргумента во многом обусловлена развитием физики, механики, техники. Эти функции легли в основу математического аппарата, при помощи которого изучаются различные периодические процессы: колебательные движения, распространение волн, движения механизмов, колебание переменного электрического тока.

2. Содержание и анализ материала по тригонометрии в различных школьных учебниках

     Тригонометрия традиционно является одной из важнейших  составных частей школьного курса  математики. Анализ материала, посвящённого решению тригонометрических уравнений и неравенств, в учебнике «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов под ред. А.Н.Колмогорова и в учебнике «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов авторов Ш.А. Алимова и др. свидетельствует, что различные виды тригонометрических задач представлены в пособиях по математике для средней школы.

Рассмотрим  содержание материала по тригонометрии  изложенного в различных учебниках  по математике за курс 10 – 11 класс средней  школы, с целью его сравнения, анализа и формирования наиболее приемлемой методики внедрения данной темы в школьном курсе математики. 

Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11

     Учебник разбит на 8 глав. В конце изучения каждой главы чётко обозначены основные результаты изучения. Курс изучения математики в 10 классе начинается с изучения главы «Тригонометрические функции». Здесь автор вводит понятия тригонометрической окружности на координатной плоскости, понятия синус и косинус, основные тригонометрические соотношения с ними связанные, решения простейших уравнений по тригонометрической окружности. Как таковые формулы приведения вводятся после изучения тригонометрических функций углового аргумента. Далее рассматриваются свойства и графики тригонометрических функций. Во второй главе «Тригонометрические уравнения» подробно рассматривается решение каждого простейшего тригонометрического уравнения, на основе ранее введенных понятий арксинуса, арккосинуса, арктангенса. В этой же главе рассмотрены такие методы решения: разложение на множители и введение новой переменной; метод решения однородных тригонометрических уравнений. Другие методы решения рассматриваются после изучения третьей главы «Преобразование тригонометрических выражений».

Здесь схема изучения выглядит следующим  образом: функция → уравнения → преобразования. 

     С точки зрения применения учебник  Мордковича удобен для самостоятельного изучения учащимися, т.к. он содержит сильную  теоретическую базу. Изложение теоретического материала ведётся очень подробно. В условиях острой нехватки часов для проведения занятий в классе возрастает значение самостоятельной работы учеников с книгой. Опираясь на учебник, учитель прекрасно разберётся в том, что надо рассказать учащимся на уроке, что заставить их запомнить, а что предложить им просто прочесть дома.  

Колмогоров  А.Н. Алгебра и начала анализа

     Учебник содержит 4 главы. Схема изучения радикально отличается от предыдущих, т.к. сначала  рассматриваются тригонометрические функции числового аргумента  и основные формулы тригонометрии. В этой же первой главе, но несколько позже, рассматриваются основные свойства тригонометрических функций, их графики и их исследование. После этого вводятся понятия арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс и «параллельно» с этим решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

     Таким образом, схема изучения выглядит так: преобразования → функции → уравнения.

     Легко заметить, что материал, относящийся к тригонометрии, изучается не единым блоком, учащиеся не представляют себе весь спектр применения тригонометрического материала, дробление на отдельные темы приводит к тому, что тригонометрия изучается в течение нескольких лет. Вместе с тем, количество задач по тригонометрии в ЕГЭ, олимпиадах различного уровня увеличивается год от года. Именно по этой причине каждому учителю необходимо обратить особое внимание  на подготовку учащихся к решению задач из этого раздела математики. Для удобства работы, предлагаю ввести классификацию задач по тригонометрии на основании тем в школьной программе.

3. Классификация задач по тригонометрии. Примеры решения задач.

 

3.1.Преобразование тригонометрических выражений. Нахождение значений выражений. 

1. Каково  максимальное значение выражения 

sin a cos b + sin b cos c + sin c cos d + sin d cos a  для действительных a, b, c, d?

Решение:

Выражение sin a cos b + sin b cos c + sin c cos d + sin d cos a можно  рассмотреть как скалярное произведение 4-мерных векторов с координатами (sin a, sin b, sin c, sin d) и (cos b, cos c, cos d, cos a). По неравенству  Коши-Буняковского, скалярное произведение векторов не превосходит произведения их модулей. Значит:

Применив  теперь неравенство между средним  геометрическим и средним арифметическим, получим:

Ответ: 2 

   2.Найти значение выражения (

Решение: Воспользуемся формулами и , где

, , тогда , , так как угол принадлежит первой четверти, а . Найдем ( = ,  = = .Сложив результаты получаем ответ +

Ответ: +

     3. Найдите значение выражения , если .

Решение: Разделим и числитель, и знаменатель  дроби на .Получим

Ответ: -1

     4. Найдите значение выражения , если

Решение: -1= 99,  =  

Ответ: -

      5. Какое наименьшее значение может принять выражение cos(2x) – 2cos(x)? 

Решение: преобразуем выражение из условия задачи

где t = cos(x). Квадратный трехчлен относительно t имеет положительный старший коэффициент и, следовательно, принимает свое наименьшее значение при t = – координата вершины. Вычислим . Подставим в , получим . Итак, выражение из условия задачи при cos(x) = принимает свое наименьшее значение, равное .

Ответ: -3/2 

      6. Вычислите . 

Решение: рассмотрим функцию f(x) = arccos(cos(x)). Заметим, что f(x) периодична с периодом , т.к. .

      Вычислим  несколько первых слагаемых требуемой  суммы.

Сумма этих шести слагаемых равна  . Далее слагаемые будут повторятся, т.к. arccos(cos(x)) периодичная функция. Всего в сумме 300 слагаемых, период состоит из 6 слагаемых, т.о. слагаемые разбиваются на 300/6 = 50 периодов. Сумма слагаемых в каждом периоде . Итого ответ .